新概念型问题解决

“新概念”型问题解决策略

一、准备知识

（一）什么是新概念

所谓“新概念"型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，

要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型."新概

念"型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力

（二）问题提出

（蒲泽）将4个数a,b,c,d排成2行、2歹U，两边各加一条竖直线记成“"，概念"b

=ad-bc,

cdcd

x+11—x

上述记号就叫做2阶行列式.若=8,则*=

1—XX+1

解决思路

"新概念”型问题解决关键要把握两点：

一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；

二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.

例如;将原方程转化成普通方程，由A+11一*=8,得：（x+1）2一（1-X）2=8,

1—XX+1

整理得：x2+2x+l-（1-2X+X2）-8=0,即埋=8,

解得：x=2.

故答案为：2

二、核心规律

1.核心结构

“新概念”分类举例方法

①根据原型的特点求出

若X是不等于1的实数，我们把称113

1-X“一一一一（一犷4

规律型

为x的差倒数，如2的差倒数是—=-1,-111

与=1=2=4

1-21一1_2

14

113

的差倒数为=—,现已知XF--,X2"4一一的一】-(-犷4

1-(-1)23

是X1的差倒数，X3是X2的差倒数，X4是X3的差②寻找循环链，循环子项

倒数，…，依次类推，则X2O12=__________.

玉，壬，X3>

2012+3=67()2,

._3

••工2012=1'

运算型若(xi,yi)•(X2，y2)=xiX2+yiy2»则(4,5)①根据原型的特点可以转

•(6,8)=_______.化成加减混合运算：

(4,5)-(6,8)=4x6+5x8

②根据加减混合运算法则计

算结果

(4,5)-(6,8)=64

如图，A、B是OO上的两个定点，P是。0上(1)①根据直径所对的圆周

的动点(P不与A、B重合)、我们称NAPB是角等于90。即可求解；

。。上关于点A、B的滑动角.②根据勾股定理的逆定理可

(1)已知NAPB是。。上关于点A、B的滑动得NAOB=90。，再分点P在

角，优弧第上；点P在劣弧篇上

①若AB是。0的直径，则

两种情况讨论求解；

ZAPB=_______________°；

(2)根据点P在。01上的位

②若00的半径是1小8=,看,求2APB的度数；

置分为四种情况得到NAPB

(2)已知02是。01外一点，以02为圆心作

探索型与NMAN、ZANB之间的数

一个圆与。01相交于A、B两点,NAPB是OOi

量关系.

上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交

002于M、N(点M与点A、点N与点B均不

重合)，连接AN,试探索NAPB与NMAN、

NANB之间的数量关系.

©

开放型请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算①根据原型可得：

"a㊉b",使得下列算式成立：22

1㊉2=2㊉1=3=—+—

1㊉2=2㊉1=3,(-3)©(-4)=(-4)®(-3)=-12

722

(-3)©(-4)=(-4)©(-3)=-——---1---

746-3-4

-,(-3)®5=5ffi(-3)=-一，...

615422

(—3)㊉5=5㊉(—3)———=一+—

-35

你规定的新运算affib=______________(用a,

②可得出：

b的一个代数式表示).

_,222a+2b

a㊉8=一+—=-------

ahah

在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(X,①阅读材料得：

V),若规定以下两种变换：f(-6,7)=(7,-6)

@f(X,y)=(y,x).如f(2,3)=(3,2)；②转化g(f(—6,7))=g(7,-6)

阅读型②g(x,y)=(-x,-y),如g(2,3)=(-2,-3).=(-7,6)

按照以上变换有：f(g(2,3))=f(-2,-3)=故选C

(-3,-2),那么g(f(-6,7))等于()

A.(7,6)B.(7,-6)C.(-7,6)D.(-7,-6)

2.核心方法

“新概念"型问题解决关键要把握两点：

一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；

二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.

解''新概念型问题具体方法过程上分三个步骤：

①阅读理解，读懂新概念。

②具例印证、强化认识、。

③联系应用，解决问题或探究拓展

三、典型例题

ab23

例我们定义I|=ad-bc.例如1=2X5-3X4=10-12=-2若x、y均为整数，且满足1<|

cd45

|<3,则x+y的值是单

y4—

思路分析:根据题中的新概念，结合具例，掌握新概念运算规定的程序，将问题迁移到不等式组问

题。

]X

解：由定义|1=4—xyVxy为整数

y4

A1<4—xy<3/.xy=2

那么x,y分别为1,2或2,1,T,-2或-2,-1

l<xy<3，x+y二±3

点评：此题考查式运算，属新概念题型，涉及到不等式组整数解的问题。

【核心素养】

此题从定义新的运算开始,运用转化的数学思想来解决问题，体现了数学运算和数学分析的核心素养.

【解题分析】

]X

解：由定义1=4—xyVxy为整数

y4

.\l<4-xy<3，xy=2

那么x,y分别为1,2或21,T,-2或-2,-1

1<xy<3；.x+y=±3

四、素养提升

1.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1,3,9,19,33,...就是一个数列，如果一个数列从

第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做

这个等差数列的公差.如2,4,6,8,10就是一个等差数列，它的公差为2.如果一个数列的后一个数

与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1,3,9,19,33,....

它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,这是一个公差为4的等差数列，所以,

数列1,3,9,19,33,...是一个二阶等差数列.那么，请问二阶等差数列1,3,7,13,...的第五个数应

是.

2.如图，A、B是。O上的两个定点，P是。0上的动点(P不与A、B重合)、我们称NAPB是。O上

关于点A、B的滑动角.

(1)已知ZAPB是。。上关于点A、B的滑动角，

①若AB是。O的直径，则NAPB=。；

②若00的半径是1,AB=&,求NAPB的度数；

(2)已知02是OO1外一点，以02为圆心作一个圆与。01相交于A、B两点，NAPB是001上关于点

A、B的滑动角，直线PA、PB分别交002于M、N(点M与点A、点N与点B均不重合)，连接AN,

试探索NAPB与NMAN、NANB之间的数量关系.

3.[a,b]为一次函数y=ax+b（axO,a,b为实数）的"关联数".若"关联数"[1,m-2]的一次函数是正比例

函数，则关于x的方程一1+'=1的解为.

x-1m

五、中考衔接

1.根据下图所示程序计算函数值，若输入的X的值为则输出的函数值为【】

2

2.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点Pi（xi，力）与P2（x2,y2）的"非常距离"，给出如下概

念：

^|xi-x2|>|yi-y2|,则点Pi与点P2的"非常距离"为|xrX2|；

若|Xl-X2|<M-y2|，则点P1与点P2的"非常距离"为M，2|.

例如：点P1（1，2）,点P2（3,5）,因为|1-3|<|2-5|,所以点P1与点P2的"非常距离"为|2-5|=3,也就

是图1中线段PiQ与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于x轴的直线P2Q交

点）.

（1）已知点A（-；,0）,B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的"非常距离"的最小值；

3

（2）已知C是直线y=：x+3上的一个动点，

①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的"非常距离"的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3,E是以原点。为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的"非常距离"的最小值及相

应的点E与点C的坐标.

素养提升参考答案

L【核心素养】

本题从数字变化规律类问题开始.关键是确定二阶等差数列的公差为2,体现了数学运算和数学推理的

核心素养.

【解题分析】

由于3-1=2,7-3=4,13-7=6...由此得出相邻两数之差依次大2,故13的后一个数比13大8.

解：由数字规律可知，第四个数13,设第五个数为X,

则x-13=8,解得x=21,即第五个数为21,

故答案为：21.

2.【核心素养】

本题考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，应用了分类讨论思想，体现了逻辑

推理的核心素养.

【解题分析】

(1)①若AB是OO的直径，则NAPB=90.

②如图，连接AB、OA、OB.

在4AOB中，

OA=OB=1.AB=V^,

OA2+OB2=AB2.

ZAOB=90°.

当点P在优弧AB上时，ZAPiB=^NAOB=45°；

当点P在劣弧金上时，NAP2B=4(360。-NAOB)=135。...6分

2

(2)根据点P在。Oi上的位置分为以下四种情况.

第一种情况：点P在。02外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①

•,1ZMAN=ZAPB+ZANB,

ZAPB=NMAN-ZANB；

第二种情况：点P在。02外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②.

•••ZMAN=ZAPB+ZANP=ZAPB+(180°-ZANB),

ZAPB=ZMAN+ZANB-180°；

第三种情况：点P在。02外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③.

ZAPB+ZANB+ZMAN=180°,

ZAPB=180°-ZMAN-ZANB,

第四种情况：点P在。02内，如图④，

ZAPB=ZMAN+ZANB.

3.【核心素养】

本题主要是从一次函数开始，体现了逻辑推理和数学运算能力.

【解题分析】

根据题意可得：y=x+m-2,

•••"关联数”口，m-2］的一次函数是正比例函数，

/.m-2=0,

解得：m=2,

则关于x的方程----+一=1变为-----+—=1,

x—lmx—12

解得：x=3,

检验：把x=3