力刚体的定轴转动

力刚体的定轴转动第一页，共四十四页，2022年，8月28日第五章刚体的定轴转动5.1刚体的运动5.2刚体定轴转动定律（包括转动惯量）5.3转动中的功和能5.4刚体的角动量和角动量守恒定律第二页，共四十四页，2022年，8月28日5.1刚体的运动一、刚体（rigidbody）定义：特殊的质点系，形状和体积不变化，理想化的模型。平动和转动，可以描述所有质元（质点）的运动。平动（translation）时，刚体上所有点运动都相同。转动（rotation）:绕某一轴转动·oΔΔoo′·o′·第三页，共四十四页，2022年，8月28日二、定轴转动（rotationaboutafixedaxis）：刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且，都相同。P×Ovω,αrr定轴刚体参考方向θz第四页，共四十四页，2022年，8月28日5.2刚体的定轴转动定律类似于多质点系刚体对z轴的转动惯量O×FimiΔθi定轴刚体viω,αririz一、转动惯量和转动定律转动定律第五页，共四十四页，2022年，8月28日二、转动惯量的计算J由质量对轴的分布决定。dmrm一）.常用的几个J1、均匀圆环：Jc=mR2；RmCC第六页，共四十四页，2022年，8月28日2、均匀圆盘：3、均匀杆：CAml2l2RmC第七页，共四十四页，2022年，8月28日例1已知：

tvR=0.2m，m=1kg，o=0，h=1.5m，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间=3s。求：轮对O轴J=？解：动力学关系：对轮：TRJ=a(1),对：mmgTma-=(2)三、转动定律应用举例定轴O·Rthmv0=0绳αTG·RNmgT=-T′ma第八页，共四十四页，2022年，8月28日运动学关系：a=aR(3)hat=122(4)(1)~(4)联立解得：JgthmR=-()2221=-

=(..)..9832151102114222kgm第九页，共四十四页，2022年，8月28日

例2、一个飞轮的质量为m=60kg,半径为R=0.25m,正以每分1000转的转速转动.现要制动飞轮,要求在t=5.0s内使它减速而停下来.求闸瓦对轮的压力N。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为m=0.4,而飞轮的质量视为全部分布在轮的外周。wFNf解：w=1000·2p/60a=

w/tM=fR=mNR第十页，共四十四页，2022年，8月28日例3已知：重物m1m2，滑轮M1M2，R1R2。

T1T2aT1>T2J=J1+J2二根绳子，不同a,一个滑轮，相同a第十一页，共四十四页，2022年，8月28日课堂练习2.求系统的加速度和拉力M2R2M1R1aT3T2T1第十二页，共四十四页，2022年，8月28日第十三页，共四十四页，2022年，8月28日DA=^^DFrcos=aqDM=qDFcosr^^aq()(DDAFS)=力矩的空间积累效应：5.3定轴转动中的功能关系二.定轴转动动能定理

dLdtzzM外=dzJdt=w一.力矩的功dzxω·轴rF第十四页，共四十四页，2022年，8月28日令—转动动能EJk=122w（可证：）121222Jmviiw=åD则AEEkk=-21应用：▲飞轮储能，Ekµw2w­®­­Ek

定轴转动动能定理

MdLdtJddtzzz外==w第十五页，共四十四页，2022年，8月28日三.定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：A外+A内非=（Ek2+Ep2）—

（Ek1+Ep1）刚体重力势能：若A外+A内非=0，则Ek+Ep=常量。Ep==cmgh=mighiåDgmhiiåD×ChchimiΔEp=0mm第十六页，共四十四页，2022年，8月28日起动时q=900力矩例1一根质量为m，长为L的均匀细棒AB,可绕一水平的光滑转轴O在竖直平面内转动，O轴离A端的距离为l/3,今使棒从静止开始由水平位置绕O轴转动，求：（1）棒起动时的角加速度;第十七页，共四十四页，2022年，8月28日角加速度(2)棒在竖直位置的角速度和角加速度重力矩作功与重力作功相同AB第十八页，共四十四页，2022年，8月28日两端速度相同（3）棒在竖直位置时棒的两端和中点的速度和加速度竖直位置力矩第十九页，共四十四页，2022年，8月28日[例2]已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，轴光滑，AOl=4

。求:杆下摆角后，角速度w=?解：杆地球系统，+∵只有重力作功，∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末态：EJko2212=w,

EmglP24=-sin

则：

12402Jmglow-=sin

(1)第二十页，共四十四页，2022年，8月28日

由平行轴定理

JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由(1)、(2)得：

wq=267glsin第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日§5.4刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律力矩对时间的积累效应：—刚体定轴转动的角动量定理

z=0当M时，zJw=const.大小不变正、负不变ìíî冲量矩角动量守恒定律第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日

若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，

z当M外=0时，Jwconst.izi=å，这时角动量可在内部传递。mmr2看录像第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日解：m下落：mghmv=122vghÞ=2(1)h例1如图示已知：M=2m，，θ=60°求：碰撞后瞬间盘的w0=？

P转到x轴时盘的w=?α=?半径：R,第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日碰撞t极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：则：P、x重合时EP=0。令1mgRJJosinqww+=12222(5)mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)对m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒，第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()q=60oa==MJ2=mgRmRgR22第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日例2、一根长l,质量为m的均匀细棒静止在一光滑的水平面上，一质量为m’的小球以水平速度v0垂直冲击其一端并粘上。求碰撞后球的速度v和棒的角速度以及由此损失的机械能。OV系统角动量守恒（没有外力矩）转轴处有外力（动量不守恒）第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日初角动量OV0末角动量球和棒粘在一起求出第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日前能量后能量第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日小结1、什么是刚体？2、为何研究刚体的定轴转动？3、转动中的物理量4、转动惯量一般运动＝平动＋定轴转动不连续连续与质量大小、分布转轴位置有关第三十页，共四十四页，2022年，8月28日6、转动定律5、力矩怎样力矩为零7、角动量L=J8、转动动能角动量定理角动量守恒定律M=0时Jw=C第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日P158.表5.2对应关系：(量纲不同)第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日牛顿定律转动定律动量守恒定理动量矩守恒定理动能定理动能定理作业：5.10(5.11),5.11(5.12),5.13(5.13),5.14(5.14)课堂练习3:5.15(5.15)第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日5.12解：（1）取子弹与棒为系统，系统动量矩守恒(2)棒受力如图所示，其中F为棒所受的子弹在Δt内的平均冲力。法向：解(i)：切向：第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日角动量定理*Nt的另一种表示：第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日（3）令可得第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日4.5解：由动能定理可得代入数据，可得4.6解：以地面为参考系，因子弹和木块系统水平方向不受到力的作用，所以系统动量守恒，于是有第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日（V为系统的最后的共同速度）（1）设S1为子弹停在木块内之前木块移动的距离，于是子弹对地面的位移为s=s1+s’。对子弹应用动能定理，得子弹的动能增量为木块动能的增量=摩擦力的功，即第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日（2）因f’=f，所以两式相加得即，一对摩擦力之一沿相对位移所做的功=子弹和木块总机械能的增量4.11解：（1）设M、m、地球为系统，因M、m间的相互作用力与两者的相对位移垂直，而无外力做功，所以系统机械能守恒：第三十九页，共四十四页，2022年，8月28日而在水平方向上，M、m系统不受力的作用，设m的运动方向为正方向，则有（2）（3）物体m到达最低点时，水平方向受力为零，竖直方向上受力为M对m的向上的正压力（N’）和向下的重力，于是有第四十页，共四十四页，2022年，8月28日球对槽M的作用力为N=-N’第四十一页，共四十四页，2022年，8月28日4-2法向：N和mgcosqmgNFf受力情况：切向：F和f，mgsinqF=f+mgsinqN=mgcosqq=Wf+WG第四十二页，共四十四页，2022年，8月28日质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变，即1.合外力为零，或外力与内力相比