一元一次方程及其解法教学设计-【教学参考】

一元一次方程及其解法一元一次方程及其解法一元一次方程及其解法第3章一次方程与方程组3．1一元一次方程及其解法第1课时一元一次方程教学目标【知识与技能】1．使学生掌握方程的概念、一元一次方程的概念、方程的解．2．使学生初步了解方程的一般步骤，体会用方程解决问题的优越性．【过程与方法】经历具体问题的数量关系，形成方程的模型，使学生形成利用方程观察、认识现实世界的意识和能力．教学重难点【重点】方程、一元一次方程、方程的解的概念；以实际问题形成方程的模型、列方程．【难点】列方程解决实际问题．教学过程一、问题展示，引入新课师：同学们，上新课之前，我们先一起来看这一道题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地．A、B两地间的路程是多少？师：请同学们用算术方法解决这个问题．学生独立思考后，与大家交流，老师再做简单讲解．师：如果设A、B两地相距xkm，你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗？匀速运动中，时间＝eq\f(路程,速度).根据问题的条件，客车和卡车从A地到B地的行驶时间，可以分别表示为eq\f(x,70)h和eq\f(x,60)h．因为客车比卡车早1h经过B地，所以eq\f(x,70)比eq\f(x,60)小1，即eq\f(x,60)－eq\f(x,70)＝1①我们已经知道，方程是含有未知数的等式．等式①中的x是未知数，这个等式是一个方程．(教学过程中对学生的回答，及时给予鼓励和表扬，激发他们对数学的兴趣)师：以后我们将学习如何解方程求出未知数x，从而得出A、B两地间的路程为420km，同学们，与算术方法相比较，用方程来解决问题具有什么特点？学生相互交流，说出自己对方程的感受．教师引出方程的概念．含有未知数的等式叫做方程．二、例题讲解师：下面我们再来一起做几个例题．【例】根据下列问题，设未知数并列出方程：(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？(2)一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时．【答案】(1)设正方形的边长为xcm，列方程得4x＝24.(2)设x月后这台计算机的使用时间已达到2450小时，那么在x月里这台计算机使用了150x小时，列方程得1700＋150x＝2450.教师总结：同学们在列方程时，一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义，体会列方程所依据的等量关系．师：上面各方程都含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．那么如何从实际问题中列出方程呢？请同学们总结出列方程的一般步骤．(学生互相讨论，交流合作)师：列方程解应用题的一般步骤：eq\x(实际问题)eq\o(→,\s\up7(设未知数、列方程))eq\x(一元一次方程)分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学知识解决实际问题的一种方法．师：当x＝6时，4x的值为多少？生：24.师：也就是说x＝6是方程4x＝24的解．师总结：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未值数的值，这个值就是方程的解．三、巩固练习1．已知下列方程：(1)3x－2＝6(2)x－1＝eq\f(1,x)(3)eq\f(x,2)＋1.5x＝8(4)3x2－4x＝10(5)x＝0(6)5x－6y＝8(7)eq\f(2,x)＝3.其中是一元一次方程的是________(填序号)．2．下列数中，是方程5x－3＝x＋1的解的是()A．－1B．0C．1D．2(学生思考，教师提问．)【答案】1.(1)(3)(5)2.C四、课堂小结这一节课你获得了哪些知识？有什么感受？(教师引导学生一起回顾这节课所学知识，鼓励学生用自己的语言进行回答)第2课时等式的性质教学目标【知识与技能】1．理解等式的基本性质．2．会根据等式的基本性质解方程．【过程与方法】经历探索等式的基本性质的过程，培养学生动手的能力以及对数学的兴趣．教学重难点【重点】等式的基本性质．【难点】用等式的基本性质解方程．教学过程一、温故知新师：同学们，你们知道什么叫方程吗？方程的解呢？那么什么又是等式？学生回答，教师点评．二、讲授新课1．合作探究．师：像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2等都是等式．通过下面的实验，我们一起来探究等式的一些性质，同学们看，这是一台天平，请仔细观察实验过程．请同学们用语言叙述这个实验过程．生：天平两边分别放入一个铁球和砝码，天平平衡，再在两边都加上相同的木块，天平仍平衡，再拿掉木块天平仍平衡．师：这位同学回答得完全正确．如果我们把天平看成是等式，那么又会得到什么结论呢？小组讨论，合作交流．师：总结得出等式的性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，结果仍是等式．师：请同学们继续观察下面的实验．请同学们用语言表达出这个实验过程．生：天平两边各放入一个小球和砝码，天平平衡，如果把两边小球和砝码的数量都变成原来的3倍，那么天平仍平衡．师：与上面一样，如果我们把天平看成是等式，那么又有什么结论呢？小组讨论，合作交流．师：我们可以得出等式的性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．性质3如果a＝b，那么b＝a.(对称性)例如，由－4＝x，得x＝－4.性质4如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(传递性)例如，如果x＝3，又y＝x，所以y＝3.在解题的过程中，根据等式的这一性质，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．三、例题讲解【例】利用等式的性质解下列方程：(1)x＋7＝26；(2)－eq\f(1,3)x－5＝4.分析要使方程x＋7＝26转化为x＝a的形式，要去掉方程左边的7，因此两边要同时减7，你会类似地思考另外一个方程如何转化为x＝a的形式吗？【答案】(1)两边同时减7，得x＋7－7＝26－7，于是x＝19.(2)两边同时加5，得－eq\f(1,3)x－5＋5＝4＋5，化简，得－eq\f(1,3)x＝9.两边同乘－3，得x＝－27.四、巩固练习1．下列等式的变形正确的是()A．若m＝n，则m＋2a＝n＋2aB．若x＝y，则x＋a＝y－aC．若x＝y，则xm＝ym，eq\f(x,m)＝eq\f(y,m)D．若(k2＋1)a＝－2(k2＋1)，则a＝22．利用等式的基本性质解方程：(1)10x－3＝9；(2)5x－2＝8；(3)eq\f(2,3)x－1＝5.【答案】1.A2.(1)x＝1.2(2)x＝2(3)x＝9五、课堂小结本节课主要学习了哪些知识？你在探索新知的过程中得到哪些启示？与同伴交流．第3课时解一元一次方程——合并同类项与移项(1)教学目标【知识与技能】理解合并同类项法则，会用合并同类项法则解一元一次方程，并在此基础上探索一元一次方程的一般解法．【过程与方法】通过探索合并同类项法则的过程，培养学生观察、思考、归纳的能力，积累数学探究活动的经验．教学重难点【重点】合并同类项法则的探索及应用．【难点】合并同类项法则的理解和灵活运用．教学过程一、问题展示，引入新课某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？师：设前年购买计算机x台，那么去年购买计算机多少台？生：2x.师：今年购买计算机多少台？生：4x.师：题目中的等量关系是什么？师生共同分析，列出方程：x＋2x＋4x＝140.用框图表示出解这个方程的具体过程：eq\x(x＋2x＋4x＝140),合并同类项Ｆeq\x(7x＝140),系数化为1Ｆeq\x(x＝20)二、例题讲解【例】解下列方程：(1)2x－eq\f(5,2)x＝6－8；(2)7x－2.5x＋3x－1.5x＝－15×4－6×3.【答案】(1)合并同类项，得－eq\f(1,2)x＝－2.系数化为1，得x＝4.(2)合并同类项，得6x＝－78.系数化为1，得x＝－13.三、巩固练习解下列方程：1．3x＋4x－2x＝18－7.2.eq\f(1,2)y－eq\f(2,3)y＋y＝eq\f(2,3)×6－1.【答案】1.x＝eq\f(11,5)2.y＝eq\f(18,5)四、课堂小结这节课你学习了哪些知识？获得了哪些经验？第4课时解一元一次方程——合并同类项与移项(2)教学目标【知识与技能】使学生掌握移项的概念，并用移项解方程．【过程与方法】根据具体问题的数量关系，形成方程模型，使学生形成利用方程的观点认识现实世界的意识和能力．教学重难点【重点】移项法则的探索及其应用．【难点】对移项法则的理解和灵活应用．教学过程一、新课引入师：新课开始之前，我们先来看这样一个问题．问题展示：【例1】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？问题分析：教师：设这个班有x名学生，如果每人分3本，这批书共________本．生：(3x＋20)本．师：每人分4本，这批书共________本．生：(4x－25)本．师：这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？学生分组讨论，合作探究，教师总结．师：我们可以列出方程3x＋20＝4x－25师：我们可以利用等式的性质解这个方程，得3x－4x＝－25－20.师：请同学们仔细观察上面的变形，你发现了什么？学生分组合作、讨论，教师总结．师：上面的变形，相当于把原方程左边的20移到右边变成－20，把4x从右边移到左边变成－4x.即时引出移项的概念：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．教师即时总结并强调移项要变号．【例2】解下列方程：(1)3x＋7＝32－2x；(2)x－3＝eq\f(3,2)x＋1.【答案】(1)移项，得3x＋2x＝32－7.合并同类项，得5x＝25.系数化为1，得x＝5.(2)移项，得x－eq\f(3,2)x＝1＋3.合并同类项，得－eq\f(1,2)x＝4.系数化为1，得x＝－8.二、巩固练习解下列方程：1．4x－20－x＝6x－5－x.2．32y＋1＝21y－3y－13.3．2|x|－1＝3－|x|.【答案】1.x＝－eq\f(15,2)2.y＝－13.x＝－eq\f(4,3)或eq\f(4,3)三、课堂小结学习了移项法则后，你认为用逆运算的方法和用移项的方法解方程哪个更简便？对于解一元一次方程，你有了哪些新的领悟？第5课时解一元一次方程——去括号与去分母(1)教学目标【知识与技能】掌握解含有括号的一元一次方程的方法，能用多种方法灵活地解一元一次方程．【过程与方法】经历对一元一次方程解法的探究过程，深入理解等式基本性质在解方程中的作用，学会多角度寻求解决问题的方法．教学重难点【重点】含括号的一元一次方程的解法．【难点】结合方程的特点选择不同的方法解方程，并解释解法的合理性．教学过程一、例题讲解教师出示例题．【例1】解下列方程：(1)2x－(x＋10)＝5x＋2(x－1)；(2)2(x－2)－3(4x－1)＝9(1－x)．【答案】(1)去括号，得2x－x－10＝5x＋2x－2.移项，得2x－x－5x－2x＝－2＋10.合并同类项，得－6x＝8.系数化为1，得x＝－eq\f(4,3).(2)去括号，得2x－4－12x＋3＝9－9x.移项，得2x－12x＋9x＝9＋4－3.合并同类项，得－x＝10.两边同除以－1，得x＝－10.注意：(1)用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号；(2)－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解的过程．【例2】一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的速度．师：如果设船在静水中的平均速度为x千米/小时，那么请同学们回答下列问题．船顺流速度为多少？生甲：(x＋3)千米/小时．师：逆流速度为多少？生乙：(x－3)千米/小时．师：那么这个方程的等量关系是什么？生丙：往返的路程相等．师生共同探讨，列出方程：2(x＋3)＝2.5(x－3)师：下面请一位同学上黑板写出这道题的解题过程．二、巩固练习解下列方程：1．2y＋3＝8(1－y)－5(y－2)．2．3(2y＋1)＝2(1＋y)＋3(y＋3)．【答案】1.y＝12.y＝8三、课堂小结1．本节课主要学习了什么内容？2．在去括号时应注意什么？第6课时解一元一次方程——去括号与去分母(2)教学目标【知识与技能】会解含分母的一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤和方法，能根据方程的特点灵活地选择解法．【过程与方法】经历一元一次方程一般解法的探究过程，理解等式基本性质在解方程中的作用，学会通过观察，结合方程的特点选择合理的思考方向进行新知识探索．教学重难点【重点】解一元一次方程的基本步骤和方法．【难点】含有分母的一元一次方程的解题方法．教学过程一、新课引入师：同学们，我们先来看这样一道题．教师出示问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部加起来总共是33，求这个数．师：设这个数为x，那么它的三分之二、二分之一怎么表示？生：eq\f(2,3)x＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,7)x＋x＝33解这个方程关键是去分母，那么怎样才能去掉分母？根据是什么？学生合作探究，尝试去分母，并与同伴交流自己的解法是否正确