高中数学必修5人教A数学12应用举例(同步练习)

第1题.如图，一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20o的方向，30min后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile之外的海区为航行安全地区，这艘船能够持续沿正北方向航行吗？65oS北B西东20o南A答案：在△ABS中，AB32.20.516.1nmile，ABS115t，依据正弦定理，ASAB，sin65osinABS20oASABsinBABsinABS216.1sin115o2，sin65o20oS到直线AB的距离是dASsin20o16.1sin115o2sin20o7.06（cm）．因此这艘船能够持续沿正北方向航行．第2题.如图，在山脚A测得出山顶P的仰角为a，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为asinasin，求证：山高h．sin-aＰγＣBaＱβαＡ答案：在△ABP中，ABP180o+，BPA180o-ABP180o-180o+．-在△ABP中，依据正弦定理，AP

ABsin

ABP

sin

APBAPsin

180o

+

sin

-αsin-APsin-sinsin-因此山高为hAPsin．sin-第3题.测山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC65.3m，塔顶B的仰角是25o25．已知山坡的倾斜角是17o38，求井架的高BC．ＢＣαβＡD答案：在△ABC中，AC65.3m，BAC=25o2517o387o47，ABC90o=90o17o3872o22，依据正弦定理，ACBCsinABCsinBACACgsinBAC65.3sin7o47BCABC9.3msinsin72o22井架的高约为9.3m．(6739)第4题.如图，货轮在海上以35nmile/h的速度沿着方向角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148o的方向航行．为了126o确立船位，在B点察看灯塔A的方向角是126o，航行半小时后抵达ＣB点，察看灯塔A的方向角是78o．求货轮抵达Ｃ点时与灯塔A的距离A78oC（精准到１nmile）．答案：在△ABC中，BC＝350.517.5nmile，ABC148o126o12o，ACB78o180o148o110o，BAC180o110o12o58o，依据正弦定理，ACBC，sinABCsinBACBCgsinABC17.5gsin12o4.29（nmile）．ACBACsin58osin货轮抵达Ｃ点时与灯塔的距离是约4.29nmile．第5题.轮船A和轮船B在正午12时走开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120o，轮船A的航行速度是25nmile/h，轮船B的航行速度是15nmile/h，下午2时两船之间的距离是多少？答案：70nmile．第6题.如图，已知一艘船从30nmile/h的速度往北偏东10o的A岛行驶，计划抵达A岛后逗留10min后持续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西60o的方向上．船抵达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西30o的方向，经过20min抵达Ｄ处，测得B岛在北偏西45o的方向，假如全部正常的话，此船何时能抵达B岛？B60o45oA30o20minC答案：在△BCD中，BCD30o10o40o,BDC180oADB180o45o10o125o，CD30110（nmile），3依据正弦定理，sinCDBD，10BD，CBDsinBCDsin180o40o125osin40oBD10sin40o．sin15o在△ABD中，ADB45o10o55o，BAD180o60o10o110o，ABD180o110o55o15o．依据正弦定理，ADBDAB，sinABDsinBADsinADB就是ADoBDoABo，sin15sin110sin55ADBDgsin15o10gsin40o6.84（nmile）．oosin110sin70ABBDgsin55o10gsin40ogsin55o21.65(nmile)．sin110osin15ogsin70o假如这全部正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：20ADAB6010306.8421.656086.98（min）3030即约１小时26分59秒．因此此船约在11时27分抵达Ｂ岛．第7题.一架飞机在海拔8000m的高度飞翔，在空中测出前下方海岛双侧海岸俯角分别是27o和39o，计算这个海岛的宽度．27o39o8000mPQ答案：约5821.71m．第8题.一架飞机从A地飞到B到，两地相距700km．飞翔员为了避开某一地区的雷雨云层，从机场腾飞后，就沿与本来的飞翔方向成21o角的方向飞翔，飞翔到半途，再沿与本来的飞翔方向成35o夹角的方向持续飞翔直到终点．这样飞机的飞翔行程比本来行程700km远了多少？C21o35oAB700km答案：在△ABC中，AB700km，ACB180o21o35o124o，依据正弦定理，700oACoBCo，sin124sin35sin21AC700gsin35o，sin124oBC700gsin21o，sin124o700gsin35o700gsin21o786.89（km），ACBCsin124osin124o因此行程比本来远了约86.89km．第9题.为丈量某塔的高度，在A，B两点进行丈量的数据如下图，求塔的高度．答案：在△ABT中，ATB21.4o18.6o2.8o，ABT90o18.6o，AB15（m）．依据正弦定理，ABAT，AT15cos18.6o．sin2.8ocos18.6osin2.8o塔的高度为ATgtan21.4o15gcos18.6ogtan21.4o114.05（m）．sin2.8o第10题.A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照耀在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？答案：飞机离A处控照灯的距离是4801.53m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21m，飞机的高度是约4574.23m．o76.5oA72.3B第11题.一架飞以326km/h的速度，沿北偏东75o的航向从城市A出发向城市B飞翔，18min此后，飞机因为天气原由按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应当沿什么航向飞翔，此时离城市C的距离是多少？答案：AE=3261897.8km，60在△ACD中，依据余弦定理：ACAD2CD22gADgCDgcos66o5721102257110gcos66o101.235依据正弦定理：ADAC，ACDsinADCsinADgsinADC57gsin66o0.5144，sinACD101.235ACACD30.96o，ACB133o30.96o102.04o．在△ABC中，依据余弦定理：ABAC2BC22gACgBCgcosACB101.23522042o245.93，cosBACAB2AC2BC22gABgAC245.932101.235220422245.93101.2350.5847，BAC54.21o．在△ACE中，依据余弦定理：CEAC2AE22gACgAEgcosEAC101.235297.8290.75，cosAECAE2EC2AC2．2gAEgEC97.8290.752101.23520.4254，297.890.75AEC64.82o，180oAEC180o75o75o64.82o10.18o．因此，飞机应当以南偏西10.18o的方向飞翔，飞翔距离约90.75km．BEADC第12题.

飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，

已知飞机的高度为海拔

20250m，速度为1000km/h，飞翔员先看到山顶的俯角为

18o30

，经过

150s

后又看到山顶的俯角为

81o，求山顶的海拔高度（精准到

1m）．18t30'81t答案：飞翔在150秒内飞翔的距离是d10001000150m，3600依据正弦定理，d18.5ox，这里x是飞机看到山顶的俯角为81o时飞机sin81osin18.5o与山顶的距离．飞机与山顶的海拔的差是：xgtan81odgsin18.5oogtan81o14721.64(m)，osin8118.5山顶的海拔是2025014721.645528m．第13题.一个人在建筑物的正西A点，测得建筑物顶的仰角是到B点，再测得建筑物顶的仰角是，设A，B间的距离是证明：建筑物的高是asinsin．sinsin