概率论与数理统计(理工类第四版)第三章多维随机变量及其分布习题答案

第一章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量及其分布习題3(D3.设二维高散型随机变量的联合分布如下表：12 3 411/4 0 0 1H621/161/4 0 1/430 "161/16 0试求；⑴咁5号05叫j解答 「{捉x<j,o<r<4|=p;x=i,r=I}+p{x=ifr=2}+P{x=ur=3}=l+o+o=-.习題3(2)3.没二维离散型随机变量的联合分布如下表 1 23411/4 001/1621/161/4014301/161/160试求：(2)求{1S《S2,3SFS4}j解答：P{\<X<2,3^y<4|二『{¥=i,y=3}+P{X=i,y=4i+P{X=2,y=3}+P{X=2,r=4)=o+—-+o+i=—.16 4 16习題S(3)13.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：12 3411/40 01/162”16U401/4301/161/160试求：⑶R2,3).解答；戶(2,3)2(1,n+P(L2)+P(L3)"(2,l)+P(2,2)+PQ,3)TOC\o"1-5"\h\zI 1 1 9=-+0+0+—+-+0=—.4 164 16习题4设x,》为随机变量』且3 4Pgo,r>0}=|,职20}=叩20}=,,求P{max{X,”20}.解答；P沛ax(X,V}20}=P{*優少一个大于等于0}=p\x>0}vp\伫0}-pgo,r>oi44357777习题5(x,y)只职下列数值中的侑:(0,0),(-1,I),(-1,?),(2,0)目相应概奈侬次为;，丄丄，二，请列出(X,W播率分布表，并写出关于I•的边缘分6 3 12 12布.・・g)=廊⑴因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有!+!+丄+*=丨，故所给的—组实数必631212是某二维随机变量任D的联合概率分布.因(*,)。只取上述四组可能值，故事件；Z 1{x=_i,丫=0},k=o, ,{x=o,y=ib{x=zy=「，(x=2,y=n,均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表：込^0 "3 1-1 0M21/30U60 0•2 5/12 0 0⑵m=o}=Rx=-1,y=o?+P{x=o,v=o}"rr=2,f=oin1 5 761212同样可求得关于的V边缘分布见下表: Y0U3 1外7/12 1/12 1/3•解答：习題6设随机间量(X,Y)服从二维正态分布M0,0,10\10\0),其軽率密度为[她解答：I由于p\x<y}+p{x>n=i,且由正态分布图形的对称性，知P{X<Y}^P*X>Y],习題7设随机变量(X»的概率密度为f*(6-x-vk0<^<2,2<v<4‘。，其它•则⑴确定常数h(2)求RXvlJ<3打(3)求尸供'<1.5}j(4)求户{X+北編.«s=如剧所示(1)由「:血V=l,确定常数奴Lp(6-x-y)dydx=乩(6-lx)dxP{Xvl,Yv3}=胸搭(6-厂)冲，=；.P{*<1.5}=厂虹打“■肋=§,P{XU}=f^： 团=：.习題8已知*和y的联合密度为弦.OGWl.OSjy10,其它试求：（1）常教。⑵*和y的联合分布函数风3）.（I）由于I=j 3）么心=cfJ：x）心办=j，C=4.⑵当so或时，显然Rx,y）=o；当x2l,，21时'显然FU,’）=I;设Od>O^y<I有F(My)=yjf(u.v)dudv=4j\t/w£vt/v=x2^jigo<x^I,y>\}有F(x,y)^P\X<I,Y<y}=4加/可：岫>=宀最后,设。0,。分<1,有F(x,y)=P{X<I,Y<y}=4[&.寸)泌，=/.场数凡LF）在平面各区域的表込式0,M0的SO

日0<x<1,J>I尸（2）=<0<a<1,0<y<尸（2）=</,x>l,O<y<l1,x>1^>1习题9丄设二维随机变量（尤n的祇率密度为./W"4.8*（1-X）,0<x< 1./W"0,其它求边缘概率密度/心）.解答：/q)=「：/(x，jg_j'4.8v(l-x)dy,0<x<l^ 0,其它2.4(1-？)(1-玖OWX1i0,其它/>3)=「》(*"')火._^y(]-x)dx,Q<y<]0,耳它=2.4尸(250“，丨= 0,其它•习题ZLQ设匯F）在曲线T=xST-『所围成的区域u里服从均匀分布'求联合分布密度和边缘分布密度.解答:区域啓的面积A二域二:,由题设知（尤Y）的联舍分布密度为川P）=6,0rl,x2毂川P）=0, 其'上一从而At珂=「火=&［命=6(。/)「0<^<L,6Q-F).0WL0’灶'I-同样的f =jJ(”)西=—=6($-y),0w1j即£◎)=-/)>Owpwi£◎)=Q,其土'3.2条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机查量(X,X)的分布律为羣01⑴卜的边缘分布律，0]7/301/157/157/30求P{阵似=0},尸{Y=l|X=0};判定*与，是否独立？解答，I⑴由(.3)的分布律知，J•只取。及I两个值.F{y=OJ=P{x=0.y=0|+r(x=i,.v=0}=-^+^=0.7,尸少=1}=丈尸{*=')=1}=土十土=0.3.(2)卽=0|x=O}=P"=O，*=O}=?仆=0} 3P(y=]X=O}=-(3)已知『{x=O”，=O}=W，由(|)知P沙=0}=0.7,类似可得%=0}=07.因为P{eOj_O}孑尸氷二0}•尸{)，_0丄所以I与)，不独立.习题2将某一医药公司9月份和8份的青零素针剂的订货单分另时为次与>.据以紺积累的资料知*和y的联合分布律为N51 52 5354 55510.060.050.050.010.01520.070.050.010.010一01530.050.100.100-050.05540.050.020.010.010.0355M50一060.05。。10一03⑴求边缘分布律；⑵求X月份的订里数为51时'9月份订单数的条件分布律.解答：(1)边缘分布律七X(1)边缘分布律七X51 52 53 54 55009~~0J3A0.280.280.2251 52 53 54 550.18 0.15 0.35 0.12 0.20 ,对应*的值，将苦行的祗率相加，可得P\x-i\.对应丫的值(最上边的一行)，将每列的概率相加，可得p：r-/}.⑵当"51时，大的条件分布律为0埒就=5I}=户“了，二:"=鴛，4=51,52,53,54,55.列表如下:1S*—JIfv.ZoY51 52 53 54 55职=邪=51}6/28 7/285/28 5/28 5/28习题3已知的分布律如下表斷示01201/41/8Q1016021/601炬试求：⑴在八I的条件下，大的条件分布律;(2)在X=2的条件下，y的条件分布律.解答：由联合分布律得关于X,卜的两个边缘分布律为X0 12Y0 1 2P,9/24 8/24；7/24P)10,241U243<24故⑴在"1条件下，人的条件分布律为X0 12Pi3/118/111.)⑵在X=2的条件下,}■的条件分布律为Y0 12P.4/7 0•3/7

习题4已知（X,X）的祗率密度函数为，心）=3工，0<x<1,Q<y<x，心）=0,其它'求：（I）边缘概率密度函数；⑵条件概率密度函凱解答；⑴厶"）=「/（匸泌=・3r,0<x<]0,其它'"）=「：.S汕=对g0,l）；0,⑴厶"）=「/（匸泌=・3r,0<x<]0,其它'"）=「：.S汕=对g0,l）；0,其它2x0,其它/n睥）=,0<v<xX0,其它习題5为与雁互独立'其概率分布如表（u）反表0）所示，求；0D的联合格率分布,P{^+r=1h尸伉+服0}.X-2-101/2Y-1/213A1/41/31/12H3'P.1/21/41/4表(a)由*与"目互独立知〃{X=x”丫=,}=尸{X=xJP{K=”），i=l,2,3.4,/・=1,2,3,从而（X,D的联合勰率分布为-1/21321/81/161/16-11/61/121/1201/241081/481/21/6vn1/12P\X+y^I}= -2,j=3} 0,X-l}164X12P{Xvy^o}=i-P(%+y=o}i-p{x=-i,r=i}-pjT=py=31264习题6某旅客到达火车站的时间为均匀分布在早上7伊〜x：oo,而火车这段时间开出的时间>的密度函教为"）二弗"）二0.其它求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知*的密度函数为,0<x<50,其它因为人与y相互独立，所以q与〉的联合密度为［竺圭 “5厶3= 125 「. 0,其它故此人能及时上火车的祝率为习题7设随机变量*与輝服从N（o,I）分布，且人与y相互独立，求C¥,Y）的联合祇率密度函數解答：I由题意知，随机变量XN的概率密度函数分别是小）=后e-‘"）=后因为人与》相互独立，所以。的联合概率密度函教是I*+/3

e2 ・271习题8设随机变量*的概率密度/(x)= W(-CB<J：<+00),问：*与IM是否相互独立？解答：若*与N相互独立，则而>。，各有P{X<a.\X\^a}=J,{X^a}P[\x\<a}9

而事件{p¥|m}u{XJ},故由上式有P{\x\<a}=P{}C<a^P\\x\<a},=>P{\^\<a}(.\-P{X<a})=^=>P{|>¥<«|}=0或1=P{X<a\.(Vo>0),

但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，敌人与国不独立.习题9设*和〉是两个相互独立的随机变量，次在(0,1)上服从均匀分布，>的概本密度为y>02，Z>、0,心⑴求*与〉•的联合粧率密度；(2)设有〃的二次方程疽+2处+*=0,求它有实根的祗率•(I)由题设易知L0<x<1、0,Jit'又(I)由题设易知L0<x<1、0,Jit'又x,y相互独立，故】与｝•的联合概率密度为=】一屈.If「赤一丄「_財,K-=1—应仲(1)-网0),又位⑴=0,8413,0(0)-0.5,于是小⑴-<D(0)3.3413,所以尸扣有实根｝=1—后「中。)一中(口)］苫I-2一51x0.3413-0.l4.33・PW有实根；=尸计壬"=JJ八，3)厶砂=J：电價£幼，J. £■J1e2i/,r-Te*J一瓦 J一E八3)S如)⑵因｛凸有实根｝-｛判别式A'-»+4A2-Q」〔它4X^0}={X^Y}?K故如图所示得到3.3二维随机变量函数的分布习题1设随机变量扃町相互独立，且都等可能地版1,2,3为值，求随机变量U-maxJA；和r=min{XX}的联合分布.解答：丨由于UNV,可见户(&=/,『刁}=0(H此外，有m=s}=P{x=r=；}=1/9g1,2,3),RUTS}“(X“5+P{X=AK-G=2/90>/),于是，随机变量口和V的联合概率分布为X12311/92,92/9—01/92/93001/9习题2设(尤y)的分布律为1 ] 2-11/10 1/5 3/1021/5 1/101/lQ试求：⑴Z-X+y；⑵2=yy；(3)2-X”；0Z=max{X,»的分布律.分析，与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其歓率的运算法剧.注意，2的相同值的粧率要合并.解答：依题意有如图所示的梃率表，(X，Y)(-1,-1)(・L1)(-1,2)(Z・l)(Zl)(2=2)Z=X+Y-2 01134Z=XY1-1-2-224Z=XV1-1-1/2-221Z=max(X=Y]-112222P)1/10 153/101/51/101/10于是,有(i)z=*+y的分布律为z■20134p.1/101/51/2 1/101/10(2)z=xy的分布律为z・2 ・1 1 2 4A1《2U51/101/10U10(3)z=的分布律z・2 ・1 -1々 1 2A1/5 1/53/101/5 1/10(4)max*"的分布律z-1 1 2AU1O 1/5 7/10习题3设二维随机向量(K”服求0与『的联合概率分布从矩形区域。=s,v)i。2,0分“”的均匀分布，旦o.xg“'o,x，2yy=<1.解答：依题（U,D的概率分布为P{C/=Q,r=oj=P{XSY.X</}=PgY}=M^v=r尸{u=o,r=i}=p^<r,x>2r}=o,P{U=\,K=0}=P{X>KX<1Y}=P{Y<X^2Y}=肱净=土P\u=\,V=\}=1-〃U=O,『=0}一汽〃=0,/=1}"W=】，/=0}=1/2?即M010 1/4 01 14 12习题#在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品'在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试捡:⑴放回抽样；⑵不放回抽样.我们定义随机登量X,»如下：_：0,若第一次取出的是正品 ―0,若第二次取出的是正品-J,若第一次取出的是次品' 一1,若第二次取出的是次品.试分别就（IL（2）两种懵况＞写出*和〉的联合分布律.解答：（|）有放回抽样，（*,r＞分布律如下：户片=0y=o}=I。迎=)p{x=1r=o)=2x105=—.1 ，丿12x1236,I2x1236’尸5=0,"|}=尝5吋=1,丫=|}=2x21=—・12x1212x123601025,3656615/36136（2）不放回抽样，（X,»的分布律如下：尸{*=0.y=0}=安45P{X=0,Y=l)=10x210=77丿I2x1166I2x1166心-1y-o"2x10_1°psx—1y—i\-2x1_112x1166’I2x11=66?E01045-6610/66110/66U66习題2假设随机变量嗷从参数为1的指■数分布，随机变量m,若m七=1■《k=1,2),li，若Y"求（不,桅）的联合分布率与边缘分布率.解答：因为y服从参数为1的指数分布，玉=°’‘龙1,所以有[i,若y>i户{凡=i}=p〈s}=£〉列=右1>P{Xt=Q}=\-e1,同理P(X=|}=P{K>2)^^e^dy=e'2,P{X?=O}=l-e2,因为户{”,卄1}"{3}”-七P{Xi=i,Xi=O)=P{Xi=\}-P{X[=],Xi=\}=e'-e2,P0产0，击=0}二尸仃《1}=1一。七戶％=0,格=1}=PP>O}-P化=0、格=0}=0，故(X-E)联合分布率与边缘分布率如下表所示：没01P{X^i}0\-e10l-e"12esLP化刁｝l-e2e21习题3在元旦茶话会上，每大发始一袋水果，内装3只楮子，2只苹果，3只香專今从袋中随机抽出4只,以q记橘子数■记苹果数，求0,”的联合分布.解答:*可取值为0,1,2,3’》可职值0丄2,则p{x=0,y=o)=P{0}=o,P{x=c,y=ij=<c；印c；=2/70,P{X=0,y=2}=U8e=3/70>P{*=W=O}=*仁况=3/70,P{X=1,/=1}=C；CK*C：=18/70,P{%=1,Y=2}=C；C^C；/C；=970,p{x=2,y=o}=aGG/q=9/7o>p{x=2,r=ij=c\c\c\/c^=18/70,p\x=l丫=2}=冬仁。/仁=3/70,P{x=3,r=oj=cjc^cj/c；=3/70,P\X=3,r=l)=CCG/C：=2/70, P\X=3,y=2}=円0}=0.所以，(X»的联合分布如下：K012002.703/70137018/709/7029,7018/703/7033/702/700

习題4设随机変量*与，相互独立，下表列出了二维随机变量（*,乃的联合分布律及关于*与y的边缘分布律中的部分数値'试将其余数值填入表中的空白处：y^p,.()1/8<)<)X）1/8<)()()P;1/6<)()1解答：由题设*与〉相互独立'即有与=乃几（，=1，2；/=1,2,3）,又由独立性,故凹.=:从而叶厂商r从而叶厂商r,又由Pl2=PiP^即将上述数值壇入表中有从而P\==.类似的有将上述数值壇入表中有NV|外力P,・(H24)1/8(1/12)(1/4)1/8(3用)(1/4)印4)1/6 (1/2)(1/3)1么=厂p广厂&=3习题5设随机变量(*,h的联合分布如下表；-101141/421/6a求：⑴而⑵(Xr)的联合分布函数戶(x,y);(3)(X,D关于X,Y的边缘分布函数尸4)与凡⑴.解答：由分布律的性质可知［p〃=i,故!+：4!+d=i,所以〃=：.因F(xy)=P{X£x,Y<y\当XVI或)y-1时，F(x,j)=O；当I£xv2,-iSyvO时，尸(x,>；)=P{X=l,y=-l}=l/4；当心2,-也vO时，FH〈*=i,y=-i*+P(X=2,y=-i}=5/i2；©当I<x〈2,〃0时，】.k=一1}i,v二0}=1/2；⑤当XZ2,y20时，尸(xj)=尸{*=1,y=-1}+尸{x=2,y=—〕}+rx—ly=o}*p〈x=2,v=o}综上所述，得(X,D联合分布函数为0,x<ll3ty<-11/4,1<x<2,-\<y<05/12.^>2.-l<v<0.1/2,1<x<2^y>01,^>2,y>0(3)由F^x)^P{X<x. +8}=£方"得(X，为关于大的边缘分布函数为:X<X/-I0.x<l0,XVI*)='4七’E1/2,1<x<2.S+4+6+P^2I,x>2同理，由W二p{*<+8,yww二££%得(x,X)关于y的边缘分布函数为T.Myf・10,v<-lW)=2/11W)=2/11-1<y<0.1,心0习題6设随机变量(YK)的联合概率密度 cIR-Jx2+八x2+y2<R0,F+y2上R求：⑴常数2(2)P{X2+^^P}(r<R).解答，⑴因为I=Jy)dydx=j|c(R一^x2+y)dxdyrW cn/f5=\丄財_心加。=三一，』,&〔"一应】蛔'所以有CM二.』,&〔"一应】蛔'(2)P\X2-iY2<r\=Wh-纠.A，l3R)习题7设/(w)/(w)二I,0 2,max(O,.v-1)<^<min(l,x)0,其它求/Q)和聞)•解答二依題意0,x<\x,x<[；min(l,x)=0,x<\x,x<[；min(l,x)=-工一l,x21所以，/(W)有意义的区域(如囹)可分为{0公£1,0。5，(MX2,l-xgl}>ymax(O,x-l)=<hx>l所以所以1.0^xSLO<y<x即./'(》“)=<I,\<x<2,x-]<y<\f0,其它0<x«l0<x«lx,IT"g2=K0,其它...fQ^y<10,其它2-x,1<x<2

0,箕它.W=I,o<7^I0,其它习题8若(X,r)的分布律为则«.0应满足的条件是如 ■ 1231L61/91/1821/3an应填〃11由分布律的性质可知£月,=1,故-+-+—+-+〃+"=1>69IX3 ”即6邛=3.又因式与湘互独立'故P{AT=i.Y=j}=P\X=i\P{Y=j},从而"=〃{X=2,Y^2}=P\X^i\P{Y=j}fI=3"2=rgp\X=3,y=2}=P{X=3}尸{>=2}=0福…小估MGT，习题g设二錐随机芟量(不h的勰率密度函数为0.其它⑴确定常数㈡求x,y的边缘概率密度四数，求联合分布函数尸(XJ);求求条件概率密度函数fKi(x\y);求P{Xv2|V<l}・解答：(1)由JJ:/(》,*)血奶=1求常数ejo'^ce-^'dxdy*•(-f-.)甘.(_广)广亏-所以—2.

(2)/Q)=j丿=人-' 0, x<02厂气*>0=,.0,x<0ftf2e'2V?Ay>0/><v)=Jf(x9y)dx=L' 0,其它p"v,y>0I。，g(3)F(x,y)=「J,/(也_jj；2e%W血xaOjaO0, 其它（1.厂顷.厂），x>0.〉>0

一. 0.其它 ,（4仃仃£幻=£「厶「2。七初，=j「2eH】-e'）tZx=p(5)当y>0时,三r>02e"5/仞0,xo0,^<0(6)P{X<2\Y<}}=尸齐2.Y<1}05尸(2.1)二(]-广)(]_广)FTi”-Q习題10设随机变量义以概率I取值为0,而恨任意的随机变量，证明*与y相互独立.解答；因为况的分布函数为0,治〈回用)=< 1? “1,長网设y的分布函数为尸仞，(X,D的分布函数为则当x<0时，对任意:y,有AU*)=P{kG,Yq}=P{(XG「(yy)}=R0c("y)}=P{0}=O=W)W；当a时,对任意y,有F(U)=PWx,V<y\=P{(X^^(Y<y)]=RSc(yg,)}=P\Y<y}=Ft(y)=&x)尸山，)•依定义，由F{x,y)=F/x)F}^)^,X与>独立.习題M设连续型随机变量0,»的两个分量*和>•相互独立，且服从同一分布，试证P{X<Y}=M2.解答：因为X、卜独立，所以"0")=/.0/心)•P{X<tY}=日/(”)"=[[/岡/心例x^y xiy=j："r»<v)f/g网'=「：[.，f.X p1=J 1：：=-.注；也可以利用対称性来证，因为X」独立同分布，所以有p{xwr)=p{传招,而P\X<Y}^-P\X>Y}=\,故P{X<,Y\=\!\2.习題12设二维随机变量(X,X)的联合分布律为%a1/9c丹1©b1/3若*与｝相互独立，求参数啲值.鮮答： 关于*的边缘分布为XP*«+1qc+i99 3关于＞的边缘分布为YV|Pi1a+c+-9由于＞与y独立,则有pu=p、p,,得由Pu=P/”得卜(。书"1(D②由式①得b=*代入式②得“=丄，由分布律的性風有9 IK代入哗，•易验证，所求«,h.t的值，对任意的，和/均満是RW厂因此，所求a,b,c的值为

已知随机变量也和X、的祗率分布为-10]01141/21/4A1/21.2目P(X,%=O}=I.⑴求x.和X,的联合分布律?⑵问K和x,是否独立?解答:(I)本题是已知了M与Y的边缘分布律，再根据条件PU0产0}=1,求出联合分布・由已知P{XA=O}=L即等价于P{X占“}=0,可知知=咿=1,为=1}=0,加=咿=_5=|}=0,再由P.产Piz+P/Pw得111/?22=2'外=必叫=/外1=入一如从而得上=0・列表夂吓:0 1P»K=i\-11/4 01/400 1/21々]1/4 01/41/2 1/2⑵由于=所以知也与其不独立.28习題“ 设/V）的联合密度函数为■+y2^R2

人3）=,满 ,0,其它⑴求*与y的边缘槪率密度；⑵求条件概率密度'并问A：与，是否独立？解答二⑴当xv-R或时，/o=jJ\x.y)dy=\0勺=0；当-R<x<R^,//x)=jJ(X，炯=于是Do —.—R•x—R. 0,其它由于*和唄有对称性，战去可得y的边缘槻率密度为2方2顼/>())=<0,其它（2）/展中）=厶皿，注意到在y处谄位于时小-。这个范围内，/Uj，）才有非零fM值，故在此范围内'有即Vr时*的条件概舉密度为厶心＞）={2山匸亍 •I0,其它同法可得X=）时y的条件概率密度为|― ,\y\£Ja'■寸frMx）=\2\lRo,其它由于条件勰率密度与边缘祗率密度不相等，所以X与Y不独立.

习题丄5设(X,尸)的分布律如下表所示-111—-11/102/103/1022/101HO1/10求：⑴Z-X+七(2)Z=max{Xn的分布律.分析盘与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的这算法则.注意,Z的相同值的概率要合并.解答：依題意有如图斷示的概率表，(XV)(・1广1)(丄1)(・L2)(2广1)(2,1)(2,2)Z=X+Y-2 0 1 13 4Z=max{XY}-1 1 2 2 2 2Z1/101/53/10U5inoi/io于是，有(l)Z=XQ的分布律为Z-20134P,1/101/51/2mo1/10(2)Z=max^,n的分布律Z-1 1 2Pi1/10 1/5 7/10习題16设(无率密度为Axj)=1,0<j< 2(1-x)0,其他 '求Z=*Q的祗率密度.解答：I先求Z的分布函数尺⑵，再求祗率密度〜、和⑵小=寸=z(2-z)--(2-z)2+(z-I)2j当空