函数的对称性与函数的图象变换总结

关于函数的对称性与函数的图象变换总结第1页，共50页，2023年，2月20日，星期三1-3-1-2165432-xx78（偶函数）Y=f(x)图像关于直线x=0对称知识回顾从”形”的角度看，从“数”的角度看，f(-x)=f(x)XY第2页，共50页，2023年，2月20日，星期三1-3-1-216543278

f(x)=

f(4-x)

f(1)=f(0)=f(-2)=

f(310)=f(6)f(4-310)0x4-xY=f(x)图像关于直线x=2对称f(3)f(4)从”形”的角度看，从”数”的角度看，xy第3页，共50页，2023年，2月20日，星期三-1+x-1-x1-3-1-216543278x=-1

f(-1+x)=

f(-1-x)思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称

f(x)=

f(-2-x)Yx第4页，共50页，2023年，2月20日，星期三y=f(x)图像关于直线x=a对称

f(x)=f(2a-x)

f(a-x)=f(a+x)y=f(x)图像关于直线x=0对称

f(x)=f(-x)特例：a=0轴对称性思考？若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于

对称

a+b2x=直线第5页，共50页，2023年，2月20日，星期三-xxxyof(-x)=-f(x)y=f(x)图像关于(0,0)中心对称中心对称性类比探究

a从”形”的角度看，从”数”的角度看，第6页，共50页，2023年，2月20日，星期三f(x)=-f(2a-x)f(a-x)=-f(a+x)xyo

a从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究

a+x

a-xy=f(x)图像关于(a,0)中心对称b第7页，共50页，2023年，2月20日，星期三af(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)b中心对称性y=f(x)图像关于(a,b)中心对称类比探究xyo第8页，共50页，2023年，2月20日，星期三思考？(1)若y=f(x)满足f(a-x)=-f(b+x),(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x),则函数图像关于

对称

a+b2(,0)点则函数图像关于

对称

a+b2(,C)点第9页，共50页，2023年，2月20日，星期三-xx

函数图像关于直线x=0对称f(-x)=f(x)

函数图像关于直线x=a对称f(a-x)=f(a+x)x=af(x)=f(2a-x)函数图像关于(0,0)中心对称函数图像关于(a,0)中心对称f(-x)=-f(x)f(a-x)=-f(a+x)f(x)=-f(2a-x)轴对称中心对称性a第10页，共50页，2023年，2月20日，星期三练习:(1)若y=f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),则函数图像关于

对称(2)若y=f(x)满足f(3-x)=f(4+x)(4)若y=f(x)满足f(3-x)=-f(4+x)(3)若y=f(x)满足f(-2-x)=-f(-2+x),(5)若y=f(x)满足f(3-x)=3-f(4+x)第11页，共50页，2023年，2月20日，星期三函数图象的变换及应用函数图象是研究函数的重要工具,它能为所研究函数的数量关系及其图象特征提供一种”形”的直观体现,是利用”数形结合”解题的重要基础.第12页，共50页，2023年，2月20日，星期三描绘函数图象的两种基本方法:①描点法;(通过列表﹑描点﹑连线三个步骤完成)②图象变换;(即一个图象经过变换得到另一个与之相关的函数图象的方法)函数图象的三大变换平移对称伸缩第13页，共50页，2023年，2月20日，星期三问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函数的图象？（1）f(x-1)=(x-1)2（2）f(x+1)=(x+1)2（3）f(x)+1=x2+1（4）f(x)-1=x2-1Oyxy=f(x-1)y=f(x+1)y=f(x)-1y=f(x)+1函数图象的平移变换：左右平移y=f(x)y=f(x+a)a>0,向左平移a个单位a<0,向右平移|a|个单位上下平移y=f(x)y=f(x)+kk<0,向下平移|k|个单位k>0,向上平移k个单位11-1-1第14页，共50页，2023年，2月20日，星期三同步练习:①若函数f(x)恒过定点(1,1),则函数f(x-4)-2恒过定点.②若函数f(x)关于直线x=1对称,则函数f(x-4)-2关于直线对称.(5,-1)x=5第15页，共50页，2023年，2月20日，星期三问题2.设f(x)=(x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。xxyo1y=f(x)xxyo1y=f(x)xxyo1y=f(x)y=-f(x)y=f(-x)y=-f(-x)对称变换（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于

对称；

（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于

对称；

（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于

对称；

x轴y轴原点

第16页，共50页，2023年，2月20日，星期三练习：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图.(1)y=2-x(2)y=-2x(3)y=-2-xOyOyOy11-11-1xxx第17页，共50页，2023年，2月20日，星期三1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线

对称函数图象对称变换的规律:思考:“函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称”与“函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x),则函数y=f(x)关于直线x=a对称”两者间有何区别?对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.x=a第18页，共50页，2023年，2月20日，星期三问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系？（1）y=2x与y=2|x|Oxy由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：y=2x保留y=f(x)中y轴右侧部分，再加上y轴右侧部分关于y轴对称的图形.1y=2|x|第19页，共50页，2023年，2月20日，星期三Oyx-414-1由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：

保留y

=f(x)在x轴上方部分，再加上x轴下方部分关于x轴对称到上方的图形第20页，共50页，2023年，2月20日，星期三函数图象的对称变换规律：（1）y=f(x)y=f(x+a)a>0,向左平移a个单位a<0,向右平移|a|个单位上下平移（2）y=f(x)y=f(x)+kk>0,向上平移k个单位k<0,向下平移|k|个单位（1）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于

对称；

（2）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于

对称；（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于

对称；函数图象的平移变换规律：(4)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中

部分，再加上这部分关于

对称的图形.(6)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：保留y=f(x)中

部分，再加上x轴下方部分关于

对称的图形.x轴y轴原点y轴右侧y轴x轴上方x轴左右平移第21页，共50页，2023年，2月20日，星期三练习：已知函数y=f(x)的图象如图所，分别画出下列函数的图象：yox1-1-212-0.5(1)y=f(-x);(2)y=-f(x).yox1-1-212-0.5

y=f(-x)yox-1-1-2120.5

y=-f(x)(3)y=f(|x|);(4)y=|f(x)|.第22页，共50页，2023年，2月20日，星期三练习：已知函数y=f(x)的图象如图所，分别画出下列函数的图象：yox1-1-212-0.5(1)y=f(-x);(2)y=-f(x).(3)y=f(|x|);(4)y=|f(x)|.yox1-1-212-0.5yox1-1-212-0.5y=f(|x|)y=|f(x)|第23页，共50页，2023年，2月20日，星期三例1.将函数y=2-2x的图象向左平移1个单位，再作关于原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式.y=2-2xy=2-2(x+1)-y=2-2(-x+1)y=-22x-2向左平移1个单位关于原点对称x换成-xy换成-yx换成x+1第24页，共50页，2023年，2月20日，星期三例2.已知函数y=|2x-2|

（1）作出函数的图象；（2）指出函数的单调区间；（3）指出x取何值时，函数有最值。Oxy3211-1y=2x

y=2x-2

y=|2x-2|

y=|2x-2|第25页，共50页，2023年，2月20日，星期三例2.已知函数y=|2x-2|

（1）作出函数的图象；（2）指出函数的单调区间；（3）指出x取何值时，函数有最值。Oxy3211-1y=|2x-2|第26页，共50页，2023年，2月20日，星期三第27页，共50页，2023年，2月20日，星期三1．函数f(x)＝ln|x－1|的图像大致是()解析：函数f(x)＝ln|x－1|的图像是由函数g(x)＝ln|x|向右平移1个单位得到的，故选B.答案：B第28页，共50页，2023年，2月20日，星期三第29页，共50页，2023年，2月20日，星期三答案：C第30页，共50页，2023年，2月20日，星期三4．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是()A．(－1,0) B．[－1,0)C．(－2,0) D．[－2,0)解析：作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像知满足条件的x∈(－1,0)．答案：A第31页，共50页，2023年，2月20日，星期三第32页，共50页，2023年，2月20日，星期三第33页，共50页，2023年，2月20日，星期三易错点一对“平移”概念理解不深导致失误【自我诊断①】把函数y＝log2(－2x＋3)的图像向左平移1个单位长度得到函数__________的图像．解析：由题意，得所求函数解析式为y＝log2[－2(x＋1)＋3]＝log2(－2x＋1)．答案：y＝log2(－2x＋1)第34页，共50页，2023年，2月20日，星期三易错点二判断图像的对称性失误【自我诊断②】设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于()A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称第35页，共50页，2023年，2月20日，星期三解析：方法一：设(x1，y1)是y＝f(x－1)图像上任意一点，则y1＝f(x1－1)，而f(x1－1)＝f[1－(2－x1)]，说明点(2－x1，y1)－定是函数y＝f(1－x)上的一点，而点(x1，y1)与点(2－x1，y1)关于直线x＝1对称，所以y＝f(x－1)的图像与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，所以选D.方法二：函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称，y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]．把y＝f(x)与y＝f(－x)的图像同时都向右平移1个单位长度，就得到y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像，对称轴y轴向右平移1个单位长度得直线x＝1，故选D.第36页，共50页，2023年，2月20日，星期三方法三：(特殊值法)设f(x)＝x2，则f(x－1)＝(x－1)2，f(1－x)＝(x－1)2，由图可知(两图像重合)，函数f(x－1)和f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，只有D正确．答案：D第37页，共50页，2023年，2月20日，星期三题型二函数图像的识别【例2】函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像分别如图①、②所示．则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是()第38页，共50页，2023年，2月20日，星期三解析：从f(x)、g(x)图像可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B.由g(x)图像不过(0,0)得f(x)·g(x)图像也不过(0,0)，排除C、D.答案：A规律方法：注意从f(x)，g(x)的奇偶性、单调性等方面寻找f(x)·g(x)的图像特征．第39页，共50页，2023年，2月20日，星期三【预测2】(1)已知函数y＝f(x)的图像如图①所示，y＝g(x)的图像如图②所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是下图中的()第40页，共50页，2023年，2月20日，星期三(2)将f(x)改为奇函数，g(x)也是奇函数，例如，f(x)、g(x)图像分别如图③、④所示，则f(x)·g(x)的图像为()第41页，共50页，2023年，2月20日，星期三解析：(1)f(x)，g(x)均为偶函数，则f(x)·g(x)为偶函数，可排除A、D.注意x＜0时图像变化趋势是“负—正—负”，故只能选C.(2)f(x)·g(x)为偶函数，可排除A、C、D，选B.答案：(1)C(2)B第42页，共50页，2023年，2月20日，星期三第43页，共50页，2023年，2月20日，星期三(2)由题意，有C：y＝lg(x＋1)－2.因为C1与C关于原点对称，所以C1：y＝－lg(－x＋1)＋2.因为C2与C1关于直线y＝x对称(即两函数互为反函数)，故C2：y＝1－102－x(x