2020-2021数学第三册章末综合测评2向量的数量积与三角恒等变换含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材人教B版数学必修第三册章末综合测评2向量的数量积与三角恒等变换含解析章末综合测评(二)向量的数量积与三角恒等变换(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若向量a＝（3，m），b＝(2,－1)，a·b＝0,则实数m的值为(）A．－eq\f(3,2) B．eq\f（3,2）C．2 D．6D[a·b＝6－m＝0,∴m＝6.]2．设向量a＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（cosα，\f（1,2））),若a的模长为eq\f（\r（2),2），则cos2α等于(）A．－eq\f（1，2) B．－eq\f(1，4)C．eq\f（1，2) D．eq\f(\r(3），2）A［∵|a|＝eq\r（cos2α＋\f（1,4））＝eq\f(\r(2)，2），∴cos2α＝eq\f（1,4）.∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(1,2）。］3．tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°等于(）A．－eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r（2），2）C．－1 D．1D［tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝tan(17°＋28°）(1－tan17°tan28°）＋tan17°tan28°＝1－tan17°tan28°＋tan17°tan28°＝1.]4．若a，b是非零向量且满足(a－2b）⊥a,（b－2a)⊥b，则a与b的夹角θA．eq\f(π，6） B．eq\f(π,3）C．eq\f(2π,3） D．eq\f（5π，6）B［因为a2－2a·b＝0，b2－2a·所以a2＝b2＝2a·b，|a｜＝|b|所以cosθ＝eq\f（a·b，|a｜｜b|）＝eq\f（\f(1,2)a2，|a｜2)＝eq\f(1,2），所以θ＝eq\f（π,3)。］5．已知0〈α〈eq\f（π，2)<β<π，又sinα＝eq\f（3，5)，cos（α＋β)＝－eq\f(4,5），则sinβ等于(）A．0 B．0或eq\f(24，25)C．eq\f（24，25） D．±eq\f（24,25)C[因为0〈α〈eq\f(π，2)〈β<π且sinα＝eq\f（3,5）,cos（α＋β）＝－eq\f（4，5)，所以cosα＝eq\f（4,5），eq\f(π,2）〈α＋β<eq\f(3,2)π，所以sin(α＋β)＝±eq\f(3，5），当sin(α＋β）＝eq\f(3，5)时，sinβ＝sin［(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos（α＋β)sinα＝eq\f(3,5）×eq\f（4，5)－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4，5)））×eq\f(3，5)＝eq\f（24,25)，当sin（α＋β)＝－eq\f(3,5)时，sinβ＝sin［（α＋β)－α]＝sin(α＋β）cosα－cos（α＋β)sinα＝－eq\f(3,5)×eq\f(4,5）－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(4，5)））×eq\f（3，5）＝0.又β∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，2），π）),所以sinβ>0，故sinβ＝eq\f(24,25).]6．若向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan15°，\f(1，cos75°)))，b＝(1，sin75°),则a·b＝()A．1 B．2C．4 D．8C［由向量a＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（tan15°,\f（1，cos75°)）)，b＝（1，sin75°)，所以a·b＝tan15°＋eq\f（sin75°，cos75°)＝eq\f（sin15°，cos15°）＋eq\f（cos15°,sin15°)＝eq\f（sin215°＋cos215°，sin15°cos15°)＝eq\f（2,sin30°）＝4，故选C．]7．设函数f(x）＝asinxcosx－2sin2x，若直线x＝eq\f（π，6）是f(x)图像的一条对称轴，则()A．f（x)的最小正周期为π，最大值为1B．f（x)的最小正周期为π,最大值为2C．f（x)的最小正周期为2π，最大值为1D．f（x)的最小正周期为2π,最大值为2A[f(x）＝asinxcosx－2sin2x＝eq\f(a，2）sin2x＋cos2x－1＝eq\r（,\f（a2，4)＋1）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin2x\f(\f（a,2),\r（,\f(a2，4)＋1))＋cos2x\f(1，\r（，\f(a2，4)＋1）))）－1，令cosθ＝eq\f(\f（a，2），\r（，\f（a2,4)＋1))，sinθ＝eq\f（1，\r（,\f(a2，4)＋1）),则tanθ＝eq\f(2，a)，其中θ是参数，则f（x)＝eq\r（，\f（a2，4)＋1）sin（2x＋θ）－1，则函数的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，因为直线x＝eq\f(π,6）是f（x)图像的一条对称轴，所以2×eq\f（π，6)＋θ＝kπ＋eq\f（π,2），即θ＝kπ＋eq\f(π，6)，则tanθ＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（π，6)))＝taneq\f(π，6）＝eq\f(\r(,3),3），即eq\f(\r（,3）,3）＝eq\f（2，a），得a＝2eq\r(，3），则函数f（x)的最大值为eq\r（，\f(a2，4)＋1)－1＝eq\r（,3＋1）－1＝eq\r(,4）－1＝2－1＝1,故选A．］8．设α，β为钝角，且sinα＝eq\f(\r(5），5)，cosβ＝－eq\f（3\r（10)，10),则α＋β的值为(）A．eq\f(3π，4) B．eq\f（5π，4)C．eq\f（7π,4) D．eq\f（5π，4)或eq\f（7π，4）C[因为α，β为钝角，sinα＝eq\f（\r(5），5），所以cosα＝－eq\r（1－sin2α)＝－eq\r（1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r(5)，5)））eq\s\up12(2））＝－eq\f（2\r(5）,5)。由cosβ＝－eq\f(3\r(10)，10）,得sinβ＝eq\r（1－cos2β）＝eq\r(1－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(－3\r(10)，10)）)eq\s\up12(2)）＝eq\f（\r(10),10),所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(2\r（5）,5)))×eq\r（－\f（3\r（10），10）)－eq\f（\r(5)，5)×eq\f(\r（10)，10)＝eq\f（\r（2）,2)。又因为π〈α＋β〈2π，所以α＋β＝eq\f（7π，4)。］二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分,共20分，在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列计算正确的是()A．eq\f（2tan22。5°,1－tan222。5°)＝1B．1－2sin275°＝eq\f(\r（3)，2）C．cos4eq\f（π，8)－sin4eq\f(π，8)＝eq\f（\r（2),2)D．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°＝eq\f(5,4)ACD[对于选项A，eq\f(2tan22.5°，1－tan222.5°）＝tan45°＝1;对于选项B，1－2sin275°＝cos150°＝－eq\f（\r（3)，2）；对于选项C，cos4eq\f(π，8）－sin4eq\f(π,8）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos2\f（π,8)＋sin2\f（π,8)））eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（cos2\f（π，8）－sin2\f（π，8））)＝coseq\f(π,4）＝eq\f(\r（2),2）；对于选项D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1，2）sin30°＝1＋eq\f（1,4）＝eq\f(5，4)。］10．若函数y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3))）coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(π,6）))＋coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3）)）·sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,6）－x)），则(）A．函数的周期为2πB．函数的一个对称中心为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,3)，0)）C．函数的一条对称轴为x＝πD．函数的值域为[－1,1］ACD[y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，3)））·coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（π,6）)）－coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π,3)）)sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（π,6））)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，3)))－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(π，6)））))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))）＝cosx,故周期为2π，x＝π是函数y＝cosx的一条对称轴，值域为［－1，1]．]11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a,b满足eq\o（AB,\s\up7（→)）＝2a，eq\o（AC,\s\up7（→))＝2a＋b，则下列结论不正确的是（)A．｜b｜＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．（4a＋b）⊥eq\o（BC，\s\up7（→））ABC［在△ABC中,由eq\o(BC,\s\up7（→））＝eq\o（AC，\s\up7(→））－eq\o（AB，\s\up7（→)）＝2a＋b－2a＝b，得｜b｜＝2。又|a|＝1，所以a·b＝|a｜|b|cos120°＝－1，所以（4a＋b）·eq\o（BC,\s\up7(→))＝（4a＋b)·b＝4a·b＋｜b｜2＝4×(－1）＋4＝0，所以（4a＋b)⊥eq\o（BC，\s\up7（→））.］12．已知锐角α,β满足sinα－cosα＝eq\f(1，6）,tanα＋tanβ＋eq\r(3）tanαtanβ＝eq\r（3),则（）A．eq\f（π，4）〈α〈eq\f（π,2) B．β〈eq\f（π，4)〈αC．eq\f(π,4）〈α<β D．eq\f(π，4）<β<αAB［因为α为锐角,sinα－cosα＝eq\f(1，6)〉0，所以eq\f(π,4）<α<eq\f（π，2).又tanα＋tanβ＋eq\r(3）tanαtanβ＝eq\r（3），所以tan(α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）＝eq\r(3），所以α＋β＝eq\f（π，3)，又α>eq\f（π，4），所以β<eq\f(π,4)<α。］三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若2sin（π＋x）－coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(π，2)））＝1，则cos2x＝________。eq\f（7，9)[因为2sin(π＋x）－coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(π,2））)＝1,所以－2sinx－sinx＝1，所以sinx＝－eq\f（1,3），所以cos2x＝1－2sin2x＝eq\f(7，9).］14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n｜,若n⊥（－4m＋n)，则m,neq\f(1,3）［因为非零向量m，n满足4｜m|＝3｜n｜，n⊥(－4m＋n所以｜m｜＝eq\f（3，4)｜n|，且n·（－4m＋n）＝n2－4m·n＝0,即m·n＝eq\f(n2,4）.设m，n夹角为θ,则cosθ＝eq\f（m·n，｜m｜·|n|)＝eq\f(\f（1,4)n2,\f(3，4）｜n|·｜n|)＝eq\f(1，3）。]15．已知tan（α＋β）＝eq\f（2,3),taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（β－\f（π，4））)＝－2，则taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋\f(π,4)））＝________,tan（α＋2β)＝________。（本题第一空2分，第二空3分）－8eq\f(3,11)[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α＋\f(π，4)))＝taneq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（α＋β－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（β－\f（π,4）））)）＝eq\f（tanα＋β－tan\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4）)),1＋tanα＋βtan\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（β－\f（π,4))))＝eq\f(\f(2，3)＋2,1＋\f(2,3）×－2）＝－8.taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(β－\f（π，4)）)＝eq\f(tanβ－1，1＋tanβ）＝－2,tanβ＝－eq\f(1,3）。tan（α＋2β）＝eq\f(tanα＋β＋tanβ，1－tanα＋β·tanβ）＝eq\f(3，11)。］16．已知x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,4），\f(2π，3))）,函数f(x）＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，4)－x））＋eq\r(，3)sin2x＋eq\f（π,2）＋3m，若f(x)＜2恒成立，则m的取值范围是________．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－∞，\f（1，3)））[f（x）＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，4）－x))＋eq\r（，3)sin2x＋eq\f（π，2）＋3m＝1－coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,2）\r(,)－2x）)＋eq\r(,3）cos2x＋3m＝3m＋1－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，3）))，因为eq\f(π,4）≤x≤eq\f(2π,3）,所以eq\f（π，6）≤2x－eq\f（π,3）≤π，则3m－1≤f(x)≤3m＋1,因为f(x）＜2恒成立，所以3m＋1＜2，解得m＜eq\f（1,3）。所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（1,3）))。]四、解答题（本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)已知向量a＝(sinx,1)，b＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2），cosx）),其中x∈(0，π)．(1)若a∥b，求x的值；(2)若tanx＝－2，求|a＋b｜的值．［解]（1）因为a∥b，所以sinxcosx＝eq\f(1,2）,即sin2x＝1。因为x∈（0,π)，所以x＝eq\f(π，4）.(2）因为tanx＝eq\f（sinx,cosx）＝－2，所以sinx＝－2cosx。因为a＋b＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sinx＋\f（1,2)，1＋cosx）)，所以｜a＋b|＝eq\r(,\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sinx＋\f(1，2)）)2＋1＋cosx2)＝eq\r（，\f（9，4）＋sinx＋2cosx）＝eq\f（3,2)。18．(本小题满分12分)已知向量a＝(2cosα，2sinα），b＝(cosα－sinα,cosα＋sinα）．（1）求向量a与b的夹角;（2)若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．[解］(1）|a｜＝2,|b|＝eq\r(,2），a·b＝2cos2α－2sinαcosα＋2sinαcosα＋2sin2α＝2,所以cos〈a，b>＝eq\f(a·b，｜a｜|b|）＝eq\f(\r（,2）,2)。又0≤<a,b>≤π，所以a与b的夹角为eq\f（π，4）。（2）因为(λb－a)⊥a,所以（λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－4＝0,所以λ＝2.19．（本小题满分12分)(1）求值：eq\f(sin65°＋sin15°sin10°，sin25°－cos15°cos80°)。（2）已知sinθ＋2cosθ＝0，求eq\f(cos2θ－sin2θ,1＋cos2θ）的值．［解］（1）原式＝eq\f（sin80°－15°＋sin15°sin10°,sin15°＋10°－cos15°cos80°)＝eq\f（sin80°cos15°，sin15°cos10°)＝eq\f(cos15°，sin15°）＝2＋eq\r（3）。（2)由sinθ＋2cosθ＝0,得sinθ＝－2cosθ，又cosθ≠0，则tanθ＝－2,所以eq\f（cos2θ－sin2θ,1＋cos2θ）＝eq\f（cos2θ－sin2θ－2sinθcosθ，sin2θ＋2cos2θ)＝eq\f（1－tan2θ－2tanθ,tan2θ＋2)＝eq\f(1－－22－2×－2,－22＋2）＝eq\f(1,6）.20．（本小题满分12分)已知函数f（x）＝Asin（3x＋φ)(A>0，x∈（－∞，＋∞)，0〈φ<π）在x＝eq\f（π，12）时取得最大值4.(1)求f(x）的最小正周期；(2)求f(x)的解析式;(3）若feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2,3)α＋\f（π，12）))＝eq\f(12,5），求sinα.［解]（1）因为f(x)＝Asin（3x＋φ），所以T＝eq\f（2π,3)，即f（x）的最小正周期为eq\f（2π，3）。（2）因为当x＝eq\f(π，12）时，f(x)有最大值4，所以A＝4.所以4＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3×\f(π，12)＋φ）)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4）＋φ））＝1。即eq\f(π，4）＋φ＝2kπ＋eq\f(π，2），得φ＝2kπ＋eq\f(π，4）（k∈Z）．因为0〈φ<π，所以φ＝eq\f（π，4）.所以f（x）＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（3x＋\f（π，4))）。（3）因为feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，3）α＋\f(π,12）))＝4sineq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（3\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3)α＋\f(π,12)））＋\f(π,4））)＝4sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2α＋\f（π,2)）)＝4cos2α。由feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,3）α＋\f（π,12））)＝eq\f(12,5)，得4cos2α＝eq\f(12,5），所以cos2α＝eq\f（3,5),所以sin2α＝eq\f（1，2)（1－cos2α）＝eq\f(1，5），所以sinα＝±eq\f（\r(5),5）.21．(本小题满分12分)已知向量a＝（eq\r（,3)sinx，1),b＝（cosx，－1)．（1）若a∥b,求tan2x的值；（2)若f（x)＝（a＋b）·b,当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2）))时，求函数f(x)的最大值．[解]（1）因为向量a＝（eq\r(,3）sinx,1),b＝(cosx，－1)，又a∥b,所以1×cosx＝－1×(eq\r(，3)sinx），所以tanx＝－eq\f（\r(，3),3），所以tan2x＝eq\f（2tanx,1－tan2x)＝－eq\r(，3）.（2)因为f(x)＝(a＋b)·b，所以f(x）＝eq\r（，3)sinxcosx＋co