人教B版（2022）高中数学选择性必修第二册4.3.1　一元线性回归模型word含答案

统计模型一元线性回归模型课后篇巩固提升基础达标练1.设两个变量x和Y之间具有线性相关关系,它们的相关系数是r,Y关于x的回归直线方程的回归系数为b^,回归截距是a^,那么必有(A.b^与r的符号相同B.a^与rC.b^与r的符号相反D.a^与r解析由公式可知b^与r的符号相同答案A2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:父亲身高x/cm174176176176178儿子身高Y/cm175175176177177则Y对x的线性回归方程为()A.y^=x-1B.y^=x+C.y^=88+12D.y^=解析设Y对x的线性回归方程为y^=因为b^=-2×(-1)+0×(-1)+0×0+0×1+2×1答案C3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=12x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( C.12解析因为所有的点都在直线上,所以它就是确定的函数关系,所以相关系数为1.答案D4.从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如表所示:身高x/cm160165170175180体重y/kg6366707274根据上表可得回归直线方程y^=+a^,据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重约为(kg kg kg kg解析x=160+165+170+175+180y=63+66+70+72+745因为回归直线过点(x,所以将点(170,69)代入y^=+a^中得a^=,所以回归直线方程为y^=代入x=答案B5.某商店为了了解热饮销售量y(单位:杯)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天卖出的热饮的杯数与当天气温,并制作了表格:气温/℃181310-1销售量/杯24343864由表中数据算得线性回归方程y^=b^x+a^中的b^≈-2,预测当气温为-5℃时,解析根据表格中的数据可求得x=14×(18+13+10-y=14×(24+34+38+64)所以a^=y-b^x=40-(所以y^=-2x+60.当x=-5时y^=-2×(-5)+60=70(杯)答案706.若回归直线方程中的回归系数b^=0,则相关系数r=.解析相关系数r=∑i=1n(xi-答案07.已知x,Y的取值如下表:x2345Y从散点图分析,Y与x线性相关,且回归直线方程为y^=+a,则a的取值为.解析由已知得x=144=,又因为回归直线过(x,所以=×+a,所以a=.答案8.(2022全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2022年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2022年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2022年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y^=+;根据2022年至2022年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y=99+(1)分别利用这两个模型,求该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解(1)利用模型①,该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值为y^=+×19=(亿元)利用模型②,该地区2022年的环境基础设施投资额的预测值为y^=99+×9=(亿元)(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2022年的数据对应的点没有随机散布在直线y=+上下,这说明利用2000年至2022年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2022年相对2022年的环境基础设施投资额有明显增加,2022年至2022年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2022年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2022年至2022年的数据建立的线性模型y^=99+可以较好地描述2022年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠(ⅱ)从计算结果看,相对于2022年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可)能力提升练1.(2022山东莒县第二中学高考模拟)相关变量x,y的散点图如图所示,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一:根据图中所有数据,得到线性回归方程y^=b1x+a1,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数据得到线性回归直线方程y^=b2x+a2,相关系数为r2.则(<r1<r2<1<r2<r1<1<r1<r2<0<r2<r1<0解析由散点图得负相关,所以r1,r2<0.因为剔除点(10,21)后,剩下点数据更具有线性相关性,|r|更接近1,所以-1<r2<r1<0.答案D2.(2022北京人大附中高考模拟)如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线,若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大,则应当去掉的点是() 解析因为相关系数的绝对值越大,越接近1,则说明两个变量的相关性越强.该图所表示的两个变量是正相关,又因为点E到直线的距离最远,所以去掉点E,余下的5个点所对应的数据的相关系数最大.答案B3.(2022河南高二月考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品事先拟定的价格进行试销,得到如下数据.单价x/元456789销量y/件908483807568由表中数据求得线性回归方程y^=-4x+a,则a=,当x=10元时预测销量为件.解析由题得:x=16(4+5+6+7+8+9)y=16(90+84+83+80+75+∴a=80+4×132=∴x=10⇒y^=106-40=66答案106664.(2022内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二月考)在研究两个变量的线性相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=ebx+a的周围,令z=lny,求得回归直线方程z^=则该模型的回归方程为.解析由回归直线方程z^=得lny=整理得y=所以该模型的回归方程为y^=答案y^=山东沂水模拟)随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,很多消费者对手机流量的需求越来越大.某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价x(单位:元/月)和购买人数y(单位:万人流量包的定价/(元/月)3035404550购买人数/万人18141085(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是负相关;(2)①求出y关于x的回归方程;②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为25元/月,请用所求回归方程预测该市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人.参考数据:25000≈158,26000≈161,参考公式:相关系数r=∑i=1n(xi-x)(解(1)根据题意,得x=15(30+35+40+45+50)=40,y=15(18+14+10+可列表如下i12345xi-x-10-50510yi-y73-1-3-6(xi-x)(yi-y)-70-150-15-60根据表格和参考数据,得∑i=15(xi-x)(yi-y)=-160,∑因而相关系数r=∑i=1由于|r|≈很接近1,因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.由于r<0,故其关系为负相关.(2)①b^=∑i=15(xi-因而y关于x的回归方程为y^=+②由①知,若x=25,则y^=×25+=,故若将流量包的价格定为25元/月,可预测该市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人素养培优练(2022山东蒙阴实验中学高三期末)某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y(单位:元)与生产该产品的数量x(单位:千件)有关,经统计得到如下数据:x12345678y1126135282524根据以上数据,绘制了散点图.观察散点图,两个变量不具有线性相关关系,现考虑用反比例函数模型y=a+bx和指数函数模型y=cedx分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为y^=y与x的相关系数r1=.参考数据其中ui=∑i=18uiuu∑∑i=18∑0e-236022(1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程;(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到,并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本;(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产,即产品全部售出).根据市场调研数据,若该产品单价定为100元,则签订9千件订单的概率为,签订10千件订单的概率为;若单价定为90元,则签订10千件订单的概率为,签订11千件订单的概率为.已知每件产品的原料成本为10元,根据(2)的结果,企业要想获得更高利润,产品单价应选择100元还是90元,请说明理由.参考公式:对于一组数据(u1,υ1),(u2,υ2),…,(un,υn),其回归直线υ=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n解(1)令u=1x,则y=a+bx可转化为因为y=360所以b^=则a^=y-b^u所以y^=11+100u所以y关于x的回归方程为y^=11+100(2)y与1xr2=∑=6161.因为|r1|<|r2|,所以用反比例函数模型拟合效果更好,当x=10时,y=10010+11=21(元所以当产量为10千件时,每件产品的非原料成本为21元.(3)(ⅰ)若产品单价为100元,记企业利润为X(千元),订单为9千件时,每件产品的成本为2899元,企业的利润为611(千元订单为10千件时,每件产品的成本为31元,企业的利