题型专练05-新高考开放性试题（解析版）

新高考开放性试题题型专练051．下列说法中正确的是A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．B．若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥．C．某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中．D．若回归直线的斜率，则变量与正相关．【答案】AD【解析】利用频率分布直方图和回归直线方程，以及互斥事件和对立事件的概念，逐项判定，即可求解．对于A中，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的；对于B中，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确；对于C中，某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，根据概率的概念，可得每4人中不一定必有1人抽中，所以是不正确的；对于D中，若回归直线的斜率，根据回归系数的含义，可得变量与正相关是正确的．故选：AD．2．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是A．若1＜t＜5，则C为椭图B．若t＜1．则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5【答案】BD【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案．由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得或，对于A中，当时，此时方程表示圆，所以不正确；当方程表示焦点在轴上椭圆，则满足，解得，所以D项正确；对于B中，当时，，此时表示焦点在轴上的双曲线，所以是正确的；对于C中，当时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确．故选BD．若方程表示椭圆，则满足，解得或．3．等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是A． B．C．当时最小 D．时的最小值为【答案】ABD【解析】设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，得到正确；再由前项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；因为，由可知，当或时最小，故错误，令，解得或，即时的最小值为，故正确．故选ABD4．下列命题中正确的是A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【解析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A、B，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行，可判断C，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D．对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；故选：ABD．5．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，，则ω＝，sinφ＝．【答案】2，【解析】由图知，A＝2，，所以ω＝2．所以f（x）＝2sin（2x+φ）．又，所以．故答案为2；．6．已知正数x，y满足，则当x=时，x+y的最小值是．【答案】，1【解析】正数x，y满足，∴，可得，∴x+y＝，令t＝3y﹣1则y＝且t＞0，x+y＝，＝，当且仅当4t＝即t＝，此时x＝y＝取最小值1，故答案为：，1．7．（2020春•潍坊月考）已知函数为常数，且．（1）在下列条件中选择一个②使数列是等比数列，说明理由；①数列是首项为2，公比为2的等比数列；②数列是首项为4，公差为2的等差数列；③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前项和．【解析】（1）①③不能使数列是等比数列，②可以．由题意，即，可得，且，，由常数且，可得为非零常数，则是为首项、为公比的等比数列；（2）由（1）可得，当时，，，可得，前项和．8．（2020•山东模拟）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在中，内角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知①．（1）求的值；（2）若，，求的值．【解析】选①，（1），即，所以即；（2）由（1）可得，，，即，由余弦定理可得，，整理可得，．9．在EQ\o\ac(○,1)，EQ\o\ac(○,2)，EQ\o\ac(○,3)这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并判断三角形是否有解，若有解，求出的值；若无解，请说明理由、在中，已知道分别是角A，B，C的对边，且满足C=2B，b+c=10，【解析】若选择EQ\o\ac(○,1)，则，因为C=2B，所以，显然矛盾，此时三角形无解若选择EQ\o\ac(○,2)，由正弦定理可知又b+c=10．所以c=6，b=4由余弦定理，可得解得，若则由b=4知A=B，又因为C=2B，所以得，这与矛盾，舍去经检验知，当时适合题意，故若选择EQ\o\ac(○,3)，因为C=2B，所以，即得此时，所以c<b，此时C=2B矛盾，此时三角形无解10．在EQ\o\ac(○,1)，EQ\o\ac(○,2)，EQ\o\ac(○,3)在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正整数，求出的值；若不存在，说明理由。已知数列中，其中前n项和为，且。是否存在正整数，使得构成等差数列？【解析】若选择条件EQ\o\ac(○,1)，则，两式相除得到EQ\o\ac(○,1)，所以的奇数项和偶数项分别构成公比为4的等比数列由于，所以，又因为成等比数列，故数列是等比数列，公比为2所以故所以，若构成等差数列，则，整理的到无解，所以不存在正整数，使得构成等差数列若选择EQ\o\ac(○,2)，由于，所以，则，于是当时，，两式相减得，于是，所以数列是公比为3的等比数列因此，所以所以若构成等差数列，则整理得到无解，所以不存在正整数，使得构成等差数列若选择条件EQ\o\ac(○,3)，由于，所以，则，因此，当时，，两式相减得，于是，所以，于是数列是等差数列，且所以，所以构成等差数列11．（2019秋•景德镇期末）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥平面AA1C1C，D为BB1的中点，AC=AA1=2AB，∠AA1C1＝60°，（1）在CC1上是否存在一点H，使得B1H⊥A1D，若存在，求出CH：HC1的值，不存在，说明理由；（2）在线段B1C上有一点P，且B1P：PC＝1：2，求二面角P﹣AA1﹣D的余弦值．【解析】（1）令AB＝1，则AC＝AA1=2，∵A∴△AA1B1∽△DB1A1，∴AB1⊥A1D，若B1H⊥A1D，则A1D⊥面AB1H⇒A1D⊥AH，又∵侧面ABB1A1⊥平面AA1C1C，AB⊥AA1，∴AB⊥平面AA1C1C，∴AB⊥AH，∴AH⊥AA1，∴H为CC1的中点，即CH：HC1＝1：1．（2）以AB，AA1，AH为x，y，z轴构建空间直角坐标系，令AB＝1，则C（0，-22，62），B1（1，2，0），A1（0可得AP→设平面PAA1的法向量为m→=（x，y，z），由m→•AP→=0且m→•AA1→=0，即23x+可取m→=（-64，0，1），又因为面AA1D的法向量n→=所以二面角P﹣AA1﹣D的余弦值cosθ＝|cos＜m→，n→＞|12．（2020•宜宾模拟）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计职工一天行走步数（单位：百步）得到如下频率分布直方图：由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125（百步），其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．（1）试计算图中的a、b值，并以此估计该单位职工一天行走步数的平均值μ；（2）为鼓励职工积极参与健康步行，该单位制定甲、乙两套激励方案：记职工个人每日步行数为ω，其超过平均值μ的百分数ε=ω-μμ×100，若ε∈（0，10]，职工获得一次抽奖机会；若ε∈（10，20]，职工获得二次抽奖机会；若ε∈（20，30]，职工获得三次抽奖机会；若ε∈（30，40]，职工获得四次抽奖机会；若ε超过方案甲：从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；方案乙：从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回的抽取n个小球，抽得红球个数及表示该职工中奖几次；若某职工日步行数为15700步，试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列．若是你，更喜欢哪个方案？【解析】（1）由题意得：（0．002+0．006+0．008+a+b+0．008+0．002+0．002）×解得a＝0．012，b＝0．010，∴μ=60×0．002×20+80×0．006×20+100×0．008×20+120×0．012×20+140×0．010×20+160×0．008×20+180×0．002×20+200×0．002×20＝125．6．（2）某职工日行步数ω＝157（百步），ε=157-125．6125．6∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X，在方案甲下X～X0123P8271227627127E（X）=0×8在方案乙下X0123P1303101216E（X）=0×1∴更喜欢方案乙．13．（2020•石家庄一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），点（1，32）在椭圆C上，点A（﹣（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（t，0）使得PM→•PN→为定值？如果存在，求出点【解析】（1）由题意可得上顶点B（0，b），AB⊥BF2，所以：1a2+94b2=1，AB→⋅BF2→=0，即（3c，b）•（c，﹣b）＝0即b解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：x24（2）由（1）可得右焦点F2的坐标（1，0），假设存在P（t，0）i）当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：x＝my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程x=my+13x2+4y2-12=0，整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，∴y1+y2=-6m∴x1+x2＝m（y1+y2）+2=84+3m2，x1x2＝m2y1y2+m（y1+y2）+1=因为PM→•PN→=（x1﹣t，y1）•（x2﹣t，y2）＝x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2=4-12要使PM→•PN→为定值，则t2-41=4tii）当直线MN的斜率为0时，则M（﹣2，0），N（2，0），P为（118，0），则PM→•PN→=（﹣2-118，0）•（2-11综上所述：所以存在P（118，0），使PM→•14．（2020•江苏一模）已知函数f（x）=（a-1x）lnx（（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的导函数f'（x）存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；（3）当a＝2时，是否存在整数λ，使得关于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．【解析】（1）f'因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因为f'所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在两个不相等的零点，则g'①当a≥0时，g'（x）＞0，所以g（x）单调递增，至多有一个零点，②当a＜0时，因为当x∈（0，-1a）时，g'（x当x∈（-1a，+∞）时，g'（x所以x=-1a因为g（x）存在两个零点，所以ln（-1a）-2＞0，解得﹣e﹣因为﹣e﹣2＜a＜0，所以-1因为g（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在（0，因为﹣e﹣2＜a＜0，所以（-因为g[（-1a）2]=ln（-1a）2+1a-1，设t=-1因为y'=2-tt＜0，所以y＝2lnt﹣t﹣1所以y＜2ln（e2）﹣e2﹣1＝3﹣e2＜0，所以g