2022-2023学年湖北省黄冈市红安县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省黄冈市红安县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．若关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣1＝0的一个根为1，则k的值为（）A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣23．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为（﹣1，﹣4） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝36°，则∠AOB的度数是（）A．72° B．54° C．36° D．18°5．如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC，若AB＝10，BC＝6．则线段BE的长为（）A．10 B．12 C．14 D．166．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（）A．2023 B．﹣2021 C．2021 D．﹣20237．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°8．如图，等腰直角△ABC的斜边长为4，点D从点A出发，沿A→C→B的路径运动，过D作AB边的垂线，垂足为G，设线段AG的长度为x，Rt△AGD的面积为y，则y与关于x的函数图象，正确的是（）A． B． C． D．二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．10．已知平面直角坐标系内有一点P（﹣4，3），连接OP，将线段OP绕着点O逆时针旋转90度，点P落在点P'的位置，则P'的坐标为．11．设点A（﹣2，y1）、B（2，y2）是抛物线y＝（x+1）2﹣k（k是常数）的图象上两点，则y1、y2的大小关系是．（用“＜”连接）12．如图，在⊙O中，＝，且∠A＝40°，则∠C＝°．13．为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应安排个球队参赛．14．如图所示，已知四边形ABDC是圆内接四边形，连接OB、OC，延长BD到点E，∠1＝130°，则∠CDE＝．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当0≤x＜3时，函数值y的取值范围是．16．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，其中正确结论的序号是．三、解答题（共8小题）17．解方程：（1）4（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣4x﹣3＝0；（3）（x﹣3）2＝2x﹣6．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．（1）画出△ABO关于原点O对称的图形△A1B1O；（2）画出△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的图形△A2B2O，并写出点B的对应点B2的坐标．19．（7分）今年夏季全国大部分地区高温炎热，很多居民为了减少外出，更愿意选择线上购物．某地新建一购物平台，主营业务是新鲜瓜果送上门服务．今年六月份注册用户50万人，八月份达到了72万人，假设六月份至八月份的月平均增长率为x．（1）求月平均增长率x的值；（2）若保持这个增长率不变，九月份注册用户能否达到85万人？说明你的理由．20．（8分）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：（1）桥拱的半径；（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为米．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．22．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t为整数）．设日销售利润为w元．（1）求销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数表达式；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在哪一个时段，日销售利润不低于1750元？23．（1）如图1，已知，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD边上，点E在BC边上，则BE与DG的数量关系为；（2）将（1）中的正方形CEFG绕点C旋转至图2时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB＝5，，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转α度（0＜α＜90），如图3，当B，E，G三点在一条直线上时，求DG的长．24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．

2022-2023学年湖北省黄冈市红安县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．若关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣1＝0的一个根为1，则k的值为（）A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣2【分析】把x＝1代入方程x2+3x+k﹣1＝0得到1+3+k﹣1＝0，然后解关于k的方程即可．解：把x＝1代入方程x2+3x+k﹣1＝0得1+3+k﹣1＝0，解得k＝﹣3．故选：C．3．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列说法正确的是（）A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为（﹣1，﹣4） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小【分析】根据二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，∴a＝﹣2，该函数的图象开口向下，故选项A错误；对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误；顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选项C正确；当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项D错误；故选：C．4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝36°，则∠AOB的度数是（）A．72° B．54° C．36° D．18°【分析】根据圆周角定理即可得出答案．解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×36°＝72°．故选：A．5．如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC，若AB＝10，BC＝6．则线段BE的长为（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】由勾股定理可得AC＝8，由旋转的性质可得CE＝AC＝8，即可求解．解：∵△ABC为直角三角形，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC，∴CE＝AC＝8，∴BE＝BC+CE＝14，故选：C．6．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（）A．2023 B．﹣2021 C．2021 D．﹣2023【分析】根据根与系数的关系可得a+b＝﹣1，ab＝﹣2022，代入求值即可．解：根据题意，得a+b＝﹣1，ab＝﹣2022，∴a+b﹣ab＝﹣1+2022＝2021，故选：C．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°，∵CD＝CB，∴∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°，∴∠ACD＝90°﹣80°＝10°；故选：A．8．如图，等腰直角△ABC的斜边长为4，点D从点A出发，沿A→C→B的路径运动，过D作AB边的垂线，垂足为G，设线段AG的长度为x，Rt△AGD的面积为y，则y与关于x的函数图象，正确的是（）A． B． C． D．【分析】分当点D在AC上、点D在BC上两种情况，求出函数表达式即可求解．解：当点D在AC上时，如下图，∵△ABC为等腰三角形，则∠A＝45°，故DG＝AG＝x，则y＝AG•GD＝＝x2，改函数为开口向上的抛物线；当点D在BC上时，如题干图，同样∠B＝45°，则BG＝AB﹣x＝4﹣x＝DG，则y＝AG•DG＝x（4﹣x）＝﹣x2+2x，该函数为开口向下的抛物线，故选：B．二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≤5．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（2m﹣1）≥0，然后解关于m的不等式即可．解：根据题意，得Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（2m﹣1）≥0，解得m≤5，故答案为：m≤5．10．已知平面直角坐标系内有一点P（﹣4，3），连接OP，将线段OP绕着点O逆时针旋转90度，点P落在点P'的位置，则P'的坐标为（﹣3，﹣4）．【分析】如图，把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置看作是把Rt△OPA绕点O逆时针旋转90°到RtOP′A′，再根据旋转的性质得到OA′、P′A′的长，然后根据第二象限点的坐标特征确定P′点的坐标．解：如图，OA＝4，PA＝3，∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，∠P′A′O＝∠PAO＝90°，P′A′＝PA＝3，∴P′点的坐标为（﹣3，﹣4）．故答案为：（﹣3，﹣4）．11．设点A（﹣2，y1）、B（2，y2）是抛物线y＝（x+1）2﹣k（k是常数）的图象上两点，则y1、y2的大小关系是y1＜y2．（用“＜”连接）【分析】先根据已知条件求出二次函数的图象开口方向和对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性即可判断出y1与y2的大小关系．解：∵y＝（x+1）2﹣k（k是常数），∴抛物线的开口向上，的对称轴是直线x＝﹣1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1），且﹣1＜0＜2，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．12．如图，在⊙O中，＝，且∠A＝40°，则∠C＝70°．【分析】先根据圆周角定理得到∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．解：∵＝，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝×（180°﹣40°）＝70°．故答案为：70．13．为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应安排7个球队参赛．【分析】设应安排x个球队参赛，利用比赛总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设应安排x个球队参赛，依题意得：x（x﹣1）＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不符合题意，舍去），∴应安排7个球队参赛．故答案为：7．14．如图所示，已知四边形ABDC是圆内接四边形，连接OB、OC，延长BD到点E，∠1＝130°，则∠CDE＝65°．【分析】首先利用圆周角定理求得∠A的度数，然后利用圆内接四边形的一个外角等于其内对角的性质直接求解即可．解：∵∠1＝130°，∴∠A＝∠1＝65°，∴∠CDE＝∠A＝65°，故答案为：65°．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当0≤x＜3时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3．【分析】根据图象中的数据可以得到当0≤x≤3时，函数值y的取值范围．解：由图象可知，当0≤x≤3时，函数值y的取值范围﹣1≤y≤3，故答案为：﹣1≤y≤3．16．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，其中正确结论的序号是①②④．【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′，故①正确；②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′，故②正确；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴C′B′与BB′不垂直．故③不正确；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确．∴①②④这三个结论正确．故答案为：①②④．三、解答题（共8小题）17．解方程：（1）4（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣4x﹣3＝0；（3）（x﹣3）2＝2x﹣6．【分析】（1）利用直接开平方法解方程，进而得出答案；（2）利用配方法解方程，进而得出答案；（3）利用因式分解法解方程，进而得出答案．解：（1）∵4（x﹣1）2﹣16＝0，∴4（x﹣1）2＝16，则（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（2）x2﹣4x﹣3＝0则x2﹣4x+4＝3+4，故（x+2）2＝7，x+2＝±，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（3）（x﹣3）2＝2x﹣6，（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，故x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝3，x2＝5．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．（1）画出△ABO关于原点O对称的图形△A1B1O；（2）画出△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的图形△A2B2O，并写出点B的对应点B2的坐标．【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．解：（1）如图，△A1B1O即为所求．（2）如图，△A2B2O即为所求．点B2的坐标为（3，4）．19．（7分）今年夏季全国大部分地区高温炎热，很多居民为了减少外出，更愿意选择线上购物．某地新建一购物平台，主营业务是新鲜瓜果送上门服务．今年六月份注册用户50万人，八月份达到了72万人，假设六月份至八月份的月平均增长率为x．（1）求月平均增长率x的值；（2）若保持这个增长率不变，九月份注册用户能否达到85万人？说明你的理由．【分析】（1）利用八月份注册用户人数＝六月份注册用户人数×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用九月份注册用户人数＝八月份注册用户人数×（1+月平均增长率），即可求出九月份注册用户人数，再将其与85万人比较后即可得出结论．解：（1）依题意得：50（1+x）2＝72，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：月平均增长率x的值为20%；（2）九月份注册用户能达到85万人，理由：72×（1+20%）＝86.4（万人），∵86.4＞85，∴九月份注册用户能达到85万人．20．（8分）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：（1）桥拱的半径；（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为10米．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2＝402+（r﹣20）2，解得：r＝50；即桥拱的半径为50米；（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示则MH＝NH＝MN＝30，∴EH＝＝40（米），∵EF＝50﹣20＝30（米），∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；故答案为：10．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝．即CD的长为：．22．某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t为整数）．设日销售利润为w元．（1）求销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数表达式；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在哪一个时段，日销售利润不低于1750元？【分析】1）当0≤t≤40时，设销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+b，根据待定系数法求解即可，当40＜t＜80时，p＝40，即可求解；（2）设日销售利润为w元，分别求出分段函数中w的最大值，即可求解；（3）在（2）利润解析式中，利用函数增减性即可得答案．解：（1）当0≤t≤40时，设销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+b，∴，∴，∴p＝t+30，当40＜t＜80时，p＝40，综上所述：p＝；（2）设日销售利润为w元，当0≤t≤40时，w＝（p﹣20）•y＝（t+30﹣20）（﹣2t+160）＝＝﹣（t﹣20）2+1800，∵﹣＜0，∴当t＝20时，w有最大值为1800元，当40＜t＜80时，w＝（p﹣20）•y＝20（﹣2t+160）＝﹣40t+3200，∵﹣40＜0，∴w＜﹣40×40+3200，即w＜1600，∴综上可得，第20天的销售利润最大，最大日销售利润为1800元．（3）∵当0≤t≤40时，W＝﹣（t﹣20）2+1800，当﹣（t﹣20）2+1800＝1750，t1＝10，t2＝30，∵k＝﹣＜0，抛物线开口向下，∴10≤t≤30时w≥1750；∵当40＜t＜80时，w＝﹣40t+3200，当﹣40t+3200＝1750时，t＝，而40＜t＜80∴没有符合条件的t值综上所述：10≤t≤30时，w≥1750；23．（1）如图1，已知，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD边上，点E在BC边上，则BE与DG的数量关系为BE＝DG；（2）将（1）中的正方形CEFG绕点C旋转至图2时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB＝5，，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转α度（0＜α＜90），如图3，当B，E，G三点在一条直线上时，求DG的长．【分析】（1）由正方形的性质得BC＝CD，CE＝CG，则BC﹣CE＝CD﹣CG，即可得出结论；（2）证△BCE≌△DCG（SAS）即可得出结论；（3）连FC交EG于点M，根据正方形CEFG，，求得CM＝EM＝1且EG⊥FC．再由勾股定理，得，进而得到BE＝BM﹣EM＝6．然后由（2）得DG＝BE，即可求解．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝CG，∴BC﹣CE＝CD﹣CG，即BE＝DG；故答案为：BE＝DG．（2）结论成立．∵BC＝DC，EC＝GC，∠BCD＝∠ECG，∴∠BCE＝∠DCG．∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG；（3）连FC交EG于点M，∵四边形CEFG是正方形，，∴CM