新教材2021-2022学年高一数学北师大版必修第一册学案第1章221必要条件与充分条件word版含解析

§2常用逻辑用语2.1必要条件与充分条件学习目标核心素养1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(重点)2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(重点)3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．(重点、难点)1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养.1．什么是必要条件？2．什么是充分条件？3．什么是充要条件？知识点1必要条件与性质定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．知识点2充分条件与判定定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q.(2)这五种表述形式是等价的．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．()(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．()(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．()(4)“x>1”是“x>0[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2.设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的______条件．(填“充分”“必要”)[答案]必要知识点3充要条件(1)一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.(2)p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．(3)当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．3.“x<2”是“eq\f(1,x－2)<0”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A4.设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A5.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．[答案]充要类型1充分、必要、充要条件的判断【例1】下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．[解](1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝eq\r(x－1)，x－1＝eq\r(x－1)⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即qp.所以p是q的充分不必要条件．(3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.故pq，但q⇒p.所以p是q的必要不充分条件．(4)因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(四边形的对角线相等四边形是平行四边形，,四边形是平行四边形四边形的对角线相等，))所以p是q的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．指出下列各题中p是q的什么条件(1)在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠B＝∠C；(2)p：x＝2，q：x>1；(3)p：a>b，q：eq\f(a,b)>1.[解](1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知，p是q的充要条件．(2)x＝2⇒x>1，但x>1x＝2，故p是q的充分不必要条件．(3)当b<0时，由a>b，可得eq\f(a,b)<1，由eq\f(a,b)>1，可得a<b，故p是q的既不充分也不必要条件．类型2必要条件、充分条件的应用【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[解]由p是q的充分不必要条件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m>1－m,1－m<－2,1＋m≥10))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m>1－m,1－m≤－2,1＋m>10))，解得m≥9.所以实数m的取值范围是m≥9.1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．[解]由p是q的必要不充分条件，得集合{x|1－m≤x≤1＋m}是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，当eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1－m≤x≤1＋m))＝∅，即m<0时，符合题意；当eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1－m≤x≤1＋m))≠∅，即m≥0时，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,1－m>－2,1＋m≤10))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,1－m≥－2,1＋m<10))，解得0≤m≤3.综上得，实数m的取值范围是m≤3.2．本例中，是否存在实数m，使p是q的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．[解]若p是q的充要条件，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1－m≤x≤1＋m))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－2≤x≤10))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2,1＋m＝10))，由于该方程组无解，所以实数m不存在．利用必要条件与充分条件求参数的取值范围(1)化简p与q；(2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系；(3)利用集合之间的关系建立不等式；(4)解不等式求参数的取值范围．类型3充要条件的探求与证明【例3】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是eq\f(c,a)<0.[证明]①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即eq\f(c,a)<0.②充分性：由eq\f(c,a)<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，所以两根异号．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是eq\f(c,a)<0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．求证：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.[证明]充分性：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．必要性：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为1，∴a＋b＋c＋d＝0，综上所述，关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件B[“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．即“1<x<2”是“1<x2．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件B[由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等．反之不成立．即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.]3．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C