北师大版必修第一册3.1不等式的性质优选作业

【精选】3.1不等式的性质-2优选练习一．填空题1．若，则的最小值为______．2．设二次函数（为实常数）的导函数为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为_____．3．已知正实数x，y满足，则的最小值是______4．函数的最大值为______,此时的值为______.5．若正实数满足，则的最小值是______．6．已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为_____．7．若实数满足，且，则的最大值为______.8．已知正数满足,则的最小值是___________.9．已知正数a，b满足，则的最小值为______．10．已知实数x，y满足，则xy的最大值为__________．11．已知x＞0，y＞0，且x+y＝6，则的最大值为_____12．已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．13．如图，点在的边上，且，，，则的最大值为________．14．已知，若对任意正数，，不等式恒成立，则实数的最小值为______.15．已知，则的最小值为______．

参考答案与试题解析1．【答案】8【解析】根据基本不等式求最值.【详解】因为，所以,当且仅当时取等号,即的最小值为8.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.2．【答案】【解析】由已知可得恒成立，即，且，进而利用基本不等式可得的最大值．【详解】∵，∴，∵对任意，不等式恒成立，∴恒成立，即恒成立，故，且，即，∴，∴，∴，可令，即，时，；故时，，当且仅当时，取得最大值．故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．3．【答案】【解析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)．“定”(不等式的另一边必须为定值)．“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4．【答案】-32【解析】先将原式化为，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，又，所以，当且仅当时取等号；此时.即最大值为，此时.【点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.5．【答案】4【解析】【详解】得，设（），则，当且仅当时等号成立，故的最小值是4.6．【答案】【解析】由不等式的性质进行求解即可．【详解】∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].故答案为：[﹣9，0]【点睛】本题考查了不等式性质的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题．7．【答案】【解析】先根据对数的运算性质可得xy＝2，再根据基本不等式即可求【详解】实数x．y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则xy＝2，则，当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号故的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查了对数的运算，其中对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题．8．【答案】９【解析】由题意可得+=（+）（x+y）=1+4++，再利用基本不等式即可求出．【详解】∵正数x，y满足x+y=1，则+=（+）（x+y）=1+4++≥5+2=9，当且仅当x=，y=时取等号，故则+的最小值是9，故答案为：9.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题．9．【答案】4【解析】由，可得，再利用基本不等式即可求出最小值.【详解】解：正数a，b满足，，当且仅当时取等号．的最小值为4.故答案为4.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，求最值时，可通过基本不等式或函数两个方面考虑，在用基本不等式时要注意不等式的使用条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可．10．【答案】【解析】通过基本不等式得到，从而求得结果.【详解】（当且仅当时取等号）最大值为【点睛】本题考查基本不等式的运算，属于基础题.11．【答案】2【解析】由题意结合均值不等式的结论和对数的运算法则确定的最大值即可.【详解】，，且；，当且仅当时取等号；；；的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，均值不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．【答案】【解析】不等式恒成立？（）min≥a．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【详解】∵，且∴1016，当且仅当y＝3x＝时取等号．∵不等式恒成立？（）min≥a．∴a∈（﹣∞，16]，即实数的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质．恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．13．【答案】【解析】先计算出的值，利用可得，两边平方后整理可得，设，则，利用基本不等式可求的最大值.【详解】因为，所以因为，所以即，整理得到，两边平方后有，所以即，整理得到，设，所以，因为，所以，，当且仅当，时等号成立，故填.【点睛】三角形中可根据点分线段成比例得到向量之间的关系，从而得到所考虑的边的长度之间的关系.三角形中关于边的和的最值问题，可通过基本不等式来求，必要时需代数变形构造所需的目标代数式.14．【答案】【解析】根据，为任意整数可得已知不等式等价于恒成立，利用基本不等式易得；接下来求解不等式即可得出k的取值范围，从而得出k的最小值，注意所得k的值还要满足.【详解】解：，恒成