-高中数学课时作业15反证法含解析新人教A版选修2-

PAGEPAGE5反证法(建议用时：40分钟)一、选择题1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°B[由反证法证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根A[依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.]3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为()A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D[反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．]4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线C[假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2C[若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．]二、填空题6．用反证法证明“若函数f(x)＝x2＋px＋q，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2)”时，假设内容是________．|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)[“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2)”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)”．]7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)[答案]③8．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)[由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．]三、解答题9.已知x，y>0，且x＋y>2.求证：eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一个小于2.[证明]假设eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)都不小于2，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2.∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．∴eq\f(1＋x,y)，eq\f(1＋y,x)中至少有一个小于2.10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[解]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0，由f(0)为奇数，即c为奇数，f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，又an2＋bn＝－c为奇数，所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．所以f(x)＝0无整数根．1．已知a，b，c∈(0,1)，则在(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中，()A．不能同时大于eq\f(1,4)B．都大于eq\f(1,4)C．至少一个大于eq\f(1,4)D．至多有一个大于eq\f(1,4)A[法一：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于eq\f(1,4).∵a，b，c都是小于1的正数，∴1－a,1－b,1－c都是正数.eq\f(1－a＋b,2)＞eq\r(1－ab)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，同理eq\f(1－b＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(1,2).三式相加，得eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)＞eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).法二：假设三个式子同时大于eq\f(1,4)，即(1－a)b>eq\f(1,4)，(1－b)c>eq\f(1,4)，(1－c)a>eq\f(1,4)，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)①因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－a＋a,2)))2＝eq\f(1,4).同理，0<b(1－b)≤eq\f(1,4)，0<c(1－c)≤eq\f(1,4).所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3).②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A.]2．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝eq\f(1,2)，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝2上 B．必在圆x2＋y2＝2外C．必在圆x2＋y2＝2内 D．以上三种情形都有可能C[∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2.假设点P(x1，x2)不在圆x2＋y2＝2内，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)≥2，但xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))2－2x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))2＋eq\f(2c,a)＝eq\f(3c2,4c2)＋eq\f(2c,2c)＝eq\f(7,4)<2，矛盾．∴假设不成立．∴点P必在圆x2＋y2＝2内．故选C.]3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________．甲[假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾．假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立．∴可以判断偷珠宝的人是甲．]4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2＜2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．③[假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.]5．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解](1)设公差为d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1,3a1＋3d＝9＋3\r(2)))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)证明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(