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平行概念辨析1．平行关系的判定和证明直线与直线平行的判定，主要是通过直线与平面平行的性质定理、平面与平面平行的性质定理或直线与平面垂直的性质定理推理、论证的，以“面”定“线”是思考路线．直线与平面、平面与平面平行的判定，主要运用判定定理．例1．已知正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、DB上各有一点P、Q，且AP=DQ，求证：PQ∥平面BCE．分析：证明线面平行有两个途径，一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质．如果用第一种方法，需要在平面BEC内找一条直线与PQ平行．由图很自然地会先猜想EC是否就是平行PQ的直线，利用运动变化是判断猜想是否正确的一个好方法，让P点沿AE线段运动，在这个过程中观察PQ是否总和EC平行．由于AP=DQ，因此Q点随P点运动而运动，考虑极端情况，当P接近A时，Q点接近P，显然PQ不平行于EC，从而否定了这个猜想，怎样在平面BEC内找出与PQ平行直线呢？可采用“过直线，作平面，得交线”的办法．过PQ作一平面与平面BEC相交，只要证明交线与PQ平行即可，过PQ作平面的方法有几个，下面仅介绍其中一个．如果用第二种方法，需要作一个平面与平面BEC平行．证明1．连AQ并延长交BC于M，连结EM．∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴，∵ABCD和ABEF是有公共边的正方形，并且AP=DQ，∴，∴PQ∥EM，又EM平面BEC，PQ平面BEC，∴PQ∥平面BEC．证法2．作PM∥EB交AB于M，连结MQ．∵PM∥EB∴，∴MQ∥AD，MQ∥BC．∴MQ∥平面BEC，同理MP∥平面BEC，又MP∩MQ=M，MP平面MPQ，MQ平面MPQ，∴平面MPQ∥平面BEC，PQ平面MPQ，∴PQ∥平面BEC．2．在有关平行关系的证明中，常用反证法或同一法，可举适当的例题，让学生领会如何运用这类证明方法．例2．已知，直线a平行于平面，B是平面内的一点，且直线BC平行于直线a，求证：BC在平面内．证明：如图，过点B和直线A作平面β．∵B既在内，又在β内，∴∩β=．∵a∥，∴a∥，又BC∥a，而过只有一条直线与a平行，∴与BC重合∵在平面内，∴BC在平面内．评述：本题的证明方法是“同一法”．例3．求证如果一条直线和两个平行平面中的一个平面相交，那么它也和另一个平面相交，已知：平在α∥平面β，直线AB∩α=A．求证：直线AB和平面β相交．分析：用反证法证明，直线与平面的位置线有三种：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行，因此本题欲证结论的反面应是平行与在面内两种情况证明：(1)假设AB∥β，过AB作平面r，使β∩r=CD，则AB∥CD．∵AB∩α=A，A既在α内，又在r内．∴α∩r=．∵α∥β．∴∥CD．于是AB∥与AB∩=A矛盾∴AB不能与平面β平行．(2)假设ABβ，因为AB∩α=A，则点A既在α内，又在β内，所以α与β相交于过A点的直线，这与α∥β矛盾．∴ABα由(1)(2)知，AB与平面

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