九年级（上）数学期中训练4

一、选择题

1、要使根式错误！未找到引用源。有意义，则字母x的取值范围是（）

A、XH3B、x<3

C、x>3D、x>3

2、方程x2-3x+4=0的根的情况是（）

A、有一个实数根B、有两个相等的实数根

C、没有实数根D、有两个不相等的实数根

3、下列各图是一些交通标志的图案，其中是中心对称图形的是（）

OB瓜

H

4、下列计算中，正确的是（）

A、错误！未找到引用源。B、错误！未找到引用源。

C、错误！未找到引用源。D、错误！未找到引用源。

5、（m2-m-2）x2+mx+3-0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）

A、m#-1B、m/2

C、mx-l且m/2D、一切实数

6、在下图4x4的正方形网格中，/MVINP绕某点旋转一定的角度，得到△MiNiPi，则其旋转中心可能是（）

A、点AB、点B

C、点CD、点D

7、如图，。。中，ZAOB=70°,ZOBC=35°,则NOAC等于（）

A、20°B、35°

C、60°D、70°

8、如果关于x的方程（m+2）x2-2（m+1）x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x的方程（m+2）x2-2mx+m-

1=0的根为（）

A、错误！未找到引用源。B、1或3C、-1或3D、1或-3

二、填空题

9、计算：错误！未找到引用源。=.

10、一元二次方程X?二x的根是.

11、如图，AB为。。的直径，点C,D在上.若NAOD=30。，则/BCD的度数是度.

VN

B

12、在平面直角坐标系中，半径为5的。M与x轴交于A(-2,0)与B(4,0),则圆心点M坐标为

三、解答题

13、计算：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。

14、解方程：2x2-2x-1=0

15、已知实数x,y满足错误！未找到引用源。，求x+y的值.

16、如图，AB为。O的弦，AB=8,OC_LAB于点D,交。。于点C,且CD=I,求。O的半径.

17、对于竖直向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h=vt-错误！未找到引用源。，其中h

是上升高度，v是初速度，g是重力加速度(本题中取g=10m/s2),t是抛出后所经过的时间.如果将一物体以v=30m/s2

的初速度竖直向上抛出，物体何时处在离抛出点25m高的地方？

18、如图，RtZiABC中，ZC=90°,NA=30°,AB=2.

(1)用尺规作图，作出^ABC绕点A逆时针旋转60。后得到的aABiC式不写画法，保留画图痕迹)；结论:

为所求.

(2)在(1)的条件下，连接BiC,求B]C的长.

19、如图，有一块矩形纸板，长为20cm,宽为14cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分

沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm2,那么纸板各角应切去边长为多大

的正方形？

20、如图，点C在线段BD上，4ABD与4ACE都为等边三角形，求/BDE的度数.

21、一知关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。有两个相等的实数根，求代数式错误！未找到引用源。的值.

22、如图，正方形ABCD中，E,F分别在对角线AC,BD上，且CE=BF,连接AF,BE,并延长AF交BE于点G,求

证：AG1EB.

23、如图，在。0中,弦AE_L弦BC于D,BC=6,AD=7,ZBAC=45°.

(1)求。。的半径；

(2)求DE的长.

24、已知四边形ABCD,以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连接这四个正方形的对角线交点E,F,G,

H,得到一个新四边形EFGH.

（1）如图1,若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH（填"是"或"不是"）正方形；

（2）如图2,若四边形ABCD是矩形，则⑴中的结论（填"能"或"不能"）成立；

（3）如图3,若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的

结论，若不成立，请说明你的理由.

H.H.H.

图1图2图3

25、已知关于x的一元二次方程（a-1）x2+（2-3a）x+3=0.

（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；

（2）若m,n（m<n）是此方程的两根，并且错误！未找到引用源。.直线I：y=mx+n交x轴于点A,交y轴于点B.坐

标原点。关于直线I的对称点0'在反比例函数错误！未找到引用源。的图象上，求反比例函数错误！未找到引用源。

的解析式：

（3）在（2）成立的条件下，将直线I绕点A逆时针旋转角0（0。<6<90。），得到直线I',1'交v轴于点P，过点P

作x轴的平行线，与上述反比例函数错误！未找到引用源。的图象交于点Q,当四边形APQCT的面积为错误！未找

到引用源。时，求e的值.

V

答案与评分标准

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1、（2006•舟山）要使根式错误！未找到引用源。有意义，则字母x的取值范围是（）

A、x#3B、x<3

C、x>3D、x>3

考点：二次根式有意义的条件。

分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可知当X-320时，二次根式有意义.

解答：解：要使错误！未找到引用源。有意义，只需X-320,解得X23.故选D.

点评：本题考查二次根式定义中被开方数的取值范围.

点评：二次根式定义中要求被开方数是非负数，经常出现的问题是有的同学误认为是被开方数中的x是非负数，如

错误！未找到引用源。中x的取值范围写为疮0,因此学习二次根式时需特别注意.

2、（2000•海淀区）方程X?-3x+4=0的根的情况是（）

A、有一个实数根B、有两个相等的实数根

C、没有实数根D、有两个不相等的实数根

考点：根的判别式。

分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.

解答：解：Va=l,b=-3,c=4,

/.△=b2-4ac=（-3）2-4x1x4=-7<0,

，方程没有实数根.

故选C.

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系:

（1）A>0方程有两个不相等的实数根；

（2）A=0方程有两个相等的实数根;

（3）A<0方程没有实数根.

3、下列各图是一些交通标志的图案，其中是中心对称图形的是（）

A、A

、㊀

C

考点：中心对称图形。

专题：几何图形问题。

分析：根据中心对称图形的定义和交通标志的图案特点即可解答.

解答：解：A、含汉字不是中心对称图形，故选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、含字母不是中心对称图形，故选项错误;

D、是中心对称图形，故本选项正确.

故选D.

点评：木题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原

图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

4、下列计算中，正确的是（）

A、错误！未找到引用源。B、错误！未找到引用源。

C、错误！未找到引用源。D、错误！未找到引用源。

考点：二次根式的混合运算。

专题：计算题。

分析：根据二次根式的混合运算法则即可直接解题.

解答：解：A、错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。3错误！未找到引用源。，故

错误.

B、错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，故正确.

C、3错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。-2,故错误.

D、非同类二次根式的被开方数不能直接相加减，故错误.

故选B.

点评：本题考查了二次根式的混合运算，难度不大，主要在掌握二次根式的混合运算法则.

5,（m2-m-2）x2+mx+3=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）

A、-1B、mx2

C、mx-1且m/2D、一切实数

考点：一元二次方程的定义。

分析：根据一元二次方程的一般形式，可知二次项系数不为0,根据这一条件列出不等式，求出m的值即可.

解答：解：V（m2-m-2）x2+mx+3=0是关于x的一元二次方程，

m2-m-2H0,

解得，mH-1且m#2.故选C.

点评：本题考查的是一元二次方程的定义，比较简单.

6、（2009•东营）在下图4x4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转•定的角度，得到△1\/1例止1，则其旋转中心可能

A、点AB、点B

C、点CD、点D

考点：旋转的性质。

专题：网格型；操作型。

分析：根据旋转中心的确定方法，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，连接对应点，并判断其垂直平分线

交点即可得到答案.

解答：解：连接NN?,PP2,易得其连线的垂直平分线相交于点B,

故旋转中心应在B点.

故选B.

点评：木题主要考查旋转中心的找法：对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.

7、如图，。0中，NAOB=70°,NOBC=35°,则/OAC等于（）

C、60°D、70°

考点：圆周角定理。

专题：计算题。

分析：由圆周角定理可得到NACB=错误！未找到引用源。NAOB=错误！未找到引用源。，70。=35。，而NOBC=35。，

得至l」AC〃OB,贝Ij/OAC=NAOB.

解答：解：VZAOB=70°,

，NACB=错误！未找到引用源。/AOB=错误！未找到引用源。、70。=35。，

XVZOBC=35%

，AC〃OB,

AZ0AC=ZA0B=70o.

故选D.

点评：本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的

圆心角的一半.

8、如果关于x的方程（m+2）x2-2（m+1）x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x的方程（m+2）x2-2mx+m-

1=0的根为（）

A、错误！未找到引用源。B、1或3

C、-1或3D、1或-3

考点：根的判别式：解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题。

分析：由关于x的方程（m+2）X?-2（m+1）x+m=0有且只有一个实数根，有m+2=0,即m=-2,然后把m=-2代

入关于x的方程（m+2）x2-2mx+m-1=0,得到4x-3=0,解方程即可.

解答：解：I•关于x的方程（m+2）X2-2（m+1）x+m=0有且只有一个实数根，

/.m+2=0,即m=-2,

把m=-2代入关于x的方程（m+2）x2-2mx+m-1=0,得至!J4x-3=0,

解得x=错误！未找到引用源。.

故选A.

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（axO,a,b,c为常数）和一元一次方程的定义.

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

9、计算：错误！未找到引用源。=2.

考点：二次根式的加减法。

分析：先进行分母有理化，然后合并同类项.

解答：解：原式=错误！未找到引用源。-1=错误！未找到引用源。.

点评：二次根式运算的结果必须是最筒二次根式或有理数.

10、（2008•海南）一元二次方程x?=x的根是_x2-O,x?-l.

考点：解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题。

分析：由于方程两边都含有x,所以用因式分解法解答较为简单..

解答：解：移项得x2-x=0,因式分解得X（X-1）=0,解得X1=O,x2=l.

点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，

•般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解•元二次方程的一种简

便方法，要会灵活运用.

11、(2010•威海)如图，AB为。。的直径，点C,D在。O上.若NAOD=30。，则NBCD的度数是105度.

考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系。

分析：连接AC,根据圆周角定理，可分别求出NACB=90。，ZACD=15°,即可求/BCD的度数.

解答：解：连接AC,

VAB为。O的直径，

/.ZACB=90%

VZAOD=30",

二NACD=15°,

ZBCD=ZACB+ZACD=105°.

点评：此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角

的一半.

12、在平面直角坐标系中，半径为5的。M与x轴交于A(-2,0)与B(4,0),则圆心点M坐标为(1,4)

或(1,-4).

考点：垂径定理；坐标与图形性质。

专题：计算题。

分析：连MB,过M作MN_Lx轴，N为垂足，由A(-2,0)与B(4,0),得M的横坐标为1,设M(1,y),则

MN=|y|,MB=5,BN=4-1=3,再利用勾股定理求得y的值，即得到M的坐标.

AM的横坐标为1,设M(1,y),

贝ljMN=|y|,MB=5,BN=4-1=3,

.*.MN2=MB2-NB2,

即y2=52-32=16,

y=±4

所以圆心点M坐标为（1,4）或（1,-4）.

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理和图形与坐标的关

系.

三、解答题（共13小题，满分72分）

13、计算：错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。

考点：实数的运算；实数的性质；零指数事；负整数指数帚；二次根式的性质与化简。

分析：本题涉及零指数鼎、负指数幕、二次根式化简、绝对值4个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计

算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

解答：解：原式=3错误！未找到引用源。+1-2-错误！未找到引用源。，

=2错误！未找到引用源。-1.

点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指

数靠、零指数第、二次根式、绝对值等考点的运算.

14、解方程：2x2-2x-1=0

考点：解一元二次方程-公式法。

专题：计算题。

分析：此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤.

解答：解法一：原式可以变形为错误！未找到引用源。，

错误！未找到引用源。，

错误！未找到引用源。，

二错误！未找到引用源。，

二错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.

解法二：a=2,b=-2,c=-1,

/.b2-4ac=12,

.•.x=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

...xi=错误！未找到引用源。，X2=错误！未找到引用源。.

点评：公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心.

15、已知实数x,y满足错误！未找到引用源。，求x+y的值.

考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根。

专题：计算题。

分析：已知条件错误！未找到引用源。，可以变形为错误！未找到引用源。+（y-错误！未找到引用源。）2=0,根据

二次根式与任何数的偶次方都是非负数，两个非负数的和是0,因而这两个非负数同时等于0即可求解.

解答：解：由已知，有错误！未找到引用源。+（y-错误！未找到引用源。）2=0

...2x+y=0且y-错误！未找到引用源。=0

错误！未找到引用源。且x=-错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。

，x+y=错误！未找到引用源。

点评：本题主要考查了非负数的性质，两个非负数的和是0,因而这两个非负数同时等于0.

16、如图，AB为。0的弦，AB=8,OC_LAB于点D,交。。于点C,且CD=I,求。O的半径.

考点：垂径定理；勾股定理。

专题:计算题。

分析:根据垂径定理得到直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理计算出半径的长.

得：AD=DB=错误！未找到引用源。AB=4.

2=(r-1)2+42

整理得：2r=17

，r=错误！未找到引用源。.

所以圆的半径是错误！未找到引用源。.

点评：本题考查的是垂径定理，根据垂径定理求出AD的长，连接0A,得到直角三角形，然后在直角三角形中计算

出半径的长.

17、对于竖直向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h=vt-错误！未找到引用源。，其中h

是上升高度，v是初速度，g是重力加速度（本题中取g=10m/s2）,t是抛出后所经过的时间.如果将一物体以v=30m/s2

的初速度竖直向卜.抛出，物体何时处在离抛出点25m高的地方？

考点：一元二次方程的应用。

专题：跨学科。

分析：把v=30,g=10,h=25代入所给关系式求t的值即可.

解答:解:由题意得：25=30t-错误！未找到引用源。xlOt2.

t2-6t+5=0,

解得tl=l,t2=5.

答：1秒或5秒后，物体处在离抛出点25m高的地方.

点评：考查一元二次方程的应用；只须把相关数值代入所给关系式即可.

18、如图，RtZ\ABC中，ZC=90°,/A=30°,AB=2.

（1）用尺规作图，作出^ABC绕点A逆时针旋转60。后得到的aABiCi（不写画法，保留画图痕迹）；结论：AABnC,

为所求.

（2）在（1）的条件下，连接BiC,求BiC的长.

考点：作图-旋转变换；旋转的性质。

专题：综合题。

分析：（1）分别以C点为圆心，以AC为半径，以B点为圆心，以AB为半径画圆，交点分别为C、B,连接即可;

（2）先求出BC的长，然后根据AB=AB1=2,再利用勾股定理即可得出答案.

解答：解：（1）所画图形如下所示：

A

(2)

VZA=30°,AB=2,

/.BC=1,

：.AC=4-1=3,

由(1)得：ZBiAC=60°,

又AB=ABi=2,

.,.BIC=ABI2+AC2=7,

...BiC=错误！未找到引用源。.

点评：本题考查运用尺规作图法旋转图形及勾股定理的应用，有•定难度，关键是掌握旋转后的图形与原图形全等.

19、如图，有一块矩形纸板，长为20cm,宽为14cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分

沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm2,那么纸板各角应切去边长为多大

考点：一元二次方程的应用。

专题：几何图形问题。

分析：易得底面积的长=原来的长-2x切去的正方形的边长，宽=原来的宽-2x切去的正方形的边长，根据长x宽=160

列方程求得合适解即可.

解答：解：设切去的小正方形的边长为X.

(20-2x)(14-2x)=160.

解得Xi=2,X2=15.

当x=15时，20-2x<0,

；.x=15不合题意，应舍去.

答：纸板各角应切去边长为2cm的正方形.

点评：考查一元二次方程的应用；得到无盖方盒的底面积的边长是解决本题的突破点.

20、如图，点C在线段BD上，ZXABD与4ACE都为等边三角形，求/BDE的度数.

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：易证Nl=/3,进而求证.,.△ABCg/\ADE,得/B=/ADE,即可求/BDE的度数，即可解题.

解答：解：在ZsABC与Z\ADE中，AB=AD,AC=AE,

又TN1+/2=60°,N2+/3=60°,

AZ1=Z3,

VAB=AD,Z1=Z3,AC=AE,

AAABC^AADE,

AZB=ZADE=60°.

AZBDE=600+60°=120°.

点评：本题考查了等边三角形各内角为60。的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本

题中求证^ABC丝Z\ADE是解题的关键.

21、已知关于X的一元二次方程错误！未找到引用源。有两个相等的实数根，求代数式错误！未找到引用源。的值.

考点：根的判别式；代数式求值；一元二次方程的定义。

专题：计算题；整体思想。

分析：由关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。有两个相等的实数根，则有3a-130,且△=(),即△=(-a)

2-4X(3a-1)x错误！未找到引用源。=0,得a2-3a+l=0,a2=3a-1,然后代入所求的代数式进行化简计算.

解答：解：•••关于x的一元二次方程错误！未找到引用源。有两个相等的实数根，

.,.3a-1*0,且△=€),BPA=(-a)2-4x(3a-1)x错误！未找到引用源。=0,

.".a2-3a+l=0,

把a?=3a-l代入代数式，

所以原式=3a-l-2a+l+错误！未找到引用源。，

=a+错误！未找到引用源。，

=错误！未找到引用源。，

=错误！未找到引用源。，

=3.

点评：本题考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(a#0,a,b,c为常数)的根的判别式442-4ac.当△>(),方程有两

个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数根：当△<(),方程没有实数根.同时考查了整体代入的思想

方法的运用.

22、如图，正方形ABCD中，E,F分别在对角线AC,BD上，且CE=BF,连接AF,BE,并延长AF交BE于点G,求

证：AG1EB.

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据NAOF=/BOE=90。，OA=OC=OB,OF=OE可以证明RtAAOF^RtABOE,可得/OAF=/OBE,进而求证

NAGB=90°,即可证明AG_LEB.

解答：证明：在正方形ABCD中，AC_LBD且。是AC与BD的交点.

二/AOF=NBOE=90",OA=OC=OB.

；CE=BF

.•.OF=OE.

RtAAOF^RtABOE.

/.ZOAF=ZOBE.

VZOAF+ZOFA=90°,ZOFA=ZBFG.

，NOBE+NBFG=90°.

AZAGB=90\UPAG1EB.

点评：本题考查了正方形各边长相等、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性

质，本题中求证RtZXAOF丝RtZ^BOE是解题的关键.

23、如图,在。。中，弦AE_L弦BC于D,BC=6,AD=7,ZBAC=45°.

(1)求。0的半径；

(2)求DE的长.

考点：圆周角定理；矩形的判定。

分析：(1)连接OB,0C,山于NBAC=45。，可求得/BOC=90。，所以三角形BOC是等腰直角三角形，已知BC的长,

利用勾股定理可以求出。0的半径；

(2)过点。作OM_LAE于M,ON_LBC于N,易证四边形。MDN是矩形，从而求出DE=1.

解答：解：连接OB、0C,

ZB0C=2ZBAC,ZBAC=45°,

二ZBOC=90°,

在Rt^BOC中，有

OB2+OC2=BC2,

且0c=0B,

/.2OC2=BC2,

BC=6

，0C=3错误！未找到引用源。.

即。的半径为3错误！未找到引用源。.

(2)过点。作OMJ_AE于M,ONJ_BC于N,

可得AM=ME,0N=错误！未找到引用源。BC=3,

VAE1BC,0M1AE,N1BC,

/.NADC=NDNO=NOMD=90",

二四边形0MDN是矩形，

，MD=0N=3,

，AM=AD-MD=7-3=4=ME,

ADE=ME-MD=4-3=1.

点评：本题考查了圆周角定理以及矩形的判定，熟记定理，根据已知和图形添加适当的辅助线是解题的关键.解决

与弦有关的问题时，一般要作弦的弦心距.

24、已知四边形ABCD,以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连接这四个正方形的对角线交点E,F,G,

H,得到一个新四边形EFGH.

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH是（填"是"或"不是"）正方形；

（2）如图2,若四边形ABCD是矩形，则（1）中的结论能（填"能"或"不能"）成立；

（3）如图3,若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的

结论，若不成立，请说明你的理由.

考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质。

专题：证明题。

分析：（1）（2）连接EG,FH,可证明EG与FH平分垂直且相等；

（3）连接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH,由四边形ABCD是平行四边形，得AH=DH,再证明△HDG丝△HAE,

贝IJHG=HE且/EHA=NGHD,同理可证HE=EF=FG,即可得出四边形EFGH是菱形.又因为点H是正方形的对角线的

交点，则/EHG=90。，即可证明四边形EFGH是正方形.

解答：解：⑴是；

连接EG,FH,

VE,F,G,H分别是四个正方形对角线的交点,

，EG与FH平分、垂直且相等，

二四边形EFGH是正方形；

（2）能;

•••E,F,G,H分别是四个正方形对角线的交点,

；.EG与FH平分，EG=FH,EG±FH,

二四边形EFGH是正方形；

(3)证明：连接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH,

•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB=CD,

即以ABCD为边的正方形的对角线也相等，

•.•点E、G是上述两个正方形的对角线的交点，

，AH=DH,

M^ZHDG=ZHDA+ZADC+ZCDG+45O=90O+ZADC,

,平行四边形ABCD中,有NBAD=180°-ZADC,

/.ZHAE=360°-(ZHAD+ZBAD+ZBAE)=360°-[45。+(180°-/ADC)+45°]=90,,+ZADC,

二NHDG=NHAE,

.♦.△HDG丝△HAE,

，HG=HE且NEHA=NGHD,

同理可证HE=EF=FG,

四边形EFGH是菱形，

•••点H是正方形的对角线的交点，

AZAHD=90°,BPZAHG+ZGHD=90",

二/EHG=90°,

.••四边形EFGH是正方形.

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定以及平行四边形、矩形的性质，是一道综合性的题目，难度不

大，要熟练掌握.

25、已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2-3a)x+3=0.

(1)求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根：

(2)若m,n(m＜n)是此方程的两根，并且错误！未找到引用源。.直线I：y=mx+n交x轴于点A,交y轴于点B.坐

标原点。关于直线I的对称点0'在反比例函数错误！未找到引用源。的图象上，求反比例函数错误！未找到引用源。

的解析式；

(3)在(2)成立的条件下，将直线I绕点A逆时针旋转角0(0。＜。＜90。)，得到直线I',r交y轴于点P,过点P

作x轴的平行线，与上述反比例函数错误！未找到引用源。的图象交于点Q,当四边形APQO的面积为错误！未找

到引用源。时，求。的值.

V

考点：根的判别式：根与系数的关系；坐标与图形性质：反比例函数的图象；旋转的性质。

专题：综合题。

分析：(1)由方程(a-1)x2+(2-3a)x+3=0为一元二次方程，所以axO；要证明方程总有两个实数根，即证明当

a取不等于1•的实数时，A>0,而4=(2-3a)2-4x(a-1)x3=(3a-4)