等差数列性质及习题

等差数列.定义：a-a=d(d为常数)或a一a=a-a(n>2).等差数列的通项：a=a+(n-1)d或a=a+(n-m)d。.等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A=a+bn(a+a) n(n-1)TOC\o"1-5"\h\z.等差数列的前n和：S=(1.'，S=na+-(---)dn 2 n1 2.等差数列的性质：(1)当公差d丰0时，等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；n(n-1) d dS=na+ d=—n2+(a——)n是关于n的二次函数且常数项为0.n1 2 2 12(2)若公差d>0，则为递增等差数列，若公差d<0，则为递减等差数列，若公差d=0，则为常数列。(3)当m+n=p+q=2w时，则有a+a=a+a=2a(4)若｛an｝,｛bn｝是等差数列，则伏an｝、伏an+pbn｝(k、p是非零常数)、｛ap+nq)(p,qeN*)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也成等差数列.(5)在等差数列｛an｝中，当项数为偶数2n时，S偶一S奇=nd，S偶：S奇=an讨：an；项数为奇数2n-1时，S奇一S偶=a；S奇：S偶=(n+1):n。(6)若等差数列｛a｝、｛b｝的前n和分别为A、B，且《二f(n)，nn nnBn则a=(2n-1a=%-1=f(2n-1).bn(2n-1)bnB2n-1⑺“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组!an>01或1a尸0।确定出前多少项为非负(或非正)；、a1<0/[a1>0/法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性neN*。

专题1等差数列的定义1、已知数列｛%｝中，an-an1=2(neN*,n>2)，若a1=3,则此数列的第io项是2、已知an+1—an—3=0，则数列tan｝是 ( )A.递增数列 B.递减数列 C.常数列D.摆动数列3、在*和y之间插入n个实数，使它们与％,y组成等差数列，则此数列的公差为4、首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围15、已知数列｛a｝中，a=2,a=1,又数列｛—｝为等差数列，则a=n3 7 a+1 nn6、在等差数列｛a｝中，a=n,a=m(m,n£N),则a=专题2等差数列的性质1、在等差数列中，a1与a11是方程2*2T-7=0的两根，则a6为2、设数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，其中a1=24,b1=75,且a2+b2=100,则数列U｛an+bJ的第100项为.3、设｛an｝是公差为正数的等差数列，若a1+a+a=15,aaa=80，则a+a+a=4、若0｝为等差数列，a2,a10是方程*2-3*-5=0的两根，则a5+a7=5、若lg2,lg(2x—1),lg(2x+3)成等差数列，则x等于6、等差数列｛a｝中，a+3a+a=120,则2a-a= ( )A．24B．22C．20D．-8A．24B．22C．20D．-8专题3等差数列的前n项和1、等差数列｛〃“｝的前n项和为sn，若ar18-a5,则s5等于2、已知等差数列｛an｝中，前15项之和为S15=90，则a8等于3、设S.是等差数列｛”的前n项和，若尸5,则%二(A)8 (B)7 (C)6 (D)5专题4等差数列的前n项和的性质1、等差数列｛a｝共有2n+1项，所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120，则〃等于n -2、已知在数列｛a｝中，a1=—10,a+1=a+2,则|aj+|a2|+|aj+…+|a10|等于 3、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15,偶数项之和为30：则其公差是4、已知为等差数列,,,是等差数列的前项和,则使得达到最大值的是()专题5综合应用.在等差数歹列｛aj中，如果a4+a7+a10=17,24+”+”+…+a14=77,(1)求此数列的通项公式a；n(2)若ak=13,求k的值。.三个实数a,b,c成等差数列，且a+b+c=81,又14—c,b+1,a+2也成等差数列，求a,b,c的值.3、在等差数列｛an｝中，Sn为前n项和：(1)若a1+a9+a12+a20=20，求S^^;(2)若S4=1,S8=4，求a7+a18+a19+a20的值；(3)若已知首项a广13，且S广S11,问此数列前多少项的和最大？4