【高中数学】分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

我们的数数起源于远古时代的绳结计数，那时人的智力的发展尚处于低级阶段，随着人们对数的了解和研究，发现数数的多样性，用各种方式来计数，中国古代的《易经》中用十个天干和十二个地支以六十为周期来记载月和年，以及在洛书河图中关于幻方的记载，是人们至今所了解的最早发现的组合问题．

在日常生活中，关于计数的问题大量存在，如果问题中数量很少，可以一个一个的数，但是如果问题中数量很多，还能一个一个去数吗？

前言

在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法。这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理。这两个原理是解决计数问题最基本、最重要的方法，利用这两个计数原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式---排列数公式与组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题。作为计数原理与计数公式的一个应用，我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理。前言1、春节放假，小兰计划回家过年和家人团聚，从北京回长沙当天有7趟航班和9列火车。问题1：小兰从北京回长沙的方案有几类？问题2：这几类方案中各有几种方法？问题3：小兰从北京到长沙共有多少种不同的方法两类，即飞机和火车第1类乘飞机方案：7种方法，第2类坐火车方案：9种方法共有7+9=16（种）不同方法新知探索一2、用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？新知探索一英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，26+10=36种上述计数过程的基本环节是：（1）确定分类标准（分类）；（2）分别计算各类的个数（计数）；（3）各类的个数相加，得出所有的个数（相加）.以上两个问题的解决有什么共同特征？1.分类加法计数原理

完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，则完成这件事共有:

N=m+n种不同的方法注意：两类不同方案中的方法互不相同。典例解析例1

在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表.

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学例题分析:“选择一个专业”

在A大学中,有5种专业选择方法，

在B大学中,有4种专业选择方法，

没有专业是两所大学共有的，

所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数

N=5+4=9.3、如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方案?

如果完成一件事有n类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为:分类加法计数原理推论：

N＝m1＋m2＋…＋mn练习

从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，则一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为多少？

1、春节放假，小兰计划回家过年和家人团聚，从北京回长沙需要换乘，先坐飞机，后坐火车，当天有3趟航班和4列火车，小兰回家有多少种方式？

3×4=12种新知探索二2、用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2,···的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码？

在这个问题中,号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤用下图可以列出所有可能的号码.新知探索二用树状图列出来：6×9=54（种）以上两个问题有什么共同特征？分步完成：小兰分成两步，需一次乘坐两种交通工具飞机和火车才

能回家；给座位编号分成两步，英文字母和数字组合而成2.分步乘法计数原理

完成一件事，需要两个步骤:做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有:

新知探索N=m×n种不同的方法分步乘法计数过程的基本环节是：1、确定完成一件事情分成几步（分步）；2、每一步有多少种方法数（计数）；3、将每一步的方法数相乘（相乘）.典例解析例2

某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；

第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；根据分步计数原理，共有30×24=720种不同方法.分析:

男女生各一名

选出一组参赛代表，可分两步：

第一步,选男生；第二步,选女生.例题

如果完成一件事有n步不同方案,在第1步方案中有m1种不同的方法，在第2步方案中有m2种不同的方法，…，在第n步方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为:

N＝m1×m2×…×mn分步乘法计数原理推论：

例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?

N＝4＋3+2＝9

N＝4×3×2＝24(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?例题练习A1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(

)2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(

)3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(

)4．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成． (

)×√判断√√

现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组． (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？练习解(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；

第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；

第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；

第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．

所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．

所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．(3)先分类再分步：分六类，每类又分两步：

从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；

从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；

从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；

从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；

从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；

从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．

所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．1.填空题(1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________；

(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________.96课后习题2.在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10.这种算法有什么问题？A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学数学解：这种算法有问题，因为问题强调的是这名同学的专业选择，故并不需要考虑学校的差异，所以这名同学可能的专业选择种数应当为3.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?

(2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法?4.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.

(1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

(2)从三个年级的学