4.2.1等差数列的概念（第2课时）（教学课件） 高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第4章数列人教A版2019选修第一册4.2.1等差数列的概念（第2课时）01等差数列实际问题02等差数列的性质目录学习目标1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.1.等差数列的定义：2.通项公式：{an}为等差数列4.等差数列的判断an+1-an=dan+1=an+d

an=pn+q(p、q是常数)

an-an-1=d

（n≥2）或

an+1-an=d

(n∈N*)an

=a1+(n-1)d

由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.3.等差中项：这三个数满足关系式：

知识回顾1.等差数列实际问题例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围.

典例

解决等差数列实际问题的基本步骤(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；(3)利用通项公式解决等差数列问题；(4)将所求出的结果回归为实际问题.2.等差数列的性质

分析：（1）

{an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.典例

归纳总结

典例

例5是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？课本练习1.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用an表示第n排的座位数吗?第10排有多少个座位?nanO•1569121518•2••••34633.在等差数列{an}中，an=m，am

=n，且n≠m，求am+n.4.已知数列{an},{bn}都是等差数列,公差分别为d1,d2,数列{cn}满足cn=

an

+2bn.

(1)数列{cn}是否是等差数列?若是,证明你的结论;若不是,请说明理由.(2)若{an},{bn}的公差都等于2,a1=

b1=1,求数列{cn}的通项公式.5.已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d.(1)将数列中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?(2)依次取出数列中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?(3)依次取出数列中所有序号为7的倍数的项,组成一个新的数列,它是等差数列吗?你能根据得到的结论作出一个猜想吗?随堂检测1.在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(

)A．9

B．12C．15D．18AC3.已知数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列{an＋bn}的第37项为(

)A．0B．37C．100D．－37C2.如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(

)A．14B．12C．28D．364.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(

)A．11.5B．12.5C．13.5D．14.5C解：设冬至的日影长为a1，公差为d，则a1＋a4＋a7＝31.5,a3＋a6＋a9＝25.5,两式相减得－6d＝6,解得d＝－1,∴a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选C.解1：（1）依题意得

a1+4d=10

a1+11d=31

解得a1=-2,d=3∴a25=a1+24d=-2+24×3=705.在等差数列{an}中，a5=10，（1）若a12=31，求a25

；（2）若d=2，求a10.{

=10+20×3=70(2)a10=a5+(10-5)d=10+5×2=20解2：（1）依题意得

∴a25=a5+(25-5)d6.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求此三数.解：设这三个数分别为a-d，a，a+d,

则

(a-d)+a+(a+d)=12，即3a=12

∴a=4

又∵

(a-d)(a+d)=12，即(4-d)(4+d)=12

解得d=±2

∴当d=2时，这三个数分别为2，4，6;当d=-2时，这三个数分别为6，4，2.7.某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.

解:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则可得数列{an}是一个公差为-d的等差数列.

因为购进设备的价值为220万元,所以a1=220-d,于是an=a1+(n-1)(-d)=220-nd根据题意,得

所以,d的取值范围为19<d≤20.9.8.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1

=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费

a11=11.2＋(11－1)×1.2=23.2答：需要支付车费23.2元。等差数列的性质设{an}是公差为d的等