2020-2021高中数学人教版第一册学案：3.1.2 第1课时函数的表示法含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.1.2第1课时函数的表示法含解析3。1。2函数的表示法【素养目标】1．了解函数的三种表示法及各自的优缺点．(数学抽象）2．尝试作图并从图象上获取有用的信息．(直观想象）3．会用解析法及图象法表示分段函数．(数学建模）4．掌握求函数解析式的常见方法．(数学运算)5．能根据给出的分段函数,研究有关性质．（数据分析)【学法解读】1．函数的三种表示方法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特别是“式”与“图”的结合,体现了数形结合思想，学习过程中，应注意把它们相互结合，特别要注意加强“式”与“图"的相互转化,学生应从不同的侧面认识函数的本质．2．学习分段函数时，学生要注意结合实例体会概念，还要注意书写的规范．第1课时函数的表示法必备知识·探新知基础知识知识点函数的表示法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式图象法以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f（x）的图象,这种用__图象__表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出__表格__来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法思考：三种表示法的优缺点分别是什么？提示：表示法优点缺点解析法简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式图象法能形象直观地表示变量的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值列表法不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值只能表示有限个数的自变量所对应的函数值基础自测1．已知f（x)＝π（x∈R），则f(π2)等于（B)A．π2 B．πC．eq\r（π） D．不确定[解析]因为π2∈R，所以f（π2)＝π。2．已知函数y＝f（x)的图象如图，则f(x)的定义域是(C）A．（－∞，1)∪(1，＋∞)B．RC．(－∞，0）∪（0，＋∞)D．（－1,0）[解析]由图象，知x≠0,即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．3．如图，函数f（x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0）,（1,2）,（3,1),则f[f（3)］的值等于__2__。[解析]据图象，知f(3)＝1,所以f［f(3)]＝f(1）＝2。4．已知函数f(x)，g（x)分别由下表给出：x123f（x）211x123g（x)321则f［g(1)］的值为__1__；当g[f(x)]＝2时，x＝__1__.[解析]由g（x)对应表，知g(1）＝3，所以f[g（1)］＝f(3)．由f(x）对应表，得f（3）＝1，所以f［g（1）]＝f（3）＝1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g（2)＝2，又g［f(x)］＝2,所以f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f（1)＝2。所以x＝1.关键能力·攻重难题型探究题型一列表法表示函数例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[分析］函数的定义域是｛1，2，3,…，10},值域是｛3000,6000，9000,…，30000｝，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．[解析](1)列表法：x(台)12345678910y(元)30006000900012000150001800021000240002700030000（2)图象法：如图所示：(3)解析法：y＝3000x,x∈｛1，2，3，…，10｝．［归纳提升］列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：(1）解析法：必须注明函数的定义域．(2）列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．（3）图象法：是否连线．【对点练习】❶某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2,3,4，5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x)．[解析]这个函数的定义域是数集｛1,2,3，4，5}．用解析法可将函数y＝f（x）表示为y＝5x，x∈{1，2,3，4,5}．用列表法可将函数y＝f（x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图．题型二与函数图象有关的问题例2作出下列函数的图象并求出其值域．(1）y＝2x＋1,x∈［0,2];(2）y＝eq\f（2，x），x∈[2,＋∞）;(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2］．［分析］（1)画函数的图象时首先要注意的是什么？（2）所给三个函数的大致图象分别是什么形式的?［解析](1)列表：x0eq\f(1,2)1eq\f(3，2）2y12345当x∈［0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知,其值域为[1，5］．（2)列表x2345…y1eq\f(2，3)eq\f(1，2)eq\f(2,5)…当x∈[2，＋∞），图象是反比例函数y＝eq\f(2,x)的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．（3）列表x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是［－1，8］．［归纳提升]（1)常见函数图象的特征：①一次函数y＝kx＋b(k≠0）是一条直线；②y＝eq\f（k，x)(k≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线;③y＝ax2＋bx＋c(a≠0）是顶点为（－eq\f(b，2a），eq\f（4ac－b2,4a）)，对称轴为x＝－eq\f(b，2a)的抛物线．(2)作函数图象时应注意以下几点：①在定义域内作图；②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．【对点练习】❷作出下列函数的图象，并指出其值域．(1）y＝x2＋x(－1≤x≤1）；(2)y＝eq\f(2，x）(－2≤x≤1，且x≠0)．[解析］(1)用描点法可以作出函数的图象如图①。①②由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1）的值域为［－eq\f（1,4），2］．(2)用描点法可以作出函数的图象如图②.由图可知y＝eq\f(2，x）（－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2,＋∞）．题型三求函数解析式角度1待定系数法求解析式例3(1)(2020·湖北部分重点中学高一联考）已知一次函数f(x）满足f[f(x）］＝4x＋6，则f（x）的解析式为__f（x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6__。(2)已知二次函数f(x)满足f（0)＝1,f(1）＝2，f（2)＝5,则该二次函数的解析式为__f（x)＝x2＋1__.[分析］已知函数类型分别为一次函数和二次函数，设出函数解析式求出参数即可．[解析](1)设f(x）＝ax＋b（a≠0)，则f［f(x）]＝f（ax＋b）＝a(ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6,于是有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＝4，,ab＋b＝6，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2,,b＝2)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－2，,b＝－6，)）所以f（x)＝2x＋2或f（x)＝－2x－6.(2）设二次函数的解析式为f（x)＝ax2＋bx＋c(a≠0），由题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,a＋b＋c＝2，,4a＋2b＋c＝5，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，，c＝1，)）故f（x)＝x2＋1.角度2换元法（或配凑法)求解析式例4(1）（2020·广东六校教研协作体高一联考)已知f（eq\r（x)＋1)＝x＋2eq\r(x）,则f（x）的解析式为__f(x)＝x2－1(x≥1)__.（2)（2020·湖北天门高一联考)已知函数f（x＋1)＝x2－2x,则f（x)的解析式为__f(x）＝x2－4x＋3__.［分析]已知f［g(x)］求f(x）有两种思路:一是将g（x)视为一个整体，应用数学的整体化思想,换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含g（x）的形式．[解析]（1）方法一（换元法)令t＝eq\r(x）＋1，则x＝(t－1）2，t≥1，所以f(t）＝（t－1）2＋2(t－1）＝t2－1(t≥1），所以函数的解析式为f（x）＝x2－1(x≥1）．方法二（配凑法）f（eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x）＝x＋2eq\r（x）＋1－1＝（eq\r(x）＋1)2－1。因为eq\r（x）＋1≥1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1（x≥1）．（2)方法一(换元法）令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2－2（t－1)＝t2－4t＋3，即f（x)＝x2－4x＋3.方法二(配凑法）因为x2－2x＝（x2＋2x＋1）－(4x＋4)＋3＝（x＋1)2－4(x＋1）＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1）2－4(x＋1）＋3，即f（x）＝x2－4x＋3.角度3方程组法求函数解析式例5(1）（2020·江西九校高一联考)已知函数f（x)满足f（x）＋2f（eq\f(1,x)）＝x，则函数f(x）的解析式为__f（x)＝－eq\f(x，3）＋eq\f(2，3x)（x≠0)__.（2）（2018·武汉四校高一联考)已知af(x）＋f（－x)＝bx,其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝eq\f(b，a－1）x，a≠±1__.［分析］（1）求函数f(x)的解析式，由已知条件知，必须消去f（eq\f(1,x)），不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去f(eq\f（1,x））得f（x）．（2）类似于（1）的思路,利用x与－x的关系，再列一个方程，通过方程组求解．[解析]（1)在已知等式中，将x换成eq\f（1,x）,得f（eq\f(1,x）)＋2f（x）＝eq\f(1，x)，与已知方程联立，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(fx＋2f\f(1，x)＝x，,f\f（1，x)＋2fx＝\f(1，x），))消去f(eq\f(1，x）)，得f(x）＝－eq\f（x，3)＋eq\f(2，3x）。(2）在原式中用－x替换x，得af(－x）＋f（x）＝－bx，于是得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（afx＋f－x＝bx，，af－x＋fx＝－bx，）)消去f（－x），得f（x）＝eq\f(bx，a－1).故f（x）的解析式为f（x）＝eq\f(b,a－1）x，a≠±1.[归纳提升］函数解析式的求法(1）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数）,可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f［g（x）]的解析式,可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)解方程组法：已知f(x）与f(eq\f（1,x））或f(－x）之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【对点练习】❸（1）已知f（x）是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2）＝3，f(1）＝3，则f（x)＝__x＋eq\f(2,x）（x≠0)__。（2)①已知函数y＝f（x）满足f(eq\f（1，x)－2)＝x＋1。求f(x)的解析式;②已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f（x）＝2·f（eq\f（1，x))·eq\r（x)－1，求f（x)的解析式．[解析]（1)设f（x)＝kx＋eq\f（b，x)，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2k＋\f(b，2）＝3,,k＋b＝3)）,∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（k＝1，b＝2）)，∴f(x）＝x＋eq\f（2,x)(x≠0)．(2)①设t＝eq\f（1，x）－2，则x＝eq\f（1，t＋2)，所以f（t)＝eq\f（1，t＋2）＋1＝eq\f(t＋3,t＋2)，所以f（x)＝eq\f(x＋3,x＋2)（x≠－2)．②在f（x）＝2f(eq\f(1,x)）·eq\r(x）－1中，用eq\f（1,x)代替x，得f(eq\f（1，x）)＝2f（x)·eq\r（\f(1,x））－1,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝2f\f(1,x)·\r（x）－1，,f\f（1,x）＝2fx·\r（\f（1,x））－1，))得f(x）＝eq\f(2,3）eq\r(x）＋eq\f(1,3）（x>0)．课堂检测·固双基1．如图，函数f(x）的图象是折线段,其中点A,B，C的坐标分别是（0,4），(2，0),(6，4）,则f［f(2）]＝（C)A．0 B．2C．4 D．6[解析］由图象可得f[f（2）］＝f（0)＝4。