19-20 第4章 4.1 第2课时　指数幂及运算

第2课时指数幂及运算学习目标核心素养1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)中，为什么必须规定a>0?提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即eq\r(n,am)＝aeq\s\up5(\f(m,n))＝0，无研究价值．②若a<0，aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)不一定成立，如(－2)eq\s\up5(\f(3,2))＝eq\r(2,－23)无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．下列运算结果中，正确的是()A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(eq\r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq\r(a)－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]2．4eq\s\up5(\f(2,5))等于()A．25B.eq\r(5,16)C.eq\r(4eq\s\up5(\f(1,5)))D.eq\r(5,4)B[4eq\s\up5(\f(2,5))＝eq\r(5,42)＝eq\r(5,16)，故选B.]3．已知a>0，则aeq\s\up5(－\f(2,3))等于()A.eq\r(a3) B.eq\f(1,\r(3,a2))C.eq\f(1,\r(a3)) D．－eq\r(3,a2)B[aeq\s\up5(－\f(2,3))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(2,3)))＝eq\f(1,\r(3,a2)).]4．(meq\s\up5(\f(1,2)))4＋(－1)0＝________.m2＋1[(meq\s\up5(\f(1,2)))4＋(－1)0＝m2＋1.]根式与分数指数幂的互化【例1】将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)eq\r(a\r(a))(a>0)；(2)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,beq\s\up15(－\f(2,3)))))eq\s\up25(－\f(2,3))(b>0)．[解](1)原式＝eq\r(a·aeq\s\up5(\f(1,2)))＝eq\r(aeq\s\up5(\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aeq\s\up5(\f(3,2))))eq\s\up5(\f(1,2))＝aeq\s\up5(\f(3,4)).(2)原式＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up5(\f(2,5))2))＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up5(\f(4,5))))＝eq\f(1,\r(3,xeq\s\up5(\f(9,5))))＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up5(\f(9,5))))eq\s\up5(\f(1,3)))＝eq\f(1,xeq\s\up5(\f(3,5)))＝xeq\s\up15(－\f(3,5)).(3)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(beq\s\up15(－\f(2,3))))eq\s\up5(\f(1,4))))eq\s\up15(－\f(2,3))＝beq\s\up15(－\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝beq\s\up5(\f(1,9)).根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解](1)a3·eq\r(3,a2)＝a3·aeq\s\up5(\f(2,3))＝aeq\s\up15(3＋eq\f(2,3))＝aeq\s\up15(\f(11,3)).(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))＝eq\r(a－4b2·ab2eq\s\up5(\f(1,3)))＝eq\r(a－4b2aeq\s\up5(\f(1,3))beq\s\up5(\f(2,3)))＝eq\r(aeq\s\up15(－\f(11,3))beq\s\up5(\f(8,3)))＝aeq\s\up15(－\f(11,6))beq\s\up5(\f(4,3)).利用分数指数幂的运算性质化简求解【例2】化简求值：指数幂运算的常用技巧1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.2负指数幂化为正指数幂的倒数.3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.2．(1)计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up15(－\f(1,2))－(0.01)0.5；(2)化简：eq\r(3,aeq\s\up5(\f(7,2))\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－8)·\r(3,a15))÷eq\r(3,\r(a－3)·\r(a－1))(a>0)．指数幂运算中的条件求值[探究问题]1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))2存在怎样的等量关系？提示：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))2＋4.2．已知eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))的值，如何求a＋eq\f(1,a)的值？反之呢？提示：设eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝m，则两边平方得a＋eq\f(1,a)＝m2－2；反之若设a＋eq\f(1,a)＝n，则n＝m2－2，∴m＝eq\r(n＋2).即eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝eq\r(n＋2).【例3】已知aeq\s\up5(\f(1,2))＋aeq\s\up5(－\f(1,2))＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[思路点拨]eq\x(aeq\s\up5(\f(1,2))＋aeq\s\up2(eq\s\up5(－\f(1,2)))＝4)eq\o(→,\s\up15(两边平方))eq\x(得a＋a－1的值)eq\o(→,\s\up15(两边平方))eq\x(得a2＋a－2的值)[解](1)将aeq\s\up5(\f(1,2))＋aeq\s\up5(－\f(1,2))＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．[解]令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3).2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解]由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3).解决条件求值的思路1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)5eq\s\up5(\f(2,3))＝eq\r(53).()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如eq\r(4,a2)＝aeq\s\up5(\f(1,2)).()(4)aeq\s\up5(\f(m,n))可以理解为eq\f(m,n)个a.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．把根式aeq\r(a)化成分数指数幂是()A．(－a)eq\s\up5(\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up5(\f(3,2))C．－aeq\s\up5