浅析初中几何教学“梯形”中常用的辅助线的作法-2019年教育文档

浅析初中几何教学“梯形”中常用的辅助线的作法梯形是一种特殊的图形，是平行四边形和三角形知识的综合.在解决梯形的问题时，由于很难直接找到条件和结论间的关系，故在解题的过程中，需要添加适当的辅助线，把梯形分割成三角形和平行四边形，再运用三角形和平行四边形的有关知识对问题进行解答.在实际的练习中，有关梯形知识的问题也是千变万化，不同条件的梯形转换方式也不尽相同，因此在题目中所做的辅助线也有所差异.在梯形的证明题和计算题中常用的辅助线有：一、平移腰由于梯形有两腰，根据题目条件平移其中一腰或两腰，即过梯形上底或下底的一个端点或一腰的中点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形和三角形.例1如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=3，BC=9，求梯形的周长.解析有一个底角为60°的等腰梯形，如果平移一腰，可得平行四边形和等边三角形.过点D作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形，由等腰梯形可得∠B=∠C=60°，三角形DEC为等边三角形，则腰长为两底之差，故AB=CD=6，所以梯形的周长=AD+BC+AB+CD=3+9+6+6=24.例2如图，梯形ABCD中，AD∥BC，两腰BA，CD的延长线相交于点E，且∠E=90°，M，N分别为AD、BC的中点，则MN与两底之间有怎样的数量关系？解析此题涉及的是梯形上、下底中点的问题.如果我们把两腰AB，CD平行移动到MF，MG的位置，即过点M作MF∥AB交BC于点F，MG∥CD交BC于点G，则构成了两个平行四边形ABFM和DCGM，则有AM=BF，DM=CG，使FG成为两底之差，N为FG的中点.二、构造中位线已知梯形一腰或两腰的中点，可连接两腰中点或过一腰的中点做一条底边的平行线构成梯形的中位线.例3在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，M为CD中点，求证：MA⊥MB.解析作中位线MN，则有AD∥MN∥BC，2MN=AD+BC=AB，所以有AN=MN=BN，可得直角三角形AMN，结论可证.对于出现一腰中点的题型，除了作中位线以外，还可以连接中点与上底另一端点并延长与下底相交，比如此题我们还可以延长AM交BC的延长线于点N，通过证明△AMD≌△NMC，将AD转化到CN的位置，构造出等腰三角形ABN，利用等腰三角形三线合一的性质可得结论.三、平移对角线过梯形的一个顶点作对角线的平行线，转化为三角形、平行四边形，将对角线的有关条件转化到一个三角形中.例4在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，高DE=10cm.求上、下底的和与面积.解析过点A作AG∥DB，交CB的延长线于点G，则∠G=∠DBC=45°.∵AD∥BC，∴四边形AGBD是平行四边形.∴AG=DB=AC，AD=GB，∵AB=DC，∴△ABG≌△CDA（SSS），∴∠AGC=∠CAD=45°，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠CAD=45°，即∠GAC=90°，△GAC为等腰直角三角形.四、其他方法由于文章的篇幅有限，在初中数学几何解题中，关于梯形问题的辅助线的作法还有很多，如作梯形的高：过梯形同一底边的两个端点作梯形的两条高，把梯形分割为两个直角三角形和一个矩形；连对角线：连对角线将梯形转化为三角形；延长两腰：延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形；旋转上底：旋转由梯形一底和一腰中点构成的三角形等方法都可以作为梯形问题的解题方法，具体的要根据文章的条件和结论确定.综上所述，在梯形的证明和计算中，作的辅助线并不一定是单一的，有时可