专题2.7多项式(知识讲解)

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“专题2.7多项式(知识讲解)

【学习目标】

1.认识整式的意义及表示方法；

2.理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；

3.掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；

4.能准确而熟练地列式子表示一些数量关系.

【要点梳理】

要点一、多项式

1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.

特别说明：“几个”是指两个或两个以上.

2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.

特别说明：(1)多项式的每一项包括它前面的符号.

(2)一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6/-2》-7是一个三项式.

3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这

式的次数.

特别说明：(1)多项式的次数不是所有项的次数之

是多项式中次数最高的单项式的次数.

(2)一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定

项时，都应写出.

要点二、整式

单项式与多项式统称为整式.

特别说明：

(1)单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示.即单项式、多项式必是整式,

但反过来就不一定成立.

(2)分母中含有字母的式子一定不是整式.

【典型例题】

类型一、多项式的判断

1.定义：f(a,b)是关于a,人的多项式，如果/(a,b)—f(b,a),那么/(a,

b)叫做“对称多项式”.例如，如果/(a,b)=a2+a+b+b2,则/(6,a)=b2+b+a+a2,显

然，所以/(a,b)=f(b,a)是“对称多项式”.

(iy(a,b)=。2口2帅+〃是“对称多项式”，试说明理由;

(2)请写一个“对称多项式“，f(a,b)=(不多于四项);

【答案】(1)见分析(2)a+6,答案不唯一

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【分析】

(1)根据对称多项式的定义，把多项式中的a,6互换，多项式不变就是，据此即可判

断；

(2)根据定义即可写出，答案不唯一.

⑴解：•.：/'(b,a)=a2L2ab+b2,

：.f(.a,b)=/(a,b),

：.f(a,b)=a2是"对称多项式”.

(2)"/"(a,b)=a+b,f(b,a)=b+a,

••/(a,b)=fkb,a),

••/(a,b)=a+6是”对称多项式

故答案为：a+b.(答案不唯一)

【点拨】本题主要考查了整式的运算，理解“对称多项式”的定义，是解题的关键.

举一反三：

【变式1】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中.

指出其中各单项式的系数；多项式中哪个次数最高？次数是多少？

-15a2b,^—,2x-3y,4a1b2-4ab+b2,-a,x3+2y-x

]52bi人

【答案】单项式：-“'二「一";多项式：^-3y,4a2b2-4ab+b2,x3+2y-x,单项式的

-15--1

系数分别为：‘万’；多项式4。2〃-4必+〃的次数最高，4次.

【分析】根据单项式定义，多项式的定义，单项式系数，单项式的次数等进行解答即可.

-15a%,二一,一a

解：单项式：1;

多项式：2x-3y,4a%2-4"b+〃,x3+2y-x；

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3x2

单项式T5/6的系数是：-15.单项式工■的系数是：万；单项式y的系数是：-1

多项式4/〃-4必+/的次数最高，4次.

【点拨】本题考查了多项式、单项式有关内容，熟知相关概念是解本题的关键.

【变式2】将下列代数式按尽可能多的方法分类(至少写三种)：

2,y,—ci^b,2.x+1,—,—xy^+2x"—3x+5,.厂，一.

a43a

【分析】根据整式和分式分类，单项式，多项式，分式分类，单项式二项式，四项式，分

式分类，即可.

2?23

c2,-,—xyi,x3+2x'—3x+5,7rr~,一,—:—

解：①整式：2y,-a“2x+l,4'分式：a3a.

_33,2

②单项式：2y,-a%,V多项式：2x+l,Y+2x2-3x+5,分式：〃’3a；

③单项式：2y「a’b,W个，4°,二项式：2x+l,四项式：x3+2/_3x+5,分式：£

~3a~,

【点拨】本题主要考查整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式、多项式的

定义是解题的关键.

类型二、多项式的项、项的系数、次数

2.已知单项式3x夕”的次数为5,多项式6+工少口2》2口6%夕加+3的次数为6,求单项

式(w+w)xtnyn的次数与系数的和.

【答案】8

【分析】根据已知求出〃?、〃的值，把加、〃的值代入单项式，求出单项式的系数和次

数，即可得出答案.

1

解：•・•单项式,3//的次数为5,多项式6+x2y-2x2-^x2ym+3的次数为6,

32+〃=5,2+m+3=6,

解得：洲=L〃=3,

・•・（加+〃）xfnyn=4xy3,

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系数是4,次数是1+3=4,

4+4=8,

即单项式(，〃+〃)X"沙〃的次数与系数的和是8.

【点拨】本题考查了多项式和单项式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力.

举一反三：

【变式1】已知多项式/，'""+x/-3d-6是六次四项式，单项式6/3一”的次数与这个

多项式的次数相同，求加+〃的值.

【答案】掰+“=5.

【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得见〃的值，进而求得

用+〃的值.

解：因为多项式+》/_3--6是六次四项式，

所以2+机+1=6,解得机=3.

因为单项式6x2V5「“'的次数与这个多项式的次数相同，

所以2〃+5-机=6,

所以2”=1+3=4,解得〃=2.

故加+〃=3+2=5

【点拨】本题考查了多项式的次数和项数，掌握多项式的次数和项数是解题的关键.

【变式2】已知(朗一1)/-5+2).+(2m-5n)x-6是关于x的多项式.

(1)当阳、〃满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？

(2)当阳，N满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？

【答案】(1)用=1,存-2时，该多项式是关于x的二次多项式：(2)加=-5,〃=-2时该

多项式是关于x的三次二项式.

【分析】

(1)根据多项式为：次多项式即可列出关于“7,〃的式子进行求解；

(2)根据多项式为三次二项式即可列出关于〃:，〃的式子进行求解.

解：(1)由题意得：团・1=0,且〃+2邦，

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解得：m—l,n+-2,

则，”=1,〃齐2时、该多项式是关于x的二次多项式；

(2)由题意得:怯1和,”+2=0,且2"?-5〃=0,

解得：m+\,n=-2,

把〃=-2代入2m-5"=0得；m=-5,

则m=-5,n=-2时该多项式是关于x的三次二项式.

【点拨】此题主要考查多项式的性质，解题的关键是根据多项式的特点列式求解.

类型三、由多项式的系数、指数求值

C^3、己知多项式一3//'*'+/>-3/-1是五次四项式，单项式3x3"K-”，z与该多项式的

次数相同.

(1)求加、n的值.

(2)若|x-l|+3-2)2=°,求这个多项式的值.

【答案】(1)机=2,«=1；(2)-26

【分析】

(1)根据多项式-3/广'+/尸3/-1是五次四项式，可得帆+1=3,根据单项式

3/"/一女与该多项式的次数相同可得3”+3-m+l=5,求解即可；

(2)根据|xT1+3-2)2=()得出的值，然后代入多项式中求解即可.

解：(1)••,多项式-3x2y'”“+x3y-3x4-l是五次四项式，

...加+1=3,解得加=2,

•.•单项式z与该多项式的次数相同，

3w+3-/M4-1=5,

即3"+3-2+1=5,解得〃=1,

...m=2,n=\.

(2)."T|+(y-2)2=0,

...x-i=o,y-2=o

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；.x=l,>=2,

由（1）得这个多项式为：+X>-3X4-1

.-3x2y3+Xsy-3x4-1

=-3xl2x23+l3x2-3xl4-l

=-24+2-3-1

=-26,

所以这个多项式的值为-26.

【点拨】本题考查了多项式的项和次数，单项式的次数，绝对值以及偶次方的非负性，有

理数的混合运算，根据题意求出题目中未知数的值是解本题的关键.

举一反三：

【变式1J已知关于x,y的多项式-2工3一5是六次四项式，单项式3x\产加的次

数与这个多项式的次数相同，求阳-〃的值.

【答案】1

【分析】根据多项式丹阳~+初2_2Y3_5是六次四项式知2+m+1=6,求得〃？的值，根据单项

式的次数与这个多项式的次数相同知2〃+5-〃?=6,求得n的值，再代入计算可得.

解：因为多项式x2ym+/+xja2W-5是六次四项式，

所以2+m+l=6,

所以掰=3,

因为单项式6/町无用的次数也是六次，

所以2〃+5-刑=6,

所以n=2,

所以机切=3-2=1.

【点拨】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数的判

断，得出加、〃的值，难度一般.

-5x2yn,+l+—xy2——x3+6

【变式2】已知〃、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式34是六

—■x2ny5m7,

次四项式，单项式了’的次数与这个多项式的次数相同，求（。+力机+川-（加-〃）2闫的

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值.

【答案】10

【分析】直接利用相反数以及倒数的定义得出a+b=0,cd=l,结合多项式次数确定方

法得出m的值，再利用单项式次数确定方法得出”的值，进而得出答案.

-5x2ym+'+-xy2-—x3+6

解：•••多项式3•4是六次四项式，

■-2+m+]—6,解得：m=3,

-x2"ys-m

•.•单项式2'的次数与这个多项式的次数相同，

■■2n+5-m=6,

则2”+5-3=6,

解得：〃=2,

•:a、6互为相反数，以4互为倒数，

■-a+b=0,cd=\,

:.(a+b)m+mn一(cd-n)2021

=0+9-(1-2)2021

=9-(-1)

=1().

【点拨】此题主要考查了单项式和多项式次数确定方法，正确得出加，〃的值是解题关

键.

类型四、按某个字母升幕(降塞)排列

4、把多项式3x5y3~-5x3y2—2x4y—3xy5+x2y*—l按下列要求排列：

(1)按x的升基排列；(2)按y的降幕排列.

【答案](1)-1-3xy5+x2-y4-5xyy2-2x4y+3x5-y3.

(2)-3xy5+x2y4+3x5/-5x3/-2x4y-1

【分析】

(1)根据升基排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来

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即可.

（2）根据降弃排列的定义，我们把多项式的各项按照y的指数从大到小的顺序排列起来

即可.

解：（1）按x的升球排列：一片去廿~</5//2丫与+3/y，

（2）按y的升舞排列：-3b^^y+3x5/5x3y22x"y1.

【点拨】此题考查了多项式的降塞排列的定义.苜先要理解降幕排列的定义，然后要确定

是哪个字母的降募排列，这样才能比较准确解决问题.

举一反三：

【变式1】请把多项式/-»4+3》》-2砂2-5苫2_/重新排列.

（1）按x降累排列：（2）按y降幕排列.

［答案］（1）3/y+x"_5厂,5—2勺2_y4.（？）-5x2y5—yA—2xy2+3x5y+x4

【分析】

（1）观察X的指数，按X的指数从大到小排列，即可；

（2）观察y的指数，按y的指数从大到小排列，即可.

54

解：（1）丫4一/'+3/了_2苫/_5/3/按*降累排歹|卜3xj；+x-5xy-2x/-/.

（2）》4一^+3/»-2*/_5//按,降幕排列：-5xy-/-2x/+3x5^+x\

【点拨】本题主要考查多项式的相关概念，掌握多项式的升基或降得排列的意义，是解题

的关键.

【变式2】已知多项式i+x）-3x4-l是五次四项式，且单项式2/，的次数与该

多项式的次数相同.

（1）求m、n的值；

（2）把这个多项式按x的降第排列.

［答案］（1）m=4，«=2.（2）-3x4+x3y-3x2y）-1

【分析】

（1）利用多项式的有关定义得到2+时1=5,2〃+1=5,然后分别求出加、”；

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（2）根据降幕排列的定义求解.

解：（1）•••多项式-3/歹“'+》徐-3--1是五次四项式,

...2+机-1=5,

解得机=4.

•••单项式2》2，的次数与该多项式的次数相同，

...2„+1=5,

解得”=2；

（2）V/77=4,

.•.多项式为~^x2y3+x3y-3x4-l,

・•.按x的降哥排列为-3/+x}y-3x2y3-\

【点拨】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项,

其中不含字母的项叫做常数项.多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.

类型五、据要求写出多项式

a+211/31+15

电“5、已知代数式：①-3,②-5ab,③2,④X,⑤5',⑥'

12R

rr—3abH---

，⑦力X,⑥a,⑨兀.

其中属于单项式的有;（填序号）

属于多项式的有;（填序号）

属于整式的有.（填序号）

【答案】①②⑥⑨，③⑤，①②③⑤⑥⑨

【分析】根据单项式，多项式和整式的定义将所给的代数式分类.

_52R

单项式有：-3,-5ab,7'v,7t.

解:

4+2

—x2-3x4-1

多项式有：22

_52Ra+2

2

整式有：-3,-5ab,7xy-X-3X+1

万，22

故答案是：①②⑥⑨，③⑤,①②③⑤⑥⑨.

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【点拨】本题考查单项式，多项式和整式的定义，解题的关键是掌握单项式，多项式和整

式的分类.

举一反三：

【变式1】指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横

a+h

线上：①"+〃-；②-x；③3.④10；⑤6xy+l；⑥x；⑦7m2n；⑧2x?-x-5；⑨a’；

2

⑩x+V

单项式：;

多项式：;

整式：:

【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨.

_2_

【分析】1，x+V的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据

单项式、多项式和整式的概念来分类.

解：单项式有：-x,10,7m2n,a7；

a+b

多项式有：m+n'>3,6xy+l,2x2-x-5；

a+b

整式有:-x,3,io,6xy+l,7m2n,2x2-x-5,a7.

【点拨】本题主要考查了整式的定义，掌握单项式、多项式和整式的概念和关系是解答此

题的关键，注意分式与整式的区别在于分母中是否含有字母.

【变式2】若将边长为a、b的正方形ABCD按中的比例进行分割，可以拼成

一个长方形AIBCQI不重叠、无缝隙)，如图②所示.

图③

(1)根据图①可以拼成图②的面积关系，请写出b之间存在的关系式;

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(2)已知图③中，四边形QMNG与四边形EFGH分别是以a、b长为边的正方形与

图①中的a、b相同)，在图3己有的四边形中，面积相等的四边形有几组？请分别写

出.

2

【答案】⑴S+6)=6伍+26)(2)2组，矩形PFNM的面积=正方形的面积和矩形

EPQH的面积=正方形。GNM的面积

【分析】

(I)根据正方形、矩形的面积公式计算；

(2)根据⑴的结论得到/+/=〃，结合图形计算，得到答案.

解：(1)由题意可得：

(〃+bY=b(a+2b).

(2)由⑴可知,/+2岫+/=儿+2%

22

a+ab=hf

矩形PFNM的面积=a(a+b)=/+/,

正方形EFGH的面积=从，

，矩形尸FNM的面枳=正方形E户6"的面积=〃，

则矩形的面积=正方形QGNW的面积。

【点拨】本题考查整式的混合运算，解题关键在于对于图形面积的结合，利用面积相等去

写出等式即可.

类型六、整式的判断

^^6、阅读下文,寻找规律：

已知：XH1,观察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-1

♦

(x-l)(x2+X+1)=x3-1

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(x-l)(x3+x2+x+l)=x4-1

(x-l)(x4+x3+x2+x+lj=x5-1

(1)填空：

(X―1)(X。+/H--1-X~+X4-1j=；

(1-X)(l+X+/d--Fx“l+X")=

(2)根据你的猜想，计算：

①22020+22019+2如8+…+2+]=.

②那么22020+22019+220'8+-+2+1的末尾数字为.

a+1202,

【答案】⑴x'°T,x-l(2)2-l,1

【分析】

(1)由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的

指数大1,减数都为1,根据这个规律即可直接写出答案；

(2)①把-2,〃=2020代入所得的规律中即可得到答案；②先探究2"的末尾数字的规

律，然后根据规律求解.

⑴解：①根据规律可得：

②原式=-(x-D(x'+x'i+…+X+1)

=-"1)

(2阐①...(n+尸+...+x+l)5气

把x=2,n=2020代入，

201920,8202020,8202,

得.22。2。+2+2+---+2+1=(2-1)(2+22019+2+...+2+1)=2-1

②•••2’的末尾数字是2,2?的末尾数字是%2、的末尾数字是8,2"的末尾数字是6,

展的末尾数字是2，…,

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...20214-4=505……1,

.・a?⑼的末尾数字是2,

.•.2皿'-1的末尾数字是1.

【点拨】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规

律，根据规律答题.

举一反三：

【变式1】阅读下列材料，完成相应的任务：

三角形数

古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，一.，这样的数称为“三角形数”，第

1+2+3+…+”=迎里2

n个“三角形数”可表示为：2.

发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律.如：1+3=4；3+6=9；6+10=16

(1)第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为；

⑵第〃个，三角形数"与第(”+D个"三角形数”的和的规律可用下面等式表示：

+,请补全等式并说明它的正确性.

+(〃+1)(〃+2)

【答案】⑴36(2)2,2,("+1)2

【分析】

A.n(n+1)

1T+2+3+・・・+〃=--------

(1)根据第〃个“三角形数”可表示为：2进行求解即可；

(2)根据规律得到等式并化筒即可证明.

5x(5+1)

—13

(1)解：第5个“三角形数”为：2；

6X(6+1)=21

第6个“三角形数”为：2一；

第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为：15+21=36,

故答案是：36；

〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

(2)-2-+2=5+1)2

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理由:

n2+wn2+3n+22n2+4n+2

-------+--------------=----------------=〃2+2〃+1=(“+1)2=

•・,左边右边

，原等式成立.

故答案是：2,2,("+1)1

【点拨】本题主要考查整式的混合运算的应用，正确理解"三角形数''的概念是解题的关

键.

【变式2】下面各行中的数都是正整数，观察规律并解答下列问题：

第一行1

第二行432

第三行56789

第西亍16151312141110

(1)数字12的位置在第4行，从左往右数第5个数，可以表示成(4,5),那么(5,6)表示的

数是_________

(2)第〃行有个数(用含n的代数式表示)

(3)数字2022排在第几行？从左往右数第几个数？请简要说明理由.

【答案】⑴22(2)(2"T)(3)45行;86个;理由见分析

【分析】

(1)根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而写出(5,6)表示的数；

(2)根据图中的数据，可以写出笫“行的数字个数；

(3)根据前面发现的数字的变化特点，可以写出数字2022排在第几行，从左往右数第儿

个，并说出理由.

(1)解：由图中的数据可知，第〃行的最大的一个数据是"，奇数行的数据从左到右依次

增大，偶数行的数据从左到右依次减小，第〃行有(2»-1)个数，

•••(5,6)表示数字的位置在第5行，从左往右数第6个数，

••・第4行最大的一个数是4?=16,

二笫5行的数据从左往右依次为17,18,19,20,21,22,23,24,25,

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•••第5行，从左往右数第6个数是22,即（5,6）表示的数是22,

故答案为：22：

⑵解：•••第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数,

•••第”行有（2/1-1）个数,

故答案为：

（3）解：数字2022排在第45行，从左往右数第86个数.

理由如下：当〃为偶数时，该行第一个数为自左向右减小；当"为奇数时，该

行最后一个数为〃1自左向右增大.

•••452=2025,所以第45行最后一个数（第89个）为2025,

二数字2022排在第45行，从左往右数第86个数.

【点拨】本题考查数字的变化规律，解答本题的关健是明确题意，发现数字的变化特点,

写出相应的数字.

类型七、数字类规律探索

7、（1）观察下八面的。点。阵图与等式的关系，并填空:

第1个点阵0O

1+3+1=/+2?

1+3+5+3+1=+

o。

OOO。

O。+0。

OOOO

第3个点阵

1+3+5+7+5+3+1=+

(2)通过猜想，写出第〃个点阵相对应的等式：.

【答案】(1)22,32,32,42：(2)1+3+5+...+(2«1)+(2〃+1)+(2n1)+...+5+3+1

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=n-+（w+1）2.

【分析】

（1）根据点阵图即可求解；

（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第”个点阵相对应的等式.

<3^90.。O

解：（1）第1个点阵宓「，。。1+3+1=12+22,

o

o

Q

1+3+5+3+1=22+32,

第3个点阵1+3+5+7+5+3+1=32+42.

故答案为22,32,32,42；

（2）第〃个点阵相对应的等式为:

1+3+5+...+(2n□1)+(2M+1)+(2w1)+…+5+3+1=”?+(〃+1)2.

故答案为：1+3+5+...+（2〃[1）+（2n+1）+（2«D1）+…+5+3+1="2+（n+1）

【点拨】本题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的

规律.

举一反三：

【变式1】问题提出：

将一根长度是/cm的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折〃次（〃21）,然后从

重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪小刀（

机±1的整数），最后得到一些长1cm和长2cm的细绳.如果长1cm的细绳有222根，那么原来

的细绳的长度/是多少cm?

问题探究：

为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方

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法.

探究一：

对折1次，可以看成有2,根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长

1cm的细绳，右端出现了211=1根长2cm的细绳，所以原绳长为2x1+1x2=4cm；如果剪2

刀（如图②），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有1x21=2根长1cm的细绳，右端仍有

2'-1=1根长2cm的细绳，所以原绳长为（2+2）xl+lx2=6cm；如果剪3刀（如图③），左

端仍有2根长1cm的细绳，中间有2x2i=4根长1cm的细绳，右端仍有T-1=1根长2cm的细

绳，所以原绳长为（2+4）xl+lx2=8cm；以此类推，如果剪加刀，左端仍有2根长1cm的细

绳，中间有（加-1»2'=2（机-1）根长"m细绳，右端仍有271=1根长2cm的细绳,所以,原

IaI

(•(•t(

i)

j>14---1—:----/

（图①）（图②）(图③)

探究二：

对折2次，可以看成有个根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长

1cm的细绳，两端共出现了22-1=3根长2cm的细绳，所以原绳长为2x1+3x2=8cm：如果剪

2刀（如图⑤），左端仍有2根长1cm的细绳，中间有1x22=4根长1cm的细绳，两端仍有

22T=3根长2cm的细绳，所以原绳长为（2+4）xl+3x2=12ctn；如果剪3刀（如图⑥），左

端仍有2根长1cm的细绳，中间有2x2?=8根长1cm的细绳，两端共有2?-1=3根长2cm的细

绳，所以原绳长为（2+8）xl+3x2=16cm；以此类推，如果剪机刀，左端仍有2根长1cm的细

绳,中间有（加T）x2?=（4〃?-4）=4（m-1）根长km的细绳，两端仍有2?-1=3根长2cm的细

绳，所以原绳长为[2+（"?T）x22]xl+3x2=（4/M+4）=4（m+l）cm.

（图④）（图⑤）（图⑥）

探究三:

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对折3次（如图⑦），可以看成有2、根绳子重叠在一起，如果剪机刀，左端有2根长1cm

的细绳,中间有（机T）*2'=（8"?-8）=8（机-1）根长1cm的细绳,两端有23-1=7根长2cm的细

绳，所以原绳长为[2+("Ll)x2,]><l+7x2=(8m+8)=8(m+l)cm

（图⑦）

（1）总结规律：

对折”次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪加刀，左端有根长

1cm的细绳，中间会有根长1cm的细绳，两端会有根长2cm的细绳，所以原

绳长为cm.

（2）问题解决：

如果长1cm的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了

次，被剪了刀，原来的细绳的长度/是cm.

（3）拓展应用：

如果长1cm的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度/是cm.

【答案】（1）2」,2,2”（加-1）,（2"-1）,2"（附+1）（2）］或2,111或56,224或228

（3）2026

【分析】

（1）根据题意对折1次，2次，3次的规律，进行推导对折〃次的结果；

（2）由题意,得2+2"5-1）=222,进而讨论解得情况求m,"即可;

（3）方法同（2）进行计算即可.

（1）解：对折1次，有2,根绳子重叠在一起，剪机刀，左端仍有2根长1cm的细绳，中间有

2（机-1）根长icm细绳，右端有T-1根长2cm的细绳,原绳长为2（机+D,

对折2次，有22