数学教案－简单的线性规划（一）3篇

数学教案－简单的线性规划（一）3篇数学教案－简单的线性规划（一）1一、教学目标：

1、了解线性规划的基本概念及解法；

2、能够通过图像或计算求解简单的线性规划问题；

3、培养学生运用数学知识和思维分析问题的能力。

二、教学重点与难点：

1、理解线性规划中目标函数、约束条件、可行域等概念；

2、掌握用图像或计算法求解线性规划问题的方法。

三、教学过程：

1、引入：

"有限的资源如何分配能够取得最优收益？"这是一个经济学中经常面对的问题。在数学中，我们可以把这个问题用数学变量和符号来表示，这就是线性规划。

2、概念：

线性规划是指在一定的限制条件下，使某一目标函数达到最小或最大值的问题。其中的限制条件是线性的，也就是服从线性方程的数学表达式。

3、图形表示：

先看下面这个问题：一个人工厂生产两种产品X和Y。制造X产品需要2个单位的原材料和1个单位的人力；制造Y产品需要1个单位的原材料和3个单位的人力。生产X产品的利润是每个单位10美元，生产Y产品的利润是每个单位20美元。如果现在只有20个单位的原材料和16个单位的人力，问应该生产多少单位的X产品和Y产品，才能获得最大的利润？

对于这个问题，我们可以构建一个线性规划模型，其中目标函数为最大化利润，约束条件则为限制原材料和人力的数量。可以用下面的公式表示：

F=10X+20Y

约束条件：

2X+Y≤20

X+3Y≤16

X≥0

Y≥0

然后我们可以把约束条件和目标函数的等式用平面坐标系表示出来，然后再沿着坐标系求解最大值。

这里通过解释、画图等方式熟悉学生对线性规划的基本概念

4、计算求解：

我们也可以利用线性规划的计算方法，来求解这个问题。

将目标函数和约束条件转化成矩阵形式：

⎡1020⎤⎡X⎤⎡P⎤

⎣21⎦X⎣Y⎦=⎣0⎦

X≥0Y≥0

使用单纯形法（SimplexAlgorithm）处理线性规划问题。

这里是直接算出结果给学生熟悉单纯形法的计算过程。

5、练习：

预先出几道类似线性规划的问题供学生练习。

四、总结与作业

1、总结：

本节课通过讲解线性规划的基本概念，以及解题的图形方法和算法方法，为学生提供了一个基础的线性规划解题思路。

2、作业：

①用图形法解下列线性规划：

目标函数：F=4X+5Y

约束条件：

X+Y≤4

2X+Y≤8

X≥0，Y≥0

②用单纯形法求解上面的线性规划问题。

③请自己设定一个简单的线性规划问题，并用图形法或计算法来求解。数学教案－简单的线性规划（一）2教案名称：线性规划（一）

适用年级：高中

学习目标：

1.了解线性规划的基本概念；

2.能够构建线性规划问题；

3.掌握使用图形法求解线性规划问题。

前置知识：

1.代数式和方程的基本操作；

2.数学函数和函数图像的基本知识。

引入：

小明做班级运动会的决赛项目，需要选择两项运动项目参加，他希望最大限度地发挥自己的能力和取得最好的成绩。但时间和个人能力有限，他必须在两项运动项目之间进行权衡和选择。如果他以最高的效率选择两项项目，该如何确定选择哪两项呢？本节课我们将学习一种方法——线性规划。

1.线性规划的基本概念

线性规划（LinearProgramming,简称LP）是一种优化问题的数学方法。该方法能对具有线性约束条件的目标函数进行最优化求解。

线性规划的一般形式为：

$$\begin{aligned}&\max/\minz=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}\\&s.t.\\&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}\leqb_{1}\\&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}\leqb_{2}\\&\qquad\vdots\\&a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}\leqb_{m}\\&x_{1},x_{2},...,x_{n}\geq0\end{aligned}$$

其中，$x_{1},x_{2},...,x_{n}$是决策变量；$z$是目标函数，表示待优化的目标；$c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}$是目标函数的系数；$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}\leqb_{1}$等式是约束条件。约束条件包括$m$个式子，$m$表示约束条件的数目，$n$表示决策变量的数目。$b_{1}$等表示约束条件的值，通常是一个实数。

2.线性规划问题的构建

以小明的情况为例，如果他要在足球和篮球这两个项目中选择，那么他需要了解自己在这两个项目中能达到的最高成绩，以及在这两个项目中所需的时间量。这些信息可以被表示为下面的表格：

|运动项目|成绩|时间|

|---|---|---|

|足球|90|3|

|篮球|80|2|

假设小明在决赛之前有$15$个小时的时间，他需要在这两个项目中合理安排，以获得最高分数。我们可以根据这些信息建立一个线性规划问题，其中：

目标函数：$z=90x_{1}+80x_{2}$

约束条件：

$x_{1}+x_{2}\leq15$（时间约束）

$x_{1},x_{2}\geq0$（非负约束）

其中，$x_{1}$表示小明在足球项目中花费的时间，$x_{2}$表示小明在篮球项目中花费的时间。

3.使用图形法求解线性规划问题

我们可以将上述线性规划问题表示为一个平面直角坐标系上的点：以$x_{1}$轴为横坐标轴，以$x_{2}$轴为纵坐标轴，将目标函数$z$绘制在坐标系上，然后根据约束条件，找出可行域，即一系列满足所有约束条件的点。接着，确定目标函数在可行域上的最大值或最小值所在的点，即为问题的解。

过程：

首先，绘制出坐标系和目标函数$z=90x_{1}+80x_{2}$的图像。


接下来，根据约束条件$x_{1}+x_{2}\leq15$，确定可行域。由于$x_{1}$和$x_{2}$必须为非负数，而此题中没有其它限制条件，所以可行域是$x_{1}+x_{2}\leq15$与$x_{1},x_{2}\geq0$所构成的三角形区域。(如图）


最后，在可行域上寻找$z$值最大的点，并确定其对应的$x_{1}$和$x_{2}$，即为问题的解。通过观察图像可以得到，在三角形的右下角处$z$取得最大值。因此，小明选择$x_{1}=9$小时的足球和$x_{2}=6$小时的篮球，能获得的最高成绩为$z=90\times9+80\times6=1410$分。

总结：

线性规划是一种重要的数学方法，它可以用于求解优化问题，广泛应用于生产、物流、金融、运输、投资等领域。学生可以通过练习和实际问题的解决来提高他们的线性规划技能。我们在实际问题中应用线性规划方法时，需要先确定目标函数和约束条件，然后通过图形法或其他方法求解问题。数学教案－简单的线性规划（一）3一、教学基本情况

1.教学目的

本节课以简单的线性规划为例，介绍线性规划的基本概念、模型、解法及应用，力求培养学生的数学建模能力。

2.教学对象及要求

本节课的教学对象为高中数学教学，教学要求除对线性规划及相关数学知识的理解外，还要求学生掌握求解线性规划的方法，并能运用所学知识解决实际问题。

3.教学内容及流程

本节课的主要内容包括线性规划的基本概念、模型、解法及应用。教学流程分为四步：

第一步：引入问题

本节课以一个简单的例子来引入问题：

某工厂生产两种型号的产品，设产品A每件需要制造5个配件，产品B每件需要制造3个配件，生产A产品每件可卖100元，生产B产品每件可卖80元。工厂每天可制造2个A产品和3个B产品，可制造的配件数量是无限多个。问工厂数量如何安排收益最大？

第二步：概念解释

解释线性规划的基本概念，包括：

约束条件：由生产工艺、资源、市场等因素导致的制造数量、产量等限制条件。

目标函数：对所生产物品质量、销售额等要求在整个方案范围内最优化的表达式。

可行解和最优解：可行解是指满足所有约束条件的解，最优解是指在满足所有约束条件的情况下，目标函数最大（或最小）的可行解。

第三步：建立模型

在问题中，我们需要将问题转化为线性规划问题，具体步骤如下：

（1）确定目标函数

设生产A产品的数量为x1，生产B产品的数量为x2，则可得目标函数：

F=100x1+80x2

（2）确定约束条件

a.配件数量的约束条件：5x1+3x2<=N（N为可生产的配件数）

b.限制每天工厂可制造的A产品和B产品数量：x1<=2,x2<=3

（3）转化模型

将线性规划模型转化为标准型：

F=100x1+80x2

5x1+3x2<=N

x1<=2

x2<=3

x1,x2>=0

第四步：求解与应用

（1）图形表示法

绘制出目标函数的图像，以此确定最优解。

（2）单纯形法

单纯形法是解决线性规划问题的标准方法之一，它基于连续优化理论，通过对线性规划模型进行线性运算，寻找可行解和最优解。

（3）应用

在教学案例中，学生需要理解标准型表示的含义、图形表示法及单纯形法的计算步骤，尝试解答由其他领域（生产、销售、运输等）提出的线性规划问题。

二、教学方法

1.阐述教学法：通过对教材、辅导资料等的分析、梳理和归纳，系统阐述和总结课程重点和难点，注重学生知识积累和思维习惯的培养，降低学习焦虑度，提高学习动机。

2.实验教学法：通过实例演示引导学生学习，强化学生对知识的理解和运用能力，使理论与实践更贴近。

3.互动教学法：既注重师生间的互动交流，也重视学生间的互动合作，强化学生的学习参与度，增强学生的学习主动性。

4.评价教学法：在教学过程中，不断对学生的知识掌握情况进行评估和检查，及时发现和纠正不足，进一步完善和激励学生的学习兴趣和成就感。

三、教学重点和难点

教学重点：