专题三：弹簧类问题

专题三：弹簧类问题一、弹簧弹力大小问题弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即F=kx,其中x是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量，也不会有动能的）。不论弹簧处于何种运动状态（静止、匀速或变速），轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。证明如下：以轻弹簧为对象，设两端受到的弹力分别为F、F,根据牛顿第二定律，12F+F=ma,由于m=0,因此F+F=0，即FF—定等大反向。1212 1．2弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一端和其它物体脱离接触，或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。在弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下，弹簧弹力的大小F=kx与形变量x成正比。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大小不会突然改变，即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。（这一点与绳不同，高中物理研究中，是不考虑绳的形变的，因此绳两端所受弹力的改变可以是瞬时的。）例1.质量分别为m和2m的小球P、Q用细线相连，P用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止。下列说法中正确的是：若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为0和g若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为3g和0分析与解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上，因此剪断瞬间P的加速度为向上2g,而Q的加速度为向下g；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P、Q的拉力也立即变为零，因此P、Q的加速度均为竖直向下，大小均为g。选Co静止时细线d、e水平，b、c与竖直方向夹角均例2.如图所示，小球p、Q质量均为m,分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下，再用另一细线d静止时细线d、e水平，b、c与竖直方向夹角均6g75g剪断d瞬间P的加速度大小为06g75g剪断d瞬间P的加速度大小为0.剪断e前c的拉力大小为0.8mg25mg剪断e后瞬间c的拉力大小为1.25mg分析与解：剪断d瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化，因此重力和弹簧拉力的合力与剪断前d对P的拉力大小相等，为0.75mg,因此加速度大小为0.75g,水平向右；剪断e前c的拉力大小为1.25mg，剪断e后，沿细线方向上的合力充当向心力，因此c的拉力大小立即减小到0.8mg。选Bo

二、临界问题两个相互接触的物体被弹簧弹出，这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。特点：1．接触；2．还没分开所以有共同的速度和加速度；3．弹力减小为零。这种临界问题又分以下两种情况：1．仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。例3.如图所示，两个木块A、B叠放在一起，B与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上，用竖直向下的力F压A,使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时,若突然撤去压力F，A、B将被弹出且分离。下列判断正确的是：木块A、B分离时，弹簧的长度恰等于原长木块A.B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B的重力木块A、B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A、B的总重力木块A、B分离时，弹簧的长度可能大于原长分析与解：以A为对象，既然已分开，那么A就只受重力，加速度竖直向下，大小为g;又未分开，A、B加速度相同，因此B的加速度也是竖直向下，大小为g,说明B受的合力为重力，所以弹簧对B没有弹力，弹簧必定处于原长。选A。此结论与两物体质量是否相同无关。WWWBA例4.如图所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端与木块B相连，木块A紧靠木块B放置，A、B与水平面间的动摩擦因数均为"。用水平力F向左压A,使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水平力F，A、B向右运动，下列判断夕正确的是：WWWBAA、B一定会在向右运动过程的某时刻分开 Z若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定是原长若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长短若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长长分析与解：若撤去F前弹簧的压缩量很小，弹性势能小于弹簧恢复原长过程A、B克服摩擦阻力做的功，那么撤去F后，A、B虽能向右滑动，但弹簧还未恢复原长A、B就停止滑动，没有分离。只要A、B在向右运动过程的某时刻分开了，由于分离时A、B间的弹力为零，因此A的加速度是aA=pg；而此时A、B的加速度相同，因此B的加速度a=pg,即B受的合力只能是滑动摩擦力，所以弹簧必然是原长。选B。AB例5.如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m在木块A上施有竖直向下的力F,整个装置处于静止状态。AB（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大？

(2)要使A、B不分离，力F应满足什么条件？【点拨解疑】力F撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多．(1)最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F/2,方向竖直向上；当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为mg-F2。(2)力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性.最高点时，A、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg。那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于mg,但根据前一小题的分析，此时回复力为F/2,这就是说F/2=mg。则F=2mg.因此，使A、B不分离的条件是FW2mg。2.除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不一定是原长。(弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长，但质量考虑时一定不是弹簧的原长，)可看成连接体。例6.一根劲度系数为k质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，

有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a且(a<g)匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg,弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma得N=mg-kx-mam(g-a)当N=0时，物体与平板分离，所以此时x=k1 2m（g一a）因为x=2at2,所以因为x=例7.如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/sZ则F的最小值是 ，F的最大值是.分析与解：因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0〜0.2s这段时间内P向上运动的距离：x=mg/k=0.4m2x因为x=at2，所以P在这段时间的加速度a= =20m/s2t2当P开始运动时拉力最小，此时对物体P有N-mg+Fmin二ma,又因此时N=mg，所以有Fmin=ma=240N.

当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=360N.例8.一弹簧秤的秤盘质量mi=1.5kg,盘内放一质量为m2=10.5kg的物体P,弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m,，系统处于静止状态，如图所示。现给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0.2s内F是变化的，在0.2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？(g=10m/s2)分析与解：因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘的质量m1=1.5kg，所以此时弹簧不能处于原长，这与例2轻盘不同。设在0 0.2s这段时间内P向上运动的距离为x，对物体P据牛顿第二定律可得：F+N-m2g=m2a对于盘和物体P整体应用牛顿第二定律可得：F+k〔眈1+眈2)g_疋一(陀]+陀Jg=(锲1+聊2)住mg-ma 1令N=0，并由述二式求得x= 2 1，而x=at2，所以求得a=6m/s2.k2当P开始运动时拉力最小，此时对盘和物体P整体有F=(m+m)a=72N.min1 2当P与盘分离时拉力F最大，F=m(a+g)=168N.max2例9.如图所示，质量均为m=500g的木块A、B叠放在一起，轻弹簧的劲度为k=100N/m，上、下两端分别和B与水平面相连。原来系统处于静止。现用竖直向上的拉力F拉A,使它以a=2.0m/s2的加速度向上做匀加速运动。求：(1)经过多长时间A与B恰好分离？⑵上述过程中拉力F的最小值片和最大值F2各多大？⑶刚施加拉力F瞬间A、B间压力多大？分析与解：⑴设系统静止时弹簧的压缩量为x1,A、B刚好分离时弹簧的压缩量为x。kx=2mg,x=0.10m。A、B刚好分离时，A、B间弹力大小为零，且211a=a=a。以B为对象，用牛顿第二定律：kx-mg=ma得x=0.06m，可见分离AB 2 2时弹簧不是原长。该过程A、B的位移s=x-x=0.04m。由s=at2,得t=0.2s122⑵分离前以A、B整体为对象，用牛顿第二定律：F+kx-2mg=2ma,可知随着A、B加速上升，弹簧形变量x逐渐减小，拉力F将逐渐增大。开始时x=X],F]+kX]-2mg=2ma,得.=2N；A、B刚分离时x=x,F+kx-2mg=2ma,得F=6N2222⑶以B为对象用牛顿第二定律：kx-mg-N=ma得N=4N三、弹簧振子的简谐运动轻弹簧一端固定，另一端系一个小球，便组成一个弹簧振子。无论此装置水平放置还是竖直放置，在忽略摩擦阻力和空气阻力的情况下，弹簧振子的振动都是简谐运动。

弹簧振子做简谐运动过程中机械能守恒。水平放置的弹簧振子的总机械能E等于弹簧的弹性势能E和振子的动能Ek之和，还等于通过平衡位置时振子的动能（即最大动能），pk或等于振子位于最大位移处时弹簧的弹性势能（即最大势能），即E=E+Ek=E=Ekpkpmkm简谐运动的特点之一就是对称性。振动过程中，振子在离平衡位置距离相等的对称点，所受回复力大小、位移大小、速度大小、加速度大小、振子动能等都是相同的。例10.如图所示，木块P和轻弹簧组成的弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，0为平衡位置，B.C为木块到达的最左端和最右端。有一颗子弹竖直向下射入P并立即留在P中和P共同振动。下列判断正确的是：若子弹是在C位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变若子弹是在B位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期变小 彳帧枫可订若子弹是在0位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变 彼務吃形若子弹是在0位置射入木块的，则射入后振幅减小，周期变大分析与解：振动能量等于振子在最远点处时弹簧的弹性势能。在B或C射入，不改变最大弹性势能，因此不改变振动能量，也不改变振幅；但由于振子质量增大，加速度减小，因此周期增大。振动能量还等于振子在平衡位置时的动能。在0点射入，射入过程子弹和木块水平动量守恒，相当于完全非弹性碰撞，动能有损失，继续振动的最大动能减小，振动能量减小，振幅减小；简谐运动周期与振幅无关，但与弹簧的劲度和振子的质量有关。子弹射入后，振子质量增大，因此周期变大。选D。例11.如图所示，轻弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M的木笔M板，木板下面再挂一个质量为m的物体，当拿去m后，木板速度再次为零时,弹簧恰好恢复原长，求M与m之间的关系？M解析：考虑到拿去m后。M将做简谐运动，则拿去m时M所处位置，与弹簧刚恢复原长时M所处位置分别为平衡位置两侧的最大位置处，由M做简谐运动时力的对称性可知，在两侧最大位移处回复力的大小应相等，在最低位置处F=mg，方向向上，在最高位置处F=mg，方向向下，所以有M=m0例12.如图所示，轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列判断中正确的是： O-川在B位置小球动能最大在C位置小球加速度最大从A-C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加从BfD位置小球重力势能的减少小于弹簧弹性势能的增加分析与解：AfC小球受的合力一直向下，对小球做正功，动能增加D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，因此在位置小球动能最大。从B到D小球的运动是简谐运动的一部分，且C为平衡位置，因此在C.D间必定有一个B?点，满足BC=B?C，

小球在B?点的速度和加速度大小都和在B点时相同；从C到D位移逐渐增大，回复力逐渐增大，加速度也逐渐增大，因此小球在D点加速度最大，且大于g。从A—C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，因此重力势能的减少大于动能的增大。从LD小球重力势能减小，弹性势能增加，且B点动能大于D点动能，因此重力势能减少和动能减少之和等于弹性势能增加。选D。四、弹性势能问题机械能包括动能、重力势能和弹性势能。其中弹性势能的计算式E=—kx2咼中不要p2求掌握，但要求知道：对一根确定的弹簧，形变量越大，弹性势能越大；形变量相同时，弹性势能相同。因此关系到弹性势能的计算有以下两种常见的模式：1．利用能量守恒定律求弹性势能。例13.如图所示，质量分别为m和2m的A.B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙。用水平力F将B向左压，静止后弹簧储存的弹性势能为E。若突然撤去F,那么A离开墙后，弹簧的弹性势能最大值将是多大？也“—点厂芮尸 分析与解：A离开墙前A、B和弹簧组成的系统机械能守冬舜爰缪以易* 恒，弹簧恢复原长过程，弹性势能全部转化为B的动能，因此A刚离开墙时刻，B的动能为E。A离开墙后，该系统动量守恒，机械能也守恒。当A、B共速时，系统动能最小，因此弹性势能最大。A刚离开墙时刻B的动量和A、B共速时A、B的总动量相等，由动能和动量的关系Ek=p2/2m知，A刚离开墙时刻B的动能和A、B共速时系统的动能之比为3：2，因此A、B共速时系统的总动能是2E/3，这时的弹性势能最大，为E/3。例14.A、B两个矩形木块用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k,木块A的质量为m，木块B的质量为2m，将它们竖直平放在竖直水平地面上，如右图所示。如果将另一块质量为m的物块C从距木块A高H处自由落下,C与A相碰后，立即与A粘合在一起，不再分开，再将弹簧压缩，此后，A、C向上弹起，最终能使木块B刚好离开地面，如果mg

k3mgk1mv2木块c的质量减为m2，要使木块B不离开水平地面，那么木块C自由落下的高度hmg

k3mgk1mv2分析与解：C作用之前弹簧是压缩的，压缩量为Axi=B刚要离开地面时弹簧是拉伸的，伸长量为笔=B刚要离开地面时弹簧是拉伸的，伸长量为笔=k所以B刚要离开地面时，A上升的高度为山=辱+心设C与A碰撞前速度为v°，碰撞后为vi，则有mgH=C与A碰撞瞬间动量守恒有：mv°二（m+m儿

由②③解得：当A上升到最高点时，由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增量为AE= （m+m）v2一（m+m）gxAx2由①④⑤解得：mgH6m2g2由①④⑤解得：/\E— 2mC换成—mC换成—后,」 7 1 ，有一mgh—mv22 2 0由⑦⑧解得：V—3gh当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，AE— （丄m+m）v'2一（丄m+m）gxAx2212由⑥⑨⑩解得：h—3H-9mgk所以h不能超过3H-9mg。kmv'—（丄m+m）v'⑧202由能量关系得求解策略：2、在弹簧、“关联物”动能与势能的能量交换中，有从压缩状态恢复原长的，有从伸长状态恢复原长的，表现三种典型状态：弹簧伸长最长、压缩最短及恢复原长瞬间。对于在弹簧恢复原长的瞬间，除质量相等的两物体速度一个最大，另一个最小为零外，一般速度不会同时达到最大最小。原先在弹簧作用下加速的物体在弹簧恢复原长的瞬间速度一定最大，而对于受弹簧作用减速的物体则要据动量守恒和机械能守恒列方程求解。若解得它的速度为正值，则为最小；若为负值，表明已反向加速，则整个过程中此物体的最小速度应为零。2．利用形变量相同时弹性势能相同。例15.如图所示，质量均为m的木块A、B用轻弹簧相连，竖直放置在水平面上，静止时弹簧的压缩量为1。现用竖直向下的力F缓慢将弹簧再向下压缩一段距离后，系统再次处于静止。此时突然撤去压力F,当A上升到最高点时，B对水平面的压力恰好为零。求：（1）F向下压缩弹簧的距离x；⑵压力F在压缩弹簧过程中做的功W。分析与解：⑴如图①、②、③、④分别表示未放A,弹簧处于原长的状态、弹簧和A相连后的静止状态、撤去压力F前的静止状态和撤去压力后A上升到最高点的状态。撤去F后，A做简谐运动，②状态A处于平衡位置。

②状态弹簧被压缩，弹力等于A的重力；④状态弹簧被拉长，弹力等于B的重力；由于A、B质量相等，因此②、④状态弹簧的形变量都是1。由简谐运动的对称性，③、④状态A到平衡位置的距离都等于振幅，因此x=21⑵②到③过程压力做的功W等于系统机械能的增加，由于是“缓慢”压缩，机械能中的动能不变，重力势能减少，因此该过程弹性势能的增加量△2=W+2mg1；③到④过程系统机械能守恒，初、末状态动能都为零，因此弹性势能减少量等于重力势能增加量，即△E2=4mg1。由于②、④状态弹簧的形变量相同，系统的弹性势能相同，即△2=氐E，因此W=2mg1。2例16.质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0,如图所示。一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到0点。若物块质量为2m,仍从A处自由落下，则物块与钢板回到0点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与0点的距离。分析与解.物块与钢板碰撞时的速度叫—尹麟®①设vi表示质量为m的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度，因碰撞时间极短，动量守恒， mv°=2mV] ②刚碰完时弹簧的弹性势能为EP。当它们一起回到0点时，弹簧无形变，弹性势能为零，根据题给条件，这时物块与钢板的速度为零，由机械能守恒，Ep+— =2mgx0'2③设v2表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度，则有2mv0=3mv2④仍继续向上运动，设此时速度为v,则有E；+|(3m>2=3mgx0+|(3m)v在以上两种情况中，弹簧的初始压缩量都是xo,故有E'p当质量为2m的物块与钢板一起回到0点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力作用，加速度为g。一过0点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g。由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g。故在0点物块与钢板分离，分离后，物块以速度v竖直上升，则由以上各式解得，物块向上运动所到最高点与0点的距离为1=v2/(2g)=(l/2)x° ⑦例17.如下图所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与