利用二分法求方程的近似解

利用二分法求方程的近似解第一页，共十七页，2022年，8月28日复习零点的概念零点的概念、零点的等价性、零点存在性定理我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴

函数y=f(x)

.函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

，那么，函数在区间内有零点.有交点有零点f(a).f(b)<0第二页，共十七页，2022年，8月28日函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0

，那么，函数在区间内有零点.注：1、不能判定无解。

2、要在连续区间。

3、只能判定“至少有一个”零点。

4、不能判定“正变正、负变负”零点。第三页，共十七页，2022年，8月28日引入：请同学们猜一猜我的手机多少钱买的？

提出三个方案：方案一：先猜一个价，通过老师的提示，多了（或少了）再向上（或向下）猜价，每次间隔10元，直到猜到为止方案二：先猜一个价，通过老师的提示，多了（或少了）再向上（或向下）猜价，每次间隔100元，如果能判断出其真实价在某两个数之间，然后再隔10元猜价，直到猜中为止。方案三：先猜两个价，使真实价在它们之间，然后猜这两个的中间价（大概），进行判断，则可以找到一个更小的范围，然后再取小范围的中间数进行判断，直到猜到为止。引出“方案三”为二分法答案：1480元第四页，共十七页，2022年，8月28日探究任务：二分法的思想及步骤问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.解法：第一次，两端各放

个球，低的那一端一定有重球；第二次，两端各放

个球，低的那一端一定有重球；第三次，两端各放

个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.316第五页，共十七页，2022年，8月28日思考：以上的方法其实就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求y=lnx+2x-6的零点所在区间？如何找出这个零点？分析：函数对应方程lnx+2x-6=0，可化为lnx=-2x+6,设f(x)=lnx,g(x)=-2x+6g(x)=-2x+6f(x)=lnx第六页，共十七页，2022年，8月28日思考：以上的方法其实就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求y=lnx+2x-6的零点所在区间？如何找出这个零点？分析：利用上节课的知识我们利用交点法确定y=lnx+2x-6在[1,3]上有零点。且f(1)<0,f(3)>0.取区间[1,3]的中点2，计算得f(2)<0,零点区间缩小在[2,3]内。依次类推，逐步缩小零点所在区间，区间端点逼近零点，进而得到零点的近似值。新知：对于在区间上连续不断，且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法.第七页，共十七页，2022年，8月28日例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.（精确到0.1）1、原方程即为,令找出函数的零点区间[0,2]（f(0)=-6,f(2)=3)2①取[0,2]的中点1，计算f(1)=-2,f(1)f(2)<0零点在[1,2]中。②取[1,2]的中点1.5，计算f(1.5)=0.33,f(1)f(1.5)<0零点在[1,1.5]中。③取[1,1.5]的中点1.25，计算f(1.25)=-0.87,f(1.25)f(1.5)<0零点在[1.25,1.5]中。④取[1.25,1.5]的中点1.375，计算f(1.375)=-0.28,f(1.375)f(1.5)<0零点在[1.375,1.5]中。⑤取[1.375,1.5]的中点1.4375，计算f(1.4375)=0.02,f(1.375)f(1.4375)<0零点在[1.375,1.4375]中。3.|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以可以零点可以取1.375第八页，共十七页，2022年，8月28日例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.（精确到0.1）1、原方程即为,令找出函数的零点区间[0,2]（f(0)=-6,f(2)=3)2①f(1)=-3,零点在[1,2]中。②f(1.5)=0.33,

零点在[1,1.5]中。③f(1.25)=-0.87,零点在[1.25,1.5]中。④f(1.375)=-0.28,零点在[1.375,1.5]中。⑤f(1.4375)=0.02,零点在[1.375,1.4375]中。3.|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以可以零点可以取1.3750211021.5021.251.5021.3751.5021.3751.4375第九页，共十七页，2022年，8月28日例2求方程的解的个数及其大致所在区间.解：原方程化为=-x+3,设f(x)=,g(x)=-x+3g(x)=-x+3f(x)=第十页，共十七页，2022年，8月28日变式训练求函数的一个正数零点（精确到0.1）零点所在区间中点函数值与符号区间长度解:f(0)=-2,f(2)=6,f(0)f(6)<0,[0,2]内有零点。2f(1)=-2[0,2][1,2]f(1.5)=0.6251[1,1.5]f(1.25)=-0.980.5[1.25,1.5]f(1.375)=-0.260.25[1.375,1.5]0.125f(1.4375)=0.16[1.375,1.4375]0.0625.|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以可以零点可以取1.375第十一页，共十七页，2022年，8月28日四、反思总结①二分法的概念；对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，叫做二分法．●想一想：能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？提示：不能．看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号．第十二页，共十七页，2022年，8月28日2．给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，(2)求区间[a，b]的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．第十三页，共十七页，2022年，8月28日课后练习与提高1.若函数f(x)在区间[a,b]上为连续减函数，则在[a,b]上（）.A.至少有一个零点B.只有一个零点C.没有零点D.至多有一个零点Dbaba第十四页，共十七页，2022年，8