2023中考数学备考综合错题三(附答案及详解)

备考综合错题三一．选择题（共11小题）1．（2005•北京）如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．2．（2023•常州）如图，一次函数的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．无法确定x﹣101y﹣1133．下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正确的命题有（）A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④4．（2023•遂宁）如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A、B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣8B．8π﹣16C．16π﹣16D．16π﹣325．顺次连接下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形或对角线互相垂直的四边形6．（2023•鄂尔多斯）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（）A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分7．（2023•厦门）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示则y与x之间的函数关系式可能是（）A．y=xB．y=2x+1C．y=x2+x+1D．8．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）A．B．C．D．9．（2004•内江）给出下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形．其中真命题的个数为（）A．4B．3C．2D．110．（2003•徐州）有以下4个命题：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形②两条对角线相等的四边形是菱形③两条对角线互相垂直的四边形是正方形④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形则其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．411．如图，▱ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣2），顶点C，D在双曲线上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k的值等于（）A．12B．10C．8D．6二．填空题（共7小题）12．已知函数y=x2与y=﹣x+1图象交点的横坐标就是一元二次方程y=x2+x﹣1的解，如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是_________．13．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠ADC=135°，点P在射线BA上，连接CP，将△BCP沿着CP折叠，点B恰好落到射线AD上，若AD=2，AB=3，则BP的长为_________．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF为其内接正方形，若AE=2cm，BE=1cm，则图中阴影部分的面积为_________cm2．15．观察下列图案：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图案中共有_________个三角形，第n（n≥1，且n为整数）个图案中三角形的个数为_________（用含有n的式子表示）．16．（2023•临沂）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为_____%．17．在三角形纸片△ABC中，AB=AC，把这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交直线AB、AC于点M、N，若∠ANM=50°，则∠B的度数等于____度．18．（2023•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，CD=，则BE的长为_________．三．解答题（共9小题）19．（2023•咸宁）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．（1）填空：A、C两港口间的距离为_________km，a=_________；（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．20．（2023•绥化）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？21．（2023•沈阳）如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．22．（2000•荆门）已知：E是正方形ABCD的边BC上的中点，F是CD一点，AE平分∠BAF．求证：AF=BC+CF．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A为第二象限内一点，过点A作x轴垂线交x轴于点B，点C为x轴正半轴上一点，且OB、OC的长分别为方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．（1）求B、C两点的坐标；（2）作直线AC，过点C作射线CE⊥AC于C，在射线CE上有一点M（5，2），求直线AC的解析式；（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．24．（2023•阜新）如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P．（1）求点A、B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．25．（2023•佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2023•漳州）已知抛物线y=x2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（_________，_________），对称轴是_________；（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．27．我们知道，顺次连接任意四边形各边中点所得四边形是平行四边形，那么顺次连接等腰梯形各边中点所得四边形是什么特殊四边形呢？探索并证明你的结论．

备考综合错题三答案一．选择题（共11小题）1．（2005•北京）如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．分析：本题考查动点函数图象的问题，先求出函数关系式在判断选项．解答：解：当点P在CD上运动时，y为三角形，面积为：×3×x=x，为正比例函数；当点P在CB上运动时，y为梯形，面积为×（x﹣5+3）×=，为一次函数．由于后面的面积的x的系数＞前面的x的系数，所以后面函数的图象应比前面函数图象要陡．故选A．点评：本题需注意的知识点是：两个在第一象限的一次函数，比例系数大的图象较陡．2．（2023•常州）如图，一次函数的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．无法确定考点：一次函数综合题．分析：△AOC的面积S1已知，△BOD的面积S2可由关于a的函数表示，求出S2的取值范围，跟S1比较即可．解答：解：由一次函数图象可得出A（2，1），则S1==1，S2==又0＜a＜4且a≠2，∴S2＜1=S1，故此题选A点评：本题考查的是由一次函数确定坐标，根据坐标表示出面积并比较大小，另外还考查了二次函数的性质．3．下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正确的命题（）A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④分析：①可证△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得证．②由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得证．③利用AAS证明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，由题意可证得三角形OGC与三角形OHB全等．按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．解答：解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，∴△ABF≌△BEC，∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，∴△BEH∽△ABF，∴∠BAF=∠BHE=90°，即BF⊥EC，①正确；∵四边形是正方形，∴BO⊥AC，BO=OC，由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，∴∠ECO=∠FBO，∴△OBM≌△ONC，∴ON=OM，即②正确；③∵△OBM≌△ONC，∴BM=CN，只有当H为BM的中点是，OH等于CN的一半，故③错误；④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，在△OGC与△OHB中，，故△OGC≌△OHB，∵OH⊥OG，∴△OHG是等腰直角三角形，按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．综上所述，①②④正确．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，①可证△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得证．②由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得证．③利用AAS证明三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，可证得三角形OGC与三角形OHB全等．OHG是等腰直角三角形，可证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，即④式成立．4．（2023•遂宁）如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A、B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣8B．8π﹣16C．16π﹣16D．16π﹣32考点：扇形面积的计算；相交两圆的性质．分析：此题要求阴影部分的面积，根据题意可知AB⊥O1O2，而阴影的面积S=扇形ABO2的面积减去△ABO2的面积，由此可解出此题．解答：解：根据勾股定理可得：O1A2+O2A2=2AO12=2AO22=O1O22=82，∴O1A=O2A=4，又l==，扇形面积S1=rl=πr2=π•（4）2=8π，△ABO2的面积S2=r2=16，∴S=S1﹣S2=8π﹣16．故选B．点评：此题考查的是圆与圆的位置关系和扇形公式的求法，根据计算求出圆的半径，再用公式求出阴影部分的面积．5．顺次连接下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）A．等腰梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形或对角线互相垂直的四边形考点：矩形的判定；三角形中位线定理．分析：矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．解答：解：A、等腰梯形的对角线相等但不垂直，故连接等腰梯形各边中点所得的四边形为菱形．不正确．B、矩形的对角线相等且互相平分，但却不垂直．故连接矩形各边中点所得的四边形为菱形．不正确．C、平行四边形的对角线互相平分，但并不相等和互相垂直．故连接平行四边形各边中点所得的四边形为平行四边形．不正确．D、对角线互相垂直的四边形（菱形）连接各边中点所得的四边形为矩形．因为矩形是有一个角为直角的平行四边形．正确．故选D．点评：本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．6．（2023•鄂尔多斯）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的是（）A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分考点：函数的图象．专题：图表型．分析：当B方案为50元时，A方案如果是40元或者60元，才能使两种方案通讯费用相差10元，先求两种方案的函数解析式，再求对应的时间．解答：解：A方案的函数解析式为：yA=；B方案的函数解析式为：yB=；当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，将yA=40或60代入，得x=145分或195分，故D错误；观察函数图象可知A、B、C正确．故选D．点评：本题需注意两种付费方式都是分段函数，难点是根据所给函数上的点得到两个函数的解析式，而后结合图象进行判断．7．（2023•厦门）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示则y与x之间的函数关系式可能是（）A．y=xB．y=2x+1C．y=x2+x+1D．分析：观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出符合要求的关系式．解答：解：A．y=x，根据表格对应数据代入得出y≠x，故此选项错误；B．y=2x+1，根据表格对应数据代入得出y=2x+1，故此选项正确；C．y=x2+x+1，根据表格对应数据代入得出y≠x2+x+1，故此选项错误；D．y=，根据表格对应数据代入得出y≠，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．8．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）A．B．C．D．分析：根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．解答：解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，∴△A′B′C′的第三边长应该是=．故选A．点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．9．（2004•内江）给出下列命题：①平行四边形的对角线互相平分；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形．其中真命题的个数为（）A．4B．3C．2D．1解答：解：①根据平行四边形的性质，故正确；②根据平行四边形的判定，故正确；③根据菱形的性质，故正确；④根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故错误．故选B．点评：本题考查命题的真假性，是易错题．注意对平行四边形性质和判定的准确掌握．10．（2003•徐州）有以下4个命题：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形②两条对角线相等的四边形是菱形③两条对角线互相垂直的四边形是正方形④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形则其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．专题：证明题．分析：根据平行四边形的判定对角线互相平分的四边形是平行四边形菱形的判定对角线互相垂直平分的四边形是菱形正方形的判定对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行验证．解答：解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，成立．B、两条对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，不成立．C、两条对角线互相垂直的四边形有可能是一般四边形，不成立．D、两条对角线相等且互相垂直的四边形有可能是等腰梯形，不成立．故选A．点评：本题考查特殊平行四边形的判定，有很多选项可用等腰梯形做反例来推翻其不成立．11．如图，▱ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣2），顶点C，D在双曲线上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k的值等于（）A．12B．10C．8D．6分析：分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作CH⊥DG，垂足为H，根据CD∥AB，CD=AB可证△CDH≌△ABO，则CH=AO=1，DH=OB=2，由此设C（m+1，n），D（m，n+2），C、D两点在双曲线y=上，则（m+1）n=m（n+2），解得n=2m，设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入求解析式，确定E点坐标，求S△ABE，根据S四边形BCDE=5S△ABE，列方程求m、n的值，根据k=（m+1）n求解．解答：解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，∵ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，AB=CD，∵BO∥DG，∴∠OBC=∠GDE，∴∠HDC=∠ABO，∴△CDH≌△ABO（ASA），∴CH=AO=1，DH=OB=2．设C（m+1，n），D（m，n+2），则（m+1）n=m（n+2）=k，解得n=2m，∴D的坐标是（m，2m+2）．设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入得，由①得：a=b，代入②得：mb+b=2m+2，即b（m+1）=2（m+1），解得b=2，∴，∴y=2x+2，E（0，2），BE=4，∴S△ABE=×BE×AO=2，∵S四边形BCDE=5S△ABE=5××4×1=10，∴S△ABE+S四边形BEDM=10，即2+4×m=10，解得m=2，∴n=2m=4，∴k=（m+1）n=3×4=12．故选A．点评：本题考查了反比例函数的综合运用，解答此题的关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解．二．填空题（共7小题）12．已知函数y=x2与y=﹣x+1图象交点的横坐标就是一元二次方程y=x2+x﹣1的解，如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是﹣1＜x＜0．考点：二次函数与不等式（组）．分析：把A点的横坐标1代入抛物线y=x2+1，求出点A的坐标，代入y=中求的值，再求式＜﹣x2﹣1的解集，确定不等式+x2+1＜0的解．解答：解：当x=1时，y=x2+1=2，∴A（1，2）；k=xy=1×2=2，即y=，解方程+x2+1=0，实际就是求出y=，与y=﹣x2﹣1，交点进而得出＜﹣x2﹣1的解集，∵y=，与y=﹣x2﹣1，交点横坐标为：x=﹣1，由图象可知，不等式＜﹣x2﹣1的解集就是+x2+1＜0的解集，得出：﹣1＜x＜0．故答案为：﹣1＜x＜0．点评：本题主要考查了二次函数与不等式的关系．关键是根据题意求反比例函数解析式，求出二次函数与反比例函数解析式和为0时x的值．13．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠ADC=135°，点P在射线BA上，连接CP，将△BCP沿着CP折叠，点B恰好落到射线AD上，若AD=2，AB=3，则BP的长为．分析：根据已知画出图形，利用垂直平分线的性质得出CQ=BC=5，CF=AB=3，进而得出QF的长，以及AQ的长，再利用翻折变换的性质以及勾股定理求出AP即可得出BP的长．解答：解：作DE⊥BC，垂足E，延长AD，作CF⊥AD，交于F．∵∠ADC=135°∴∠DCE=45°∴△DEC是等腰直角三角形DE=CE∵四边形ADEB是矩形∴DE=AB=3BE=AD=2BC=BE+EC=5设AD上Q点是B关于PC的对称点，则PC是BQ的垂直平分线∴CQ=BC=5CF=AB=3∴QF==4DF=CE=3∴QD=QF﹣DF=4﹣3=1，∴AQ=AD﹣QD=2﹣1=1设AP=x∵PQ=PB，∴PB=3﹣x∵AP2+AQ2=PQ2∴x2+12=（3﹣x）2解得x=．∴BP=3﹣=．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和垂直平分线的性质等知识，根据已知画出正确图形是解题关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，四边形CDEF为其内接正方形，若AE=2cm，BE=1cm，则图中阴影部分的面积为1cm2．分析：显然△BEF∽△BAC∽△EAD，S阴影部分=S△ABC﹣S正方形CDEF．根据BE：EA=BF：ED=BF：FE，运用勾股定理可求BF、FE、BC、AC，进一步计算面积．解答：解：∵EF∥AC，DE∥BC，∴△BEF∽△BAC∽△EAD．∴BE：EA=BF：ED=BF：FE=1：2，∵BE=1，设BF=x，则FE=2x．根据勾股定理得x2+（2x）2=1．解得x=．∴BF=，FC=FE=．∴BC=．∴AC=．S阴影部分=S△ABC﹣S正方形CDEF．=×﹣=﹣=1（cm2）．故答案为1．点评：此题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，综合性强，难度较大．15．观察下列图案：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图案中共有22个三角形，第n（n≥1，且n为整数）个图案中三角形的个数为4n+2（用含有n的式子表示）．分析：结合图形，发现：第1个图案中，有6个三角形；第2个图案中，有10个三角形；第3个图案中，有14个三角形，依此类推，在6的基础上，依次多4个三角形．解答：解：第5个图案中，有6+4×4=22（个）三角形；第n个图案中，有6+4（n﹣1）=4n+2（个）三角形．点评：此题中要能够首先正确找到几个特殊图案的三角形个数，然后从结果中发现规律，进而求解．16．（2023•临沂）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．分析：设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可．解答：解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得，1000（1+x）2=1210，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（负值舍去），所以该厂四、五月份的月平均增长率为10%．点评：本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．17．在三角形纸片△ABC中，AB=AC，把这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交直线AB、AC于点M、N，若∠ANM=50°，则∠B的度数等于70或20度．考点：翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．分析：根据题意画出图形，关键是考虑全面，①MN与AC相交于线段AC上，②MN与AC相交于线段CA的延长线上，根据两种情况分别进行计算．解答：解：如图1所示：根据折叠可得MN⊥AB，则∠AMN=90°，∵∠ANM=50°，∴∠A=180°﹣90°﹣50°=40°，∴∠B=（180°﹣40°）÷2=70°；如图2所示：根据折叠可得MN⊥AB，则∠AMN=90°，∵∠ANM=50°，∴∠NAM=40°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B+∠C=∠NAM=40°，∴∠B=20°，故答案为：70或20．点评：此题主要考查了图形的折叠，关键是考虑全面，根据题意画出图形．18．（2023•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，CD=，则BE的长为4．分析：由点D为AB的中点，DE=2，求得BC，在直角三角形CDE中求得CE，在直角三角形CEB中从而求得BE得长．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∵点D为AB的中点，DE=2，∴BC=4，∵DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，CD=，在Rt△CDE中，由勾股定理得CE=4，∵在Rt△BCE中，∠ACB=90°，BE==4．故答案为：4．点评：本题考查了勾股定理，本题考查了三角形中线性质，利用勾股定理求得．三．解答题（共9小题）19．（2023•咸宁）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．（1）填空：A、C两港口间的距离为120km，a=2；（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．分析：（1）由甲船行驶的函数图象可以看出，甲船从A港出发，0.5h后到达B港，ah后到达C港，又由于甲船行驶速度不变，则可以求出a的值；（2）分别求出0.5h后甲乙两船行驶的函数表达式，联立即可求解；（3）将该过程划分为0≤x≤0.5、0.5＜x≤1、1＜x三个范围进行讨论，得到能够相望时x的取值范围．解答：解：（1）A、C两港口间距离s=30+90=120km，又由于甲船行驶速度不变，故，则a=2（h）．（2）由点（3，90）求得，y2=30x．当x＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，y1=60x﹣30．当y1=y2时，60x﹣30=30x，解得，x=1．此时y1=y2=30．所以点P的坐标为（1，30）．该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km．（3）①当x≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，y1=﹣60x+30依题意，（﹣60x+30）+30x≤10．解得，x≥．不合题意．②当0.5＜x≤1时，依题意，30x﹣（60x﹣30）≤10解得，x≥．所以≤x≤1．（8分）③当x＞1时，依题意，（60x﹣30）﹣30x≤10解得，x≤．所以1＜x≤（9分）④当2≤x≤3时，甲船已经到了而乙船正在行驶，∵90﹣30x≤10，解得x≥，所以，当≤x≤3，甲、乙两船可以相互望见；综上所述，当≤x≤时或当≤x≤3时，甲、乙两船可以相互望见．点评：此题为函数方程、函数图象与实际结合的问题，同学们应加强这方面的训练．20．（2023•绥化）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？分析：（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量．（2）关系式为：4.8≤甲种电脑总价+乙种电脑总价≤5．（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因为甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，所以要多进乙．解答：解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价m元．则：．（1分）解得：m=4000．（1分）经检验，m=4000是原方程的根且符合题意．（1分）所以甲种电脑今年每台售价4000元；（2）设购进甲种电脑x台．则：48000≤3500x+3000（15﹣x）≤50000．（2分）解得：6≤x≤10．（1分）因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案；（1分）（3）设总获利为W元．则：W=（4000﹣3500）x+（3800﹣3000﹣a）（15﹣x）=（a﹣300）x+12000﹣15a．（1分）当a=300时，（2）中所有方案获利相同．（1分）此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．（1分）点评：本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．21．（2023•沈阳）如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．分析：（1）①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE则PM=ME，而在Rt△MNE中，PN=ME，即可得到PM=PN．（2）证明方法与②相同．（3）四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立．解答：（1）证明：①如图2：∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA=∠CNM=90°，∴BM∥CN，∴∠MBP=∠ECP，又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵∠BPM=∠CPE，∴△BPM≌△CPE，（3分）②∵△BPM≌△CPE，∴PM=PE∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN．（5分）（2）解：成立，如图3．证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，（7分）又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵∠BPM=∠CPE，在△BPM和△CPE中，，∴△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，则Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN．（10分）（3）解：如图4，四边形M′BCN′是矩形，根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP，（11分）得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．（12分）点评：本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．22．（2000•荆门）已知：E是正方形ABCD的边BC上的中点，F是CD一点，AE平分∠BAF．求证：AF=BC+CF．分析：证法1：作EM⊥AF于M，连接EF，根据已知和正方形的性质分别证明Rt△ABE≌Rt△AMERt，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出EM=BE，FM=FC，从而得出结论．证法2：过中点E作EM∥AB，交AF于M．通过中位线的性质证明EM=（AB+CF），从而得出结论．解答：证法1：作EM⊥AF于M．∵∠B=90°，∴∠B=∠AME=90°，∵∠1=∠2，AE是公共边，∴BE=EM，∴Rt△ABE≌Rt△AME．∴AM=AB=BC，EM=BE．①连接EF，E是BC中点，∴EC=BE=EM∴Rt△EMF≌Rt△ECF，∴FM=FC、②综合①、②得AF=AM+MF=BC+CF．证法2：过中点E作EM∥AB，交AF于M．则AM=MF，且∠1=∠2=∠3．∴EM=AM=AF∵EM=（AB+CF），∴AF=AB+CF=BC+CF．点评：本题考查了正方形的性质，及全等三角形的判定和性质．合理的将AF分成与BC，CF相等的两份是解题的关键，本题难度较大．23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A为第二象限内一点，过点A作x轴垂线交x轴于点B，点C为x轴正半轴上一点，且OB、OC的长分别为方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．（1）求B、C两点的坐标；（2）作直线AC，过点C作射线CE⊥AC于C，在射线CE上有一点M（5，2），求直线AC的解析式；（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）依题意OB，OC分别为方程x2﹣4x+3=0的两根，求解后可求出点B，C的坐标．（2）设CE的直线解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可得解析式，然后根据CE⊥AC求出直线AC的解析式即可．（3）已知点P在直线AC上，要作以O、C、P、Q为顶点的菱形，CP=OC，根据OC的长度，并且依据直线AC的解析式，即可求得P的坐标，OC必须平行且相等于QP，即可求得Q的坐标．解答：解：（1）解方程x2﹣4x+3=0得x1=1，x2=3．依题意得点B的坐标是（﹣1，0），C（3，0）．（2）设CE的直线解析式为y=kx+b，把点C，M的坐标代入可得⇒．得出CE的直线解析式为y=x﹣3，又因为直线CE⊥AC，故直线AC的解析式为y=﹣x+3．（3）存在．Q1（3，3）；Q2（）；Q3（）；Q4（，﹣）．点评：本题考查的是一次函数的综合运用，菱形的性质以及一元二次方程的有关知识，难度中等．24．（2023•阜新）如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P．（1）求点A、B的坐标；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）令y=0，则x2+x﹣=0，解方程即可得到点A、B的坐标；（2）先利用对称性得到顶点P的坐标，然后根据△ABP的面积等于△ABE的面积得到点E坐标为（a，2），再把E（a，2）代入抛物线的解析式得到关于a的方程，解方程即可确定E点坐标；（3）分类讨论：分别以AB、PA、PB为平行四边形的对角线，根据平行四边的性质易确定点F的坐标．解答：解：（1）令y=0，则x2+x﹣=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x=﹣1，令x=﹣1，则y=﹣1﹣=﹣2，∴P点坐标为（﹣1，﹣2），∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，设E（a，2），把E（a，2）代入抛物线的解析式得，a2+a﹣=2，解得a=﹣1﹣2或﹣1+2，∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）．（3）所有符合条件的点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）．点评：本题考查了解二次函数的综合题的方法：先通过二次函数的解析式确定各特殊点的坐标，得到有关线段的长，然后利用几何性质（如三角形面积公式，平行四边形的性质）去确定其他点的坐标．25．（2023•佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）如答图1所示，构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标；（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．如答图1所示，构造相似三角形△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式；（3）如答图2所示，符合题意的点Q有4个，注意不要遗漏．解答：解：（1）过点B作BF⊥x轴于F在Rt△BCF中∵∠BCO=45°，BC=12∴CF=BF=12∵C的坐标为（﹣18，0）∴AB=OF=6∴点B的坐标为（﹣6，12）．（2）过点D作DG⊥y轴于点G∵AB∥DG∴△ODG∽△OBA∵===，AB=6，OA=12∴DG=4，OG=8∴D（﹣4，8），E（0，4）设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）∴∴∴直线DE解析式为y=﹣x+4．（3）结论：存在．设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4．如答图2所示，有四个菱形满足题意．①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边．则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E=4﹣4．易知△P1NF为等腰直角三角形，∴P1N=NF=P1F=4﹣2；设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，又ON=OF﹣NF=2，∴Q1（2，﹣2）；②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边．此时Q2与Q1