2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：3.1.2　复数的几何意义 Word版含解析

3.1.2复数的几何意义

1.了解复数的几何意义.2.理解复数的模的概念,会求复数的模.

1.复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义(1)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即这是复数的一种几何意义.因此,复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实这是复数的另一种几何意义.

【做一做1-1】

复数z=4-7i在复平面内对应的点在

(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:复数z=4-7i在复平面内对应点的坐标是(4,-7),在第四象限.答案:DA.等于2 B.等于-2iC.在实轴上 D.在虚轴上答案:C3.复数的模

【做一做2】

(1)复数z=5-i的模等于

;

(2)若复数z=x+2i的模等于4,则实数x=

.

1.如何理解复数与点、向量间的对应关系?剖析每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定.当把实部和虚部作为一个有序数对时,就和点的坐标一样,从而可以用点表示复数.复平面内的每一个点都可以与从原点出发的一个向量一一对应,从而复数也可以与复平面内的向量一一对应.这种对应关系架起了联系复数与几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.另外,还应注意以下几点:(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).(2)当a=0时,对任何b≠0,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数.(4)复数z=a+bi(a,b∈R)中的z,书写时应小写,复平面内的点Z(a,b)中的Z,书写时应大写.2.如何理解复数的模?剖析从数的角度理解,可类比绝对值,即复数的模是表示这个复数的点到原点的距离.从形的角度理解,复数的模是该复数对应向量的模,也是向量起点与终点间的距离.事实上,在实数集中,实数a的绝对值,即|a|表示实数a的点与原点O的距离.那么在复数集中,类似地,有|z|是表示复数z的点Z到坐标原另外注意:(1)复数的模是一个非负实数;(2)尽管复数一般不能比较大小,但模可以比较大小.题型一题型二题型三复数的几何意义【例1】

在复平面内,O是原点,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C,求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.分析:方法一:复数→点的坐标→中点坐标公式→点D的坐标→点D对应的复数题型一题型二题型三解:方法一:由已知,得点A,B,C的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,2),故顶点D对应的复数为3+3i.

题型一题型二题型三故顶点D对应的复数为3+3i.反思复数的几何意义包含两种情况:(1)复数与复平面内点的对应:复数的实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.(2)复数与复平面内向量的对应:复数的实部、虚部是对应向量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.题型一题型二题型三【变式训练1】

当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点:(1)位于第四象限内;(2)位于x轴负半轴上;(3)在上半平面(含实轴)?解得m=4.(3)要使点位于上半平面(含实轴),需m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.题型一题型二题型三复数的模的求法

分析:根据复数为实数的条件以及模的计算公式求解.解析:因为z为实数,所以a2-a-6=0,解得a=-2或a=3.又因为当a=-2时,a+2=0,反思1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算.2.若两个复数相等,则其模必相等.反之,若两个复数的模相等,则这两个复数不一定相等.3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.题型一题型二题型三答案:1+2i或-1-2i题型一题型二题型三复数的模的应用【例3】

已知复数z=3+ai(a∈R),且|z|<4,求实数a的取值范围.分析:利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解.题型一题型二题型三方法二:利用复数的几何意义.如图,由|z|<4,知z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界).题型一题型二题型三反思1.利用模的定义,得到关于a的不等式,与利用复数相等的充要条件一样,都贯彻了复数问题实数化的思想,这是本章的一种重要思想方法.2.从几何意义上理解,复数的模表示复数对应的点到原点的距离,所以|z|=r表示以原点为圆心,r为半径的圆.题型一题型二题型三【变式训练3】

设z=a+bi(a,b∈R),求在复平面内满足下列条件的点所组成的图形.(1)|a|<2,且|b|<2;(2)|z|≤2,且|b|>1;(3)|z|=2,且a>b;(4)1≤|z|≤2.解:(1)在复平面内,满足不等式|a|<2的点组成的图形是位于两条平行直线x=±2之间的长条带状(不包括两条平行直线).满足不等式|b|<2的点组成的图形是位于两条平行直线y=±2之间的长条带状(不包括两条平行直线),两者的公共部分即为所求.故满足条件的点所组成的图形是以原点为中心,边长等于4,各边分别平行于坐标轴的正方形内部的点,但不包括边界,如图①所示.题型一题型二题型三(2)不等式|z|≤2的解集对应的点是以原点为圆心,以2为半径的圆的内部及其边界上的点组成的图形.满足条件|b|>1的点是直线y=1以上及直线y=-1以下的点,两者的公共部分即为所求.故满足条件的点所组成的图形是以原点为圆心、以2为半径的圆被直线y=±1所截得的两个弓形,但不包括弦上的点,如图②所示.(3)方程|z|=2对应点的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆周.满足条件a>b的点组成的图形是位于直线y=x下方的半平面,其中不包括直线y=x上的点.两者的公共部分即为所求,如图③所示.题型一题型二题型三不等式|z|≤2的