2022-2023学年山东省日照市东港区北京路中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省日照市东港区北京路中学八年级（下）开学数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．KN95型口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．用科学记数法表示0.0000003是（）A．0.3×10﹣6 B．0.3×10﹣7 C．3×10﹣6 D．3×10﹣73．下列从左到右的变形：．其中是因式分解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个4．下列选项中不能运用平方差公式的有（）A．（a+b+c）（a﹣b+c） B．（a﹣b+c）（﹣a+b﹣c） C．（a﹣b+c）（a+b﹣c） D．（﹣a+b+c）（﹣a﹣b﹣c）5．如果把分式中的x和y都扩大10倍，则分式的值（）A．扩大20倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小10倍6．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5cm、9cm、10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．77．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（）A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定8．若数a既使得关于x的不等式无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣59．某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，可得方程﹣＝10，则题目中用“……”表示的条件应是（）A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成 B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成 C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成 D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成10．已知△ABC的三边长分别为4，7，8，△DEF的边长分别为4，2x+2，3x﹣2．若这两个三角形全等，则x的值为（）A．1 B．2.5 C．3 D．411．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①AE平分∠BAC；②△ABD是等边三角形；③DE垂直平分线段AC；④△BCD是等腰三角形，其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，△ABC的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F，连接AD，点E为BD中点．有下列结论：①∠BDC＝45°；②∠CED＝∠EDF；③BD+CE＝BC；④AB＝DF；⑤S△ADE+S△CDF＝S△DCE．其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分，请将答案直接写在答题卡相应位置上）13．已知等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则等腰三角形的周长为．14．已知x2﹣3x﹣1＝0，x≠0，那么＝．15．如图，已知△ABC的面积为12cm，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为cm2．16．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为．三、解答题（本题共6个小题，满分72分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）因式分解：x2﹣9y2．（2）先化简：，再从﹣3＜x＜2的范围内选取一个你最喜欢的整数代入，求值．18．如图，在平面直角坐标系中：（1）描出点A（2，﹣1）、B（﹣1，3）；（2）描出点A关于y轴对称的点C，点B关于x轴对称的点D；（3）依次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，则四边形ABCD的面积为．19．如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，BD＝CD，求证：ED＝AE．20．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F．（1）求证：∠ABF＝∠BCD；（2）判断△BCF的形状，并说明理由．21．倡导健康生活推进全民健身，德州某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件．（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共60件，且费用不超过17600元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？22．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．

参考答案一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线（竖直穿过身体中心的直线），图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．2．KN95型口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．用科学记数法表示0.0000003是（）A．0.3×10﹣6 B．0.3×10﹣7 C．3×10﹣6 D．3×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.0000003＝3×10﹣7．故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．下列从左到右的变形：．其中是因式分解的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．解：①x2+3x+1＝x（x+3+）的右边不是整式的积，不是因式分解；②（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式乘法，不是因式分解；③15x2y＝3x•5xy的左边不是多项式，不是因式分解；④a2﹣2a+1＝（a﹣1）2是因式分解．是因式分解的个数是1个，故选：A．【点评】本题主要考查了因式分解的定义，解题时，要注意：因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．4．下列选项中不能运用平方差公式的有（）A．（a+b+c）（a﹣b+c） B．（a﹣b+c）（﹣a+b﹣c） C．（a﹣b+c）（a+b﹣c） D．（﹣a+b+c）（﹣a﹣b﹣c）【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可得到结果．解：下列选项中不能运用平方差公式的有（﹣a+b+c）（﹣a+b﹣c）．故选：B．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．如果把分式中的x和y都扩大10倍，则分式的值（）A．扩大20倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小10倍【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．解：＝，故选：B．【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．6．老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5cm、9cm、10.5cm，并且只能对10.5cm的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可．解：设从10.5cm的小木棍上裁剪的线段长度为xcm，则9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，∴整数x的值为5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、10cm，∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架．故选：C．【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键．7．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（）A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定【分析】根据完全平方公式的结构特点即可得出答案．解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，4x2﹣（k﹣1）x+9＝（2x）2﹣（k﹣1）x+32，∴k﹣1＝±2×2×3，解得：k＝13或﹣11，故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特点是解本题的关键，即（a±b）2＝a2±2ab+b2．8．若数a既使得关于x的不等式无解，又使得关于y的分式方程的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣5【分析】先解不等式组，根据题意得到2a+6≥5a﹣6，解得a≤4，再解分式方程得到y＝，再由题意可得a≥﹣5且a≠﹣3，最后求整数的和即可．解：，由①得x≤5a﹣6，由②得x＞2a+6，∵不等式组无解，∴2a+6≥5a﹣6，解得a≤4，，5+a﹣y＝y﹣2，y＝，∵方程的解不小于1，∴≥1，∴a≥﹣5，∵y≠2，∴a≠﹣3，∴满足条件的所有整数a为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，∴4+3+2+1+0﹣1﹣2﹣4﹣5＝﹣2，∴满足条件的所有整数a的和是﹣2，故选：C．【点评】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意对方程方程的增根进行讨论是解题的关键．9．某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，可得方程﹣＝10，则题目中用“……”表示的条件应是（）A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成 B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成 C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成 D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成【分析】由x表示实际每天翻修跑道的长度可得出（x﹣50）表示原计划每天翻修跑道的长度，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合所列方程可得出结果提前10天完成，总上，即可得出题目中用“……”表示的条件应是：每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成．解：∵实际每天翻修跑道x米，∴（x﹣50）表示原计划每天翻修跑道的长度；∵所列方程为﹣＝10，∴实际比原计划少用10天，即结果提前10天完成．∴题目中用“……”表示的条件应是：每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据给定的方程，找出省略的条件是解题的关键．10．已知△ABC的三边长分别为4，7，8，△DEF的边长分别为4，2x+2，3x﹣2．若这两个三角形全等，则x的值为（）A．1 B．2.5 C．3 D．4【分析】根据全等三角形周长相等列方程计算即可．解：∵两个三角形全等，∴4+3x﹣2+2x+2＝7+4+8，解得，x＝3，故选：C．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形周长相等是解题的关键．11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①AE平分∠BAC；②△ABD是等边三角形；③DE垂直平分线段AC；④△BCD是等腰三角形，其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由作图可判断①，由AB＝AD，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，可判断②，证明ED⊥AC，AD＝CD，可判断③，证明∠DBC＝∠C＝30°，可判断④，从而可得答案．解：由作图可知AE平分∠BAC，故①正确，∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，由作图可得：AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，故②正确，∵AE平分∠BAC，∴AE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，而AE＝AE，∴△ABE≌△ADE，∴∠ADE＝∠ABE＝90°，∴∠C＝∠CAE，∴EA＝EC，∴AD＝CD，∴DE垂直平分线段AC；故③正确，∵∠ABC＝90°，∠ABD＝60°，∴∠DBC＝30°＝∠C，∴△BCD是等腰三角形，故④正确；故选：D．【点评】本题考查的是作已知角的角平分线，等腰三角形与等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，△ABC的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F，连接AD，点E为BD中点．有下列结论：①∠BDC＝45°；②∠CED＝∠EDF；③BD+CE＝BC；④AB＝DF；⑤S△ADE+S△CDF＝S△DCE．其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，∠FCD＝∠ACD＝∠ACF，得∠BDC＝∠FCD﹣∠CBD＝（∠ACF﹣∠ABC）＝∠BAC＝45°，可判断①正确；先证明∠EDF+∠CBE＝90°，∠CED+∠ABE＝90°，而∠ABE＝∠CBE，即可根据等角的余角相等证明∠CED＝∠EDF，可判断②正确；由点E为BD中点，得BE＝DE＝BD，根据三角形任意两边的和大于第三边，得BE+CE＞BC，则BD+CE＞BC，可判断③错误；作DG⊥CA于点G，可证明△DGE≌△BAE，得GD＝AB，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等证明GD＝DF，则AB＝DF，可判断④正确；由∠DFC＝∠DGC＝90°，∠FCD＝∠GCD，CD＝CD，证明△CDF≌△CDG，则S△CDF＝S△CDG，由AE＝GE，得S△ADE＝S△GDE，则S△ADE+S△CDF＝S△GDE+S△CDG＝S△DCE，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．解：∵△ABC的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，∠FCD＝∠ACD＝∠ACF，∴∠BDC＝∠FCD﹣∠CBD＝（∠ACF﹣∠ABC）＝∠BAC，∵∠BAC＝90°，∴∠BDC＝×90°＝45°，故①正确；∵DF⊥BC交BC延长线于点F，∴∠BFD＝90°，∴∠EDF+∠CBE＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∠AEB＝∠CED，∴∠CED+∠ABE＝90°，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠CED＝∠EDF，故②正确；∵点E为BD中点，∴BE＝DE＝BD，∵BE+CE＞BC，∴BD+CE＞BC，故③错误；作DG⊥CA于点G，则∠DGE＝∠BAE＝90°，在△DGE和△BAE中，，∴△DGE≌△BAE（AAS），∴GD＝AB，∵CD平分∠ACF，DG⊥CA，DF⊥CF，∴GD＝DF，∴AB＝DF，故④正确；∵∠DFC＝90°，∠DGC＝90°，∴∠DFC＝∠DGC，在△CDF和△CDG中，，∴△CDF≌△CDG（AAS），∴S△CDF＝S△CDG，∵AE＝GE，∴S△ADE＝S△GDE，∴S△ADE+S△CDF＝S△GDE+S△CDG＝S△DCE，故⑤正确，故选：B．【点评】此题重点考查等角的余角相等、角平分线上的点到角两边的距离相等、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分，请将答案直接写在答题卡相应位置上）13．已知等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则等腰三角形的周长为18cm或21cm．【分析】等腰三角形两边的长为5cm和8cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．解：①当腰是5cm，底边是8cm时，能构成三角形，则其周长＝5+5+8＝18cm；②当底边是5cm，腰长是8cm时，能构成三角形，则其周长＝5+8+8＝21cm．故答案为：18cm或21cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．14．已知x2﹣3x﹣1＝0，x≠0，那么＝．【分析】由x2﹣3x﹣1＝0，x≠0，得出，进一步得到；再由原式的倒数的值求解即可．解：∵x2﹣3x﹣1＝0，x≠0，∴，两边同时平方得：，整理得：，∵，∴．故答案为：．【点评】本题考查了分式的值；熟练运用整体代入法、倒数法求分式的值是解题的关键．15．如图，已知△ABC的面积为12cm，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为6cm2．【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．解：延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×12cm2＝6cm2，故答案为：6cm2．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．注意：等底等高的三角形的面积相等．16．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为8．【分析】过点P作PE⊥AC于点E，连接BE，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得∠DAC＝30°，所以PE＝AP，当BP⊥AC时，AP+BP＝PE+BP＝BE的值最小，根据等边三角形的重心即可求得AP的长．解：如图，过点P作PE⊥AC于点E，连接BE，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∴∠DAC＝30°∴PE＝AP∴AP+BP＝PE+BP≥BE，当B、P、E三点依次在同直线上，且BP⊥AC时，AP+BP＝PE+BP＝BE的值最小，此时，点P为△ABC的重心，∴AP＝AD＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的重心性质，解决本题的关键是找到动点P的位置．三、解答题（本题共6个小题，满分72分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）因式分解：x2﹣9y2．（2）先化简：，再从﹣3＜x＜2的范围内选取一个你最喜欢的整数代入，求值．【分析】（1）运用平方差公式即可；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．解：（1）原式＝x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）；（2）原式＝÷＝•＝，∵x≠±1且x≠0，∴取x＝﹣2，则原式＝＝﹣．【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18．如图，在平面直角坐标系中：（1）描出点A（2，﹣1）、B（﹣1，3）；（2）描出点A关于y轴对称的点C，点B关于x轴对称的点D；（3）依次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，则四边形ABCD的面积为12．【分析】（1）根据点的坐标描点即可；（2）由轴对称的定义作图即可得；（3）利用割补法将原四边形分割成两个三角形即可得．解：（1）如图，点A、B即为所求；（2）如图，点C和点D即为所求；（3）四边形ABCD的面积为×6×1+×6×3＝12，故答案为：12．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．19．如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，BD＝CD，求证：ED＝AE．【分析】由“SSS”可证△ADB≌△ADC，进而利用平行线的性质和全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：在△ADB与△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴AE＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证明△ADB≌△ADC是本题的关键．20．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F．（1）求证：∠ABF＝∠BCD；（2）判断△BCF的形状，并说明理由．【分析】过点C作CG⊥AB于点G，（1）根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解；（2）由∠A＝45°，CG⊥AB得出∠ACG＝45°，即得∠ACB＝45°+∠BCG，根据三角形外角定理得出∠BFC＝45°+∠ABF，由（1）知∠BCG＝∠ABF，可得∠BCF＝∠BFC，由“等角对等边”即可得解．【解答】（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，∴∠DCG+∠CDG＝90°，∵BC＝DC，∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，∵BF⊥CD于点E，∴∠ABF+∠CDG＝90°，∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD；（2）解：如上图，△BCF是等腰三角形，理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，∴∠ACG＝45°，∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，∴∠BCF＝∠BFC，∴BC＝BF，∴△BCF是等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记“等角对等边”及“等边对等角”是解题的关键．21．倡导健康生活推进全民健身，德州某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件．（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共60件，且费用不超过17600元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？【分析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/件，B种型号健身器材的单价为1.5x元/件，根据“用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件”，列出分式方程，解之即可得出结论；（2）设购买A种型号健身器材m件，则购买B种型号的健身器材（60﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过17600元，列出一元一次不等式，解之取其最小整数值即可得出结论．解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/件，B种型号健身器材的单价为1.5x元/件，根据题意得：﹣＝15，解得：x＝240，经检验x＝240是原方程的解，且符合题意，则1.5×240＝360（元），答：A，B两种健身器材的单价分别是240元，360元；（2）设购买A种