因式分解法解一元二次方程-讲义（解析版）

专题6因式分解法解一元二次方程

【知识点1因式分解法概念】

当一个一元二次方程的一边是o,另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程

转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

【题型1因式分解法概念的应用】

【例1】(2020秋•福州期中)如果二次三项式W+px+q能分解成(x+3)(x-1)的形式，则方程X^+px+q

=0的两个根为()

A.xi=-3,无2=1B.xi=-3；X2=-1

C.x\=3；X2=-1D.尤i=3；X2=l

【分析】根据已知分解因式和方程得出x+3=0,x-1=0,求出方程的解即可.

【解答】解：•.•二次三项式f+px+g能分解成(x+3)(x-1)的形式，

.,.x+3=0,x-1=0,

解得：%1=-3,X2=l,

即方程x1+px+q=0的两个根为xi=-3,X2=1，

故选：A.

【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，能根据题意得出x+3=0和x-1=0是解此题的关键.

2

【变式1-1](2020•晋江市一模)若x-2px+3q=0的两根分别是-3与5,则多项式2?-4px+6q可以分

解为()

A.(x+3)(x-5)B.(x-3)(x+5)

C.2(x+3)(x-5)D.2(x-3)(x+5)

【分析】先提取公因式2,再根据已知分解即可.

【解答】解：-2px+3q=0的两根分别是-3与5,

Zr2-4Px+6q=2(x2-2px+3p)

=2(x+3)(x-5),

故选：C.

【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：能够根据方程的解分解因式是解此题的关键.

【变式1-2](2020秋•晋江市期中)若方程7-(m+n)x+mn=0(/n^O)的根是xi=X2=〃z,则下列结论

正确的是()

A.”=0且〃是该方程的根B.〃=机且〃是该方程的根

C.〃=相但〃不是该方程的根D."=0但"不是该方程的根

【分析】解方程得到方程的根，然后根据方程有两个相等的实数根，于是得到结论.

【解答】解：-(m+n)x+mn=Q,

(x-tn}(JC-«)=0.

•»x~/w=0»x~n=0i

.\xi=/n,X2=n,

工方程x2-(m+〃)x+mn=0(〃?W0)的根是jq=/n,%2=〃，

•X]=12=〃?，

••.〃=，〃且“是该方程的根，

故选：B.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

【变式1-3](2020秋•沸河区校级月考)我们知道可以用公式/+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)来分解因

式解一元二次方程.

如：/+6x+8=0,方程分解为：=0,

x2-7x-30=0,方程分解为：=0

爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程.如：3f-7x+2=0

解：方程分解为：(x-2)(3^-1)=0从而可以快速求出方程的解.你利用此方法尝试解下列方程

47-8x-5=0

【分析】借助与题目中所给的方法可进行因式分解可求得两个填空的答案，同样的方法可对4?-8A--5

=0进行因式分解，可求得答案.此套资料来源于微信公众号：数学第六感

【解答】解：

：/+6x+8=(x+2)(x+4).x2-7x-30=(x-10)(x+3),

...W+6x+8=0可分解为(x+2)(x+4)=0,7-7x-30=0可分解为(x-10)(x+3)=0,

故答案为：(x+2)(x+4):(x-10)(x+3)；

V4?-8x-5=(2x-5)(2JC+1),

...47-8x-5=0可分解为(2r-5)(2x+l)=0,

.•.2r-5=0或2x+l=0,

.5T1

..x=2BX,x=—2-

【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握二次三项式的因式分解是解题的关键.

【知识点2因式分解法解一元二次方程的步骤】

①将方程右边化为0;②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0,得到两个一元一

次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

【题型2用提公因式法解一元二次方程】

【例2】(2020秋•揭西县月考)用分解因式解方程：x(5x+4)-(4+5x)=0.

【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(5X+4)-(4+5x)=0,

(5x+4)(x-1)=0,

则5x+4=0或x-1=0,

4

则=一耳，句=L

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

【变式2-1](2020秋•洪洞县期中)用分解因式解方程：(x+1)2=级+2(因式分解法)；

【分析】利用因式分解法求解即可；

【解答】解：：(x+1)2-2(x+1)=0,

(x+1)(x-1)=0,

则x+l=0或X-1=0,

解得X|=-1,X2=l；

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

【变式2-2](2020秋•建平县期末)用分解因式解方程：2)2+4)，=>2

【分析】先变形为2y(y+2)-(,y+2)=0,然后利用因式分解法解方程;

【解答】解：2y(y+2)-(y+2)=0,

(y+2)⑵-1)=0,

y+2=0或2y-1=0,

所以yi=-2,y2=

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法和公式法.

【变式2-3](2020秋•牡丹江期中)解用分解因式解方程：2(X-3)2=7-9.

【分析】利用因式分解法求解即可；

【解答】解：2(x-3)2=(x+3)(x-3),

2(x-3)2-(x+3)(%-3)=0.

(x-3)⑵-6-X-3)=0,

.\x-3=0或x-9=0

.".Xi=3,X2=9

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

【题型3用乘法公式解一元二次方程】

【例3】(2020秋•灵石县期末)解用分解因式解方程：47-(x-1)2=0.

【分析】根据平方差公式可以解答此方程.

【解答】解：47-(x-1)2=0

(2x-x+1)(2x+x-1)=0

(x+1)(3x7)=0

.,.x+l=0,或3x-1=0,

解得，%!=-1,X2=

【点评】本题考查解二元一次方程，解题的关键是明确解二元一次方程的方法.

【变式3-1](2020秋•长白县期中)用因式分解法解方程：(x+3)2=(1-2X)2.

【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：方程整理得：(x+3)2-(1-202=0,

分解因式得：(x+3+l-2x)(JC+3-l+2x)=0,即(4-x)(3x+2)=0,

可得4-x=0或3x+2=0,

9

解得:XI=4,X2=-3-

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键.

【变式3-2](2020秋•呼和浩特期末)解用分解因式解方程：(2x-1)2=/+6X+9.

【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：,/(2x-1)2=/+6X+9.

(2x-1)2-(x+3)2=0,

因式分解得(3x+2)(x-4)=0,

；.3x+2=0或x-4=0,

Axi=一？，X2=4.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

【变式3-3](2020秋•台安县期中)解用分解因式解方程：G+2)2-4(x-3)2=0.

【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：：(x+2)2-4(x-3)2=0,

；.[(x+2)+2(x-3)][(x+2)-2(x-3)]=0,即(3x-4)(-x+8)=0,

贝I」3x-4=0或-x+8=0,

4

解得制=可，X2=8.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

【题型4用十字相乘法解一元二次方程】

【例4】(2020秋•郸都区期中)解用分解因式解方程：?-10x+16=0;

【分析】十字相乘法因式分解，再求解即可；

【解答】解：x2-10x+16=0,

因式分解得，(x-2)(%-8)=0,

由此得，x-2=0,x-8=0,

所以，xi=2,*2=8；

【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式

法，因式分解法，要根据题目要求的方法求解.

【变式4-1](2020秋•路北区期中)用因式分解法解方程：2?+l=3x

【分析】先移项，然后利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解.

【解答]解:2?+l=3x,

lx--3x+l=0,

(2x7)(x-1)=0

解得Xl=］，X2=1.

【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式

法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

【变式4-2](2020春•河口区校级期中)用因式分解法解方程：(2y-1)2=3(1-2y)+4.

[分析】直接利用十字相乘法解方程得出答案.

【解答】解：(2y-I)2=3(1-2y)+4,

(2y-1)2+3(2y-1)-4=0,

(2)，-1+4)(2y-1-1)=0,

a

解得：yi=-2>”=L

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解一元二次方程的解法是解题关键.

【变式4-3](2020秋•简阳市月考)用因式分解法解方程：?-V3x+V2x-V6=0

【分析】利用因式分解法把方程化为》-6=0或x+&=0,然后解一次方程即可.

【解答】解：(x-V3)(x+V2)=0,

%—V3=0或x+V2=0,

所以xi=V5,X2=—y/2.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

【题型5因式分解法解一元二次方程的应用】

【例5】(2020秋•定陶区期末)已知方程W-7x+10=0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角

形的周长为()

A.9B.12C.12或9D.不能确定

【分析】可先求得方程的两根，再根据等腰三角形的性质，结合三角形三边关系进行判断，再求得三角

形的周长即可.

【解答】解：

解方程X2-7x+10=0可得x=2或x=5,

...等腰三角形的两边长为2或5,

当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、5、5,满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为12；

当底为5时，则等腰三角形的三边长为5、2、2.2+2<5,不满足三角形三边关系；

二等腰三角形的周长为12,

故选:B.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及一元二次方程的解法，确定出等腰三角形的边长是解题的关

键.

【变式5-1】(2021•金乡县一模)已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程7-3x=4(x-3)的

两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是()

A.3B.4C.6D.2.5

【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形两直角边分别为3、4,再利用勾股定理计算出斜边=

5,然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解.

【解答】解：x(x-3)-4(x-3)=0,

(x-3)(x-4)=0,

x-3=0或x-4=0,

所以制=3,%2=4,

则直角三角形两直角边分别为3、4,

所以斜边=V32+42=5,

所以该直角三角形斜边上一的中线长

故选：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边

通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一

元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数

学转化思想).也考查了直角三角形斜边上的中线性质.

【变式5-2](2020秋•枣庄期中)如图，已知A,B,C是数轴上异于原点。的三个点，且点。为A8的中

点，点8为AC的中点.若点B对应的数是x,点C对应的数是/-3x,则*=

—4~_鸟------------------>

【分析】由题意可以知道0是原点，且。是A8的中点，就有A、B表示的数互为相反数，就可以表示

出A点的数，再根据数轴两点间的距离列出方程求出其值即可.

【解答】解：:。是原点，且是A8的中点，

：.OA=OB,

•••8点表示的数是x,

.".A点表示的数是-x.

是4c的中点，

：.AB=BC,

(x2-3x)-x—x-(-x),

解得：xi=O.X2=6.

异于原点，

.•.x¥0,

***x—6.

故答案为：6.

【点评】本题考查了数轴与一元二次方程运用及一元二次方程的解法的运用，解答时用代数式表示出各

个点表示的数是关键.

【变式5-3](2021•阳信县模拟)菱形的一条对角线长为8,其边长是方程/-9x+20=0的一个根，则该

菱形的面积为.

【分析】利用因式分解法解方程得到制=4,m=5,再根据菱形的性质得到菱形的边长为5,利用勾股

定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算.

【解答】解：？-9x+20=0,

(x-4)(X-5)=0,

x-4=0或x-5=0,

•♦xi=4,X2=5,

；菱形一条对角线长为8,

菱形的边长为5,

•••菱形的另一条对角线长=2x后二不=6,

二菱形的面积=；X6X8=24.

故答案为：24.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了菱形的性质.

【题型6新定义问题】

【例6】(2020秋•汾阳市期末)定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程

的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，(x-3)G-6)=0的实数根是

3或6,/-3x+2=0的实数根是1或2,3：6=1：2,则一元二次方程(x-3)(%-6)=0与W-3x+2

=0为相似方程.下列各组方程不是相似方程的是()

A./-16=0与？=25

B.(%-6)2=0与/+4x+4=0

C.7-7尸0与/+r6=0

D.(x+2)(x+8)=0与/-5x+4=0

【分析】分别求出选项中两个方程的解，再结合“相似方程”的定义即可确定结论.

【解答】解：A、方程16=0的实数根是±4,/=25的实数根是±5,

V4：(-4)=5：(-5),

一元二次方程r-16=0与7=25为相似方程；

8、方程(x-6)2=0的实数根是6,/+4x+4=0的实数根是-2,

V6：6=-2：-2,

.'.一元二次方程(x-6)2=0与7+4x+4=0为相似方程；

C、方程7-7x=0的实数根是。或7,/+x-6=0的实数根是-3或2,

VO：7W-3：2,

一元二次方程?-7x=0与/+x-6=0不是相似方程；

力、方程(x+2)(x+8)=0的实数根是-2或-8,?-5x+4=0的实数根是1或4,

；-2：-8=1：4,

一元二次方程(x+2)(x+8)=0与7-5x+4=0为相似方程；

故选：C.

【点评】本题考查了解一元二次方程，读懂题意，正确理解“相似方程”的定义是解题的关键.

【变式6-11(2021•南沙区一模)对于实数m,n,先定义一种新运算“③”如下：〃他〃=

；7:,若他(-2)=10,则实数X等于()

In2+m+n,当m<n时

A.3B.-4C.8D.3或8

【分析】根据定义，分x2-2和x<-2两种情况进行解方程，得出x的值.

【解答】解：当X2-2时，)+犬-2=10,

解得：xi=3,X2=-4(不合题意，舍去)；

当x<-2时，(-2)2+x-2=10,

解得：x=8(不合题意，舍去)；

故选：A.

【点评】本题考查了解一元二次方