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文档简介
1.双曲线的标准方程一.知识梳理1.定义:平面内与两定点、的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点、叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距.注:若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。设为双曲线上的任意一点,若点在双曲线右支上,则;若在双曲线的左支上,则;因此得.2.标准方程:焦点在轴上:焦点在轴上:.可以看出,如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上;如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上.3.标准方程中的三个量满足4.方程表示的曲线为双曲线,它包含焦点在轴上或在轴上两种情形.若将方程变形为,则当,时,方程为,它表示焦点在轴上的双曲线,此时;当时,方程为,它表示焦点在轴上的双曲线,此时。
因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法.三.例题分析题型1双曲线的定义及应用例1.双曲线上一点到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是()
A.到左焦点的距离为8B.到左焦点的距离为15
C.到左焦点的距离不确定D.这样的点不存在习题1.双曲线上一点到左焦点的距离,求点到右焦点的距离.
习题2.-=4表示的曲线方程为(????)A.-=1(x≤-2) B.-=1(x≥2)C.-=1(y≤-2) D.-=1(y≥2)题型2.求双曲线方程
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1),经过点;(2)经过点、;
(3)与双曲线有相同的焦点,且经过点.题型3.判断曲线类型例3.(1).“”是“方程表示双曲线”的(????)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2).设,则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为(????)A. B.C. D.(3).已知方程表示双曲线,则的取值范围是______.(4).若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围为____________.解析:(1)方程表示双曲线等价于,即或,故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选:A(2)由,方程表示双曲线,则,所以,根据选项,“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B.故选:B.(3)若方程表示在轴上的双曲线,则,解得;若方程表示在轴上的双曲线,则,此时.综上所述,.故答案为:.(4)因为方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以有,解得,所以实数m的取值范围为,故答案为:题型4双曲线的轨迹例4.在△ABC中,,,直线AB、AC的斜率乘积为,求顶点A的轨迹.例5.(1)已知两圆,动圆与圆外切,且和圆内切,则动圆的圆心的轨迹方程为(????)A. B.C. D.(2)已知动圆M与圆外切,与圆:内切,则动圆圆心的轨迹方程为(????)A. B.C. D.解析:(1)如图,设动圆的半径为,则,,则,所以动圆圆心的轨迹是以,为焦点,以为实轴长的双曲线的右支.因为,所以.故动圆圆心的轨迹方程为.故选:D.(2)如图,由题意得:,圆与圆:的半径相等,均为,即,所以,故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支,其中,,故
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