建筑结构抗震设计讲义六

第三章地震作用和结构抗震验算一、课程内容二、重点、难点和基本要求2023/3/131结构抗震设计第三章课程内容§3-1概述§3-2单自由度弹性体系的地震反应§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法§3-4多自由度弹性体系的地震反应§3-5多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法§3-6底部剪力法和时程分析法§3-7水平地震作用下的扭转效应§3-8结构的竖向地震作用§3-9结构自振周期的近似计算§3-10地震作用计算的一般规定§3-11结构抗震验算2023/3/132结构抗震设计第三章重点、难点和基本要求重点和难点：1、重要术语、概念、定义2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算3、底部剪力法4、结构抗震验算基本要求：掌握结构抗震验算基本方法2023/3/133结构抗震设计§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用

----地震反应谱法一、水平地震作用的计算公式二、建筑的重力荷载代表值三、抗震设计反应谱2023/3/134结构抗震设计

一、水平地震作用的计算公式地面水平运动时，作用于单自由度体系质点上的惯性力F（t）为若考虑到cx(t)<<kx(t)而略去不计，则得

上式表明，在地震作用下，质点任一时刻的相对位移与该瞬时的惯性力成正比，且比例系数为体系的刚度k。因此可以认为这一位移是由该瞬时的惯性力引起的，故可将惯性力理解为一种能反映地震影响的等效荷载。若考虑到，并取，则得水平地震作用，即

在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大绝对值，即质点质量m与最大绝对加速度的乘积。

2023/3/135结构抗震设计计算水平地震作用最大值的基本公式设F为水平地震作用最大值，则得或，这里，令：，代入上式，并以FEK代替F，则得计算水平地震作用的基本公式：式中：FEK--水平地震作用标准值；Sa--质点加速度最大值；----地震动峰值加速度；β----动力系数；k----地震系数；

α----地震影响系数；G----建筑的重力荷载代表值。求作用在质点上的水平地震作用FEK，关键在于求出地震系数k和动力系数β，或者是地震影响系数α。

2023/3/136结构抗震设计二、建筑的重力荷载代表值地震动时能作质量产生地震作用(惯性力)的各种竖向荷载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物重力荷载的取值称为重力荷载代表值。《抗震规范》规定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重(恒

载)标准值和各可变荷载(活荷载)组合值之和。各可变荷载的组合值系数按规范取值。

由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用组合值(即组合值系数乘以可变荷载标准值)，故建筑物的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的“有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确定的，所以按式计算得到的地震作用也是标准值。

2023/3/137结构抗震设计组合值系数

可变荷载种类组合值系数雪荷载0.5屋面积灰荷载

0.5屋面活荷载

不考虑按实际情况考虑的楼面活荷载

1.0按等效均布活荷载考虑的楼面活荷载藏书库、档案库0.8其它民用建筑0.5吊车悬吊物重力硬钩吊车0.3软钩吊车不考虑2023/3/138结构抗震设计三、抗震设计反应谱1、地震系数k地震系数是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参数。例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是这次地震在该处的k值(以重力加速度g为单位)。2023/3/139结构抗震设计设防烈度与地震系数的对应关系地面运动加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系：从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一度，k值大致增加一倍。设防烈度6789地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.402023/3/1310结构抗震设计地震动峰值加加速度和设计计基本地震加加速度与地震震系数抗震设防烈度度和设计基本本地震加速度度的对应关系系表中设计基本本地震加速度度的取值与《《中国地震动动参数区划图图》所规定的的地震动峰值值加速度相当当。设防烈度与地地震系数的对对应关系地震系数地震动峰值加加速度地震系数是地震动峰值值加速度（地地面运动的最最大绝对加速速度）与重力力加速度的比比值，也就是是以重力加速速度为单位的的地震动峰值值加速度。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g设防烈度6789地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.402023/3/611结构抗震设计计2、动力系数数动力系数：是单自由度弹弹性体系在地地震作用下最最大反应加速速度与地面运运动最大加速速度的比值，，表示由于动动力效应，质质点的最大绝绝对加速度比比地面运动最最大加速度放放大了多少倍倍。β无量纲，其值值与地震烈度度无关，因为为当增增大大或减小时，，Sa相应随之增大大或减小。这这样就可利用用所有不同烈烈度的地震记记录进行计算算和统计。动力系数β还可以表示为为：由上式可知，，动力系数与与地面运动加加速度记录的的特征、结结构的自振周周期T及阻尼比ζ有关。当地面面加速度记录录和和阻阻尼比ζ给定时，就可可根据不同的的T值算出动力系系数β，从而得到一条条β~T曲线。这条曲曲线就称为动动力系数反应应谱曲线。动力系数是单单质点m最大反应加速速度Sa与地面运动最最大加速度之比，而对对于给给定的地震是是个定值，所所以β~T曲线实质上是是一种加速度度反应谱曲线线。2023/3/612结构抗震设计计3、地震影响响系数地震影响系数数：表示单自由度度弹性体系在在地震时以重重力加速度g为单位的最大大反应加速度度。地震影响系数数也是作用在在质点上的地地震作用与结结构重力荷载载代表值之比比（））。《抗震规范》》是以地震影影响系数作为为抗震设计依依据的，其数数值应根据烈烈度、场地类类别、设计地地震分组以及及结构自振周周期和阻尼比比，通过地震震影响系数曲曲线（抗震设设计反应谱））确定：2023/3/613结构抗震设计计（1）地震影响系数数曲线（抗震震设计反应谱谱）----地震震影响系数；；----地震影影响系数最大大值；----结构构自振周期；；----特征周周期（？？））；----直线线下降段的下下降斜率调整整系数；----阻尼尼调整系数；；----衰减指指数2023/3/614结构抗震设计（2）抗震设计反应谱的的特征及参数取值值1）曲线由由四部分组成，其其值也由四部分构成。2）结构自振周期1、单自由度体系系：----质点在单单位水平集中力作作用下产生的侧移移2、多质点体系：：近似计算（P87：§3-9）3）特征周期4）地震影响系数最大大值：5）对应于阻尼比等于于0.05和不等等于0.05，抗抗震设计反应谱的的形状参数（、、、、）不不同：即不同阻尼比的地地震影响系数是有有差别的：随着阻阻尼比的减小，地地震影响系数增大大，而其增大的幅幅度则随周期的增增大而减小。2023/3/615结构抗震设计设计特征周期规范规定，根据建建筑工程的实际情情况，将地震动反应谱特征周期Tg，取名为“设计特征征周期”。设计特征周期的值值应根据建筑物所所在地区的地震环环境确定。（所谓谓地震环境，是指指建筑物所在地区区及周围可能发生生地震的震源机制制、震级大小、震震中距远近以及建建筑物所在地区的的场地条件等。））抗震设计中，设计计特征周期Tg的取值根据“设计地震分组”确定。2023/3/616结构抗震设计设计地震分组GB50011——2001规范在附录A中规定了县级及县县级以上城镇的中中心地区(如城关关地区)的抗震设设防烈度、设计基基本地震加速度和和所属的设计地震震分组。特征周期Tg值设计地震分组场地类别Ⅰ

ⅡⅢ

IV第一组0.250.350.450.65第二组0.300.400.550.75第三组0.350.450.650.902023/3/617结构抗震设计水平地震影响系系数最大值（阻阻尼比0.05）注：括号数字分分别对应于设计基本地震加加速度0.15g和0.30g地区的地震作用用影响系数。地震影响烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震0.50（0.72）0.90（1.20）1.402023/3/618结构抗震设计设计基本地震加加速度1．设计基本地地震加速度定义：50年设设计基准期超越越概率10％的的地震加速度设设计取值。抗震设防烈度和和设计基本地震震加速度的对应应关系表中设计基本地地震加速度的取取值与《中国地地震动参数区划划图》所规定的的地震动峰值加加速度相当。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g2023/3/619结构抗震设计§3-4多自由度度弹性体系的地地震反应一、多质点和多多自由度体系二、两自由度弹弹性体系的自由由振动1、两自由度运运动方程的建立立2、两自由度弹弹性体系的运动动微分方程组3、两自由度弹弹性体系的自由由振动三、多自由度弹弹性体系的自由由振动1、n自由度体系运动动微分方程组2、n自由度弹性体系系的自由振动四、振型分解法法1、两自由度体体系振型分解法2、n自由度体系振型分解法2023/3/620结构抗震设计一、多质点和多多自由度体系在进行建筑结构构地震反应分析析时，除了少数数质量比较集中中的结构可以简简化为单质点体体系外，大量的的多层和高层工工业与民用建筑筑、多跨不等高高单层工业厂房房等，质量比较较分散，则应简简化为多质点体体系来分析，这这样才能得出比比较符合实际的的结果。一般，对多质点体系，若若只考虑其作单单向振动时，则则体系的自由度度与质点个数相相同。2023/3/621结构抗震设计二、两自由度弹弹性体系的自由由振动左图为一两自由由度弹性体系在在水平地震作用用下，在时刻t的变形情况。Xg(t)为地震时地面运运动的水平位移移，质点1和质点2沿地面运动方向向产生的相对于于地面的水平位位移分别为x1(t)和x2(t)，而相对速度则为为和和，，相对加速度度为和，绝对加速度分分别为+和+。2023/3/622结构抗抗震设设计1、两两自由由度运运动方方程的的建立立单自由由度体体系相相似，，取质质点1作隔离离体，，则作作用在在其上上的惯惯性力力为：：弹性恢恢复力力为：阻尼力力为：式中k11——使质点点1产生单单位位位移而而质点点2保持不不动时时，在质点点1处所需需施加加的水水平力力；k12——使质点点2产生单单位位位移而而质点点1保持不不动时时，在质点点1处引起起的弹弹性反反力；；c11——质点1产生单单位速速度而而质点点2保持不不动时时，在质点点1处产生生的阻阻尼力力；c12——质点2产生单单位速速度而而质点点1保持不不动时时，在质点点1处产生生的阻阻尼力力；m1——集中在在质点点1上的质质量。。2023/3/623结构抗抗震设设计2、两两自由由度弹弹性体体系的的运动动微分分方程程组根据达达朗贝贝尔原原理，，I1+R1+S1=0，经整理理得下下列运运动方方程同理对对于质质点2:上二式式就是是两自自由度度弹性性体系系在水水平地地震作作用下下的运运动微微分方方程组组。上述列列动力力平衡衡方程程求解解的方方法常常称为为刚度度法。。运动动方程程中的的系数数kij反映了了结构构刚度度的大大小，，称为为刚度度系数数。2023/3/624结构抗抗震设设计3、两两自由由度弹弹性体体系的的自由由振动动以两自自由度度体系系为例例，令令方程程组等等号右右边荷荷载项项为零零，由由于阻阻尼对对体系系自振振周期期影响响很小小，故故略去去阻尼尼，即即得该该体系系无阻阻尼自自由振振动方方程组组：设两个个质点点作同同频率率、同同相位位的简简谐振振动，，则上上列微微分方方程组组的解解为：：式中X1和X2——分别为为质点点1和质点点2的位移移振幅幅；ω———振动频频率；；φ———初相位位。经整理理后得得下列列振幅幅方程程：：2023/3/625结构抗震设设计1）、自振频率和和自振周期期上式为Xl和X2的线性齐次次方程组；；体系在自自由振动时时，X1和X2不能同时为为零，否则则体系就不不可能产生生振动。为使上式有有非零解，，其系数行行列式必须须等于零，，即：展开行列式式，可得ω2的二次方程程：上式称为频频率方程，，解之得：：由此可求得得ω的两个正实实根，它们们就是体系系的两个自自振圆频率率。其中较较小的一个个用ωl表示，称为为第一频率率或基本频频率，较大大的一个ω2称为第二频频率。利用式可可由ωl和ω2求得体系的的两个自振振周期，即即T1=2π/ω1和T2=2π/ω2，且T1＞T2，T1称为第一周周期或基本本周期，T2称为第二周周期。2023/3/626结构抗震震设计2）、主振型由于线性性齐次方方程组的的系数行行列式等等于零，，所以两两个频率率方程并并不是独独立的，，振幅方方程的解解只能是是两质点点位移振振幅的比比值，如如：或当，，振幅比值值为：当，，振幅比值值为：式中：——体系按频频率ωj(频率序号号j=1，2)自由振动动时，质质点i(质点编号号i=1，2)的位移振振幅。当，，质质点位移移：和和当，，质质点位移移：和和式中——体系按频频率ωj(频率序号号j=1，2)自由振动动时，质质点i(质点编号号i=1，2)的位移2023/3/627结构抗震震设计则在两种种不同频频率的自自由振动动过程中中，两质质点的位位移比值值分别为为：当时时，，当当时时，上式中每每一比值值均与时时间无关关，且为为常数。。这就表表明，对对应于各各个自振振频率，，体系在在相应自自由振动动过程中中的任意意时刻，，两质点点的位移移比值(或振动动曲线形形状)始始终保持持不变，，且等于于Xj2／Xj1，改变的只只是位移移大小和和方向。。这种保保持质点点位移比比值不变变的振动动形式(或形状状)称为为主振型型。当体体系按第第一频率率ω1振动时的的振动形形式称为为第一主主振型(简称第第一振型型或基本本振型)，而对对应于第第二频率率ω2的振动形形式称为为第二主主振型(简称第第二振型型)。主振型是是弹性体体系的重重要固有有特征，，它们完完全取决决于体系系的质量量和刚度度的分布布，体系系有多少少个自由由度就有有多少个个频率，，相应地地就有多多少个主主振型。。2023/3/628结构抗震震设计3）、自自由振动动方程的的通解两自由度度弹性体体系自由由振动方方程式的的通解为为其特解解即分别别对应两两个自振振圆频率率的质点点位移的的线性组组合，也也即：其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始条条件确定定。由上式可可见，在在一般初初始条件件下，任任一质点点的振动动都是由由各主振振型的简简谐振动动叠加而而成的复复合振动动。2023/3/629结构抗震震设计4）、质质点复合合振动振振型曲线线和惯性性力两自由度度弹性体体系分别别按频率率ω1和ω2作简谐振振动时，，两个振振型的变变形曲线线及两质质点上相相应的惯惯性力如如图所示示。惯性力力可表表示为为，，其其中i为质点点编号号，j为振型型序号号，而而且主主振型型变形形曲线线可视视为体体系上上相应应的惯惯性力力引起起的静静力变变形曲曲线，，因为为由可可知知，结结构在在任一一瞬时时的位位移就就是等等于惯惯性力力所产产生的的静力力位移移。在一般般初始始条件件下，，任一一质点点的振振动都都是由由各主主振型型的简简谐振振动叠叠加而而成的的复合合振动动。2023/3/630结构抗抗震设设计5）、、主振振型的的正交交性根据功功的互互等定定理，，第一一主振振型上上的惯惯性力力在第第二主主振型型的位位移上上所做做的功功等于于第二二主振振型上上的惯惯性力力在第第一主主振型型的位位移上上所做做的功功，这这样可可得到到：整理后后得到到：由于ω1≠ω2，所以：：上式所所表示示的关关系，，称为为主振振型的的正交交性，，它反反映了了主振振型的的一种种特性性，即即体系系各质质点的的质量量与其其在两两个不不同振振型上上的位位移振振幅的的连乘乘积的的代数数和为为零。。物理意意义是是：某某一振振型在在振动动过程程中所所引起起的惯惯性力力不在在其它它振型型的位位移上上作功功。这这说明明某一一振型型的动动能不不会转转移到到其它它振型型上去去，也也就是是体系系按某某一振振型作作自由由振动动时不不会激激起该该体系系其它它振型型的振振动。。2023/3/631结构抗抗震设设计三、多多自由由度弹弹性体体系的的自由由振动动1、n自由度度体系系运动动微分分方程程组2、n自由度弹性体系的的自由振动2023/3/632结构抗震设计1、n自由度体系运动微微分方程组把两自由度弹性体体系的运动微分方方程组推广到n自由度体系，则其其运动微分方程组组应由n个方程组成，一般般表达式为:式中Cij——质点j产生单位速度，而而其它质点保持不不动时，在质点i处产生的阻尼力；；kij——质点j产生单位位移，而而其它质点保持不不动时，在质点i处引起的弹性反力力；mi——集中在质点i的质量。求解上述运动方程程组，一般采用振振型分解法。该法法需要利用多自由由度弹性体系的振振型，它们是由分分析体系的自由振振动得来的。为此此，须先讨论多自自由度体系的自由由振动问题。2023/3/633结构抗震设计2、n自由度弹性体系的的自由振动对于n自由度体系，由上上式可得其自由振振动方程组：（i=1，2，…，，n）设微分方程组的解解为：代入上式，经整理理后得：……………2023/3/634结构抗震震设计1）、自振频率率和自振振周期令方程的的系数行行列式等等于零，，即可求求得频率率方程，，此方程程是一个个以ω2为未知数数的一元元n次方程，，解此方方程，可可以求出出n个根ω12、ω22、、…、ωωn2，即可得出出体系的的n个自振圆圆频率，，按由小小到大的的顺序排排列依次次为ω1<ω2<…<ωi<…<ωn。对应的n个自振周周’期由由大到小小的顺序序则为T1>T2>…>Ti>…>Tn。ω2、、…、ωn统称为高高阶频率率。一般般说来，，当体系系的质点点数多于于3个时，频频率方程程的求解解就比较较困难，，常常不不得不借借助于一一些近似似计算方方法和电电子计算算机。2023/3/635结构抗震震设计2）、主振型和和自由振振动方程程的通解解对于n自由度弹弹性体系系，有n个自振频频率，将将其依次次代入频频率方程程可求得得相应的的n个主振型型，除第第一主振振型外的的其它振振型统称称为高阶阶振型。。n自由度弹弹性体系系自由振振动时，，任一质质点的振振动都是是由n个主振型型的简谐谐振动叠叠加而成成，故自自由振动动方程的的通解可可写为（i=1，，2，……，n））式中——第j振型i质点的相相对位移移；——第j振型i质点的位位移振幅幅。2023/3/636结构抗抗震设设计3）、、主振型型的正正交性性对n自由度度弹性性体系系，主主振型型正交交性一一般可可表示示为（j≠k）它反映映了主主振型型的一一种特特性，，即体体系各各质点点的质质量与与其在在不同同振型型上的的位移移振幅幅的连连乘积积的代代数和和为零零。其物理理意义义是：：某一一振型型在振振动过过程中中所引引起的的惯性性力不不在其其它振振型的的位移移上作作功。。这说明某一一振型的动动能不会转转移到其它它振型上去去，也就是是体系按某某一振型作作自由振动动时不会激激起该体系系其它振型型的振动。。2023/3/637结构抗震设设计四、振型分分解法多自由度弹弹性体系在在水平地震震作用下的的运动方程程为一组相相互耦联的的微分方程程，联立求求解有一定定困难。振型分解法法就是通过过把体系的的位移反应应按振型加加以分解，，并利用各各振型相互互正交的特特性，将原原来耦联的的微分方程程组变为若若干互相独独立的微分分方程，从从而使原来来多自由度度体系结构构的动力计计算变为若若干个相当当于各自振振周期的单单自由度体体系结构的的问题，在在求得了各各单自由度度体系结构构的地震反反应后，采采用振型组组合法即可可求出多自自由度体系系的地震反反应。振型分解法法是求解多多自由度弹弹性体系地地震反应的的重要方法法。2023/3/638结构抗震设设计1、两自由由度体系振型分解法法将质点m１及m２在地震作用用下任一时时刻的位移移x１(t)和x２(t)用其两个振振型的线性性组合来表表示：上式实际上上是一个坐坐标变换公公式，x１(t)和x２(t)为原来的几几何坐标，，而新坐标标q１