天津市2021-2022学年十校联考最后数学试题含解析及点睛

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.下列运算结果正确的是()

A.x2+2x2=3x4B.(-2x2)3=8x6

C.x2•(-JT*)=-x5D.2X2-TX2=X

2.下列说法正确的是()

A.一个游戏的中奖概率是.则做10次这样的游戏一定会中奖

To

B.为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式

C.一组数据8,8,7,10,6,8,9的众数和中位数都是8

D.若甲组数据的方差S>="0.01",乙组数据的方差s3=0.1,则乙组数据比甲组数据稳定

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2,0),B(0,2),(DC的圆心为点C(-1,0),半径为1.若D是。C上

的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是()

A.2B.：C.2+三D.

3J/

—x+7<x+3

4.不等式组°「「的解集在数轴上表示正确的是()

3x-5<7

5.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=26,以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D,将BO

绕点D旋转180。后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为()

6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4

米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）

A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

7.计算6m3十（一3m2）的结果是（）

A.—3mB.—2mC.2mD.3m

8.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种正五边形一定能进

行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中假命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

x+1>0

9.如图，不等式组，八的解集在数轴上表示正确的是（）

x-l<0

A.—2.I■>

-?-1017

10.化简学的结果是（）

A.B.-C.若

11.如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

12.如图，在。。中，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论：①ABLCD；②NAOB=4NACD；

③弧AD=MBD；④PO=PD,其中正确的个数是（）

A.4C.2D.3

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在△ABC中，AB=AC=26，BC=1.点E为BC边上一动点，连接AE,作NAEF=NB,EF与AABC

的外角NACD的平分线交于点F.当EFLAC时，EF的长为

14.在一个不透明的口袋中，有3个红球、2个黄球、一个白球，它们除颜色不同之外其它完全相同，现从口袋中随

机摸出一个球记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次摸到一个红球和一个黄球的概率是.

15.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB.若Si表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、

宽是PB的矩形的面积，则SiS2.（填V"）

16.如图，在平面直角坐标系九0y中，△A8C的顶点A、C在坐标轴上，点3的坐标是（2,2）.将△ABC沿x轴向左

平移得到AAiBK”点片落在函数y=-9.如果此时四边形AAGC的面积等于生，那么点G的坐标是

x2

c

fx—y=2m+1

17.若关于x、y的二元一次方程组+3、_3的解满足x+y>0,则m的取值范围是—.

18.如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3x3个小正方形.其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行

2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的6点，最少要用秒钟.

三；解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)在平面直角坐标系xOy中，函数丫=q(x>0)的图象与直线hy=x+b交于点A(3,a-2).

x

(1)求a,B的值；

(2)直线，2：y=—x+机与x轴交于点8,与直线A交于点C,若S4ABe26,求，”的取值范围.

20.(6分)已知：四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且与AB、CD分别相交

于点E、F,连接EC、AF.

(1)求证：DF=EB；(2)AF与图中哪条线段平行？请指出，并说明理由.

21.(6分)春节期间，收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，小王在二0二年春节共收到

红包400元，204年春节共收到红包心4元，求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率.

22.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD/7BC,ZB=90°,BC=6,AD=3,AB=75，点E,F同时从B点出发，沿

射线BC向右匀速移动，已知点F的移动速度是点E移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边AEFG,设

E点移动距离为x(0<x<6).

(1)ZDCB=度，当点G在四边形ABCD的边上时，x=；

(2)在点E,F的移动过程中，点G始终在BD或BD的延长线上运动，求点G在线段BD的中点时x的值；

(3)当2VxV6时，求△EFG与四边形ABCD重叠部分面积y与x之间的函数关系式，当x取何值时，y有最大值？

并求出y的最大值.

x—1>2(x—3),

(2)解不等式组：6x—1°

------->2x.

I2

24.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AELDC,垂足为点E,连接BE,点F为BE上一点，连接

AF,ZAFE=ZD.

(1)求证：ZBAF=ZCBE；

4

(2)若AD=5,AB=8,sinD=—.求证：AF=BF.

25.（10分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这

种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.第一批饮料进货单价多少元？若两次进饮料都

按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？

26.（12分）为了保护视力，学校开展了全校性的视力保健活动，活动前，随机抽取部分学生，检查他们的视力，结

果如图所示（数据包括左端点不包括右端点，精确到0.1）;活动后，再次检查这部分学生的视力，结果如表所示

分组频数

4.0<x<4.22

4.2<x<4.43

4.4<x<4.65

4.6<x<4.88

4.8<x<5.017

5.0<x<5.25

(1)求活动所抽取的学生人数；

(2)若视力达到4.8及以上为达标，计算活动前该校学生的视力达标率；

(3)请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价视力保健活动的效果.

27.(12分)如图，已知：AB是。O的直径，点C在。O上，CD是。O的切线，AD_LCD于点D,E是AB延长线

上一点，CE交。O于点F,连接OC、AC.

(1)求证：AC平分NDAO.

(2)若NDAO=105°,ZE=30°

①求NOCE的度数；

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

直接利用整式的除法运算以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案.

【详解】

222

A选项：x+2x=3x,故此选项错误；

B选项：(-2x2)3=_8x6,故此选项错误；

C选项：x2«(-x3j)=-xs,故此选项正确；

D选项：2X2.X2=2,故此选项错误.

故选C.

【点睛】

考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键.

2、C

【解析】

众数，中位数，方差等概念分析即可.

【详解】

A、中奖是偶然现象，买再多也不一定中奖，故是错误的；

B、全国中学生人口多，只需抽样调查就行了，故是错误的；

C、这组数据的众数和中位数都是8,故是正确的；

D、方差越小越稳定，甲组数据更稳定，故是错误.故选C

【点睛】

考核知识点：众数，中位数，方差.

3、C

【解析】

当。C与AD相切时，AABE面积最大，

连接CD,

则NCDA=90。，

VA(2,0),B(0,2),0c的圆心为点C(-1,0),半径为1,

/.CD=1,AC=2+1=3,

:

.♦.AD=\AC二-CD=2VI,

VZAOE=ZADC=90°,ZEAO=ZCAD,

.,.△AOE<^AADC,

.OA_OE

e，AD-CDZ

即圭=华，，OE=¥，

ABE=OB+OE=2+v

•••SAABE三

BE?OA=；x（2+v）x2=2+二

故答案为C.

4、C

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，在数轴上表示时由包括该数用实心

点、不包括该数用空心点判断即可.

【详解】

解：解不等式-x+7Vx+3得：x>2,

解不等式3x-5S7得：x<4,

•••不等式组的解集为：2<x*,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

5、B

【解析】

阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可.

【详解】

由旋转可知AD=BD,

VZACB=90°,AC=2V3,

.,.CD=BD,

VCB=CD,

/.△BCD是等边三角形,

/.ZBCD=ZCBD=60°,

/.BC=——AC=2,

33

...阴影部分的面积=2百x2+2-竺蒜Z=2百号.

故答案选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是旋转的性质及扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质及扇形面积的计算.

6、C

【解析】

在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.

【详解】

在RtAA,BD中，；NA'DB=90。，A'D=2米，BD2+A,D2=A,B,2,ABDM^.ZS,.*.BD2=2.25,VBD>0,.*.BD=1.5

米，.•.CD=BC+BD=0.7+L5=2.2米.故选C.

【点睛】

本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.

7、B

【解析】

根据单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商

的一个因式计算，然后选取答案即可.

【详解】

6m3+(-3m2)=[6+(-3)](m3-j-m2)=-2m.

故选B.

8,D

【解析】

根据对顶角的定义，平行线的性质以及正五边形的内角及镶嵌的知识，逐一判断.

【详解】

解：①对顶角有位置及大小关系的要求，相等的角不一定是对顶角，故为假命题；

②只有当两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故为假命题；

③正五边形的内角和为540。，则其内角为108。，而360。并不是108。的整数倍，不能进行平面镶嵌，故为假命题；

④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故为假命题.

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题与证明.对顶角，垂线，同位角，镶嵌的相关概念.关键是熟悉这些概念，正确判断.

9、B

【解析】

首先分别解出两个不等式，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可.

【详解】

解：解第一个不等式得：x>-l；

解第二个不等式得：xO,

在数轴上表示-T.）-»

故选B.

【点睛】

此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>之向右画;向

左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不

等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时要用实心圆点表示;要用空心圆点表示.

10、C

【解析】

试题解析：原式=苴/=一］.

故选C.

考点：二次根式的乘除法.

11、A

【解析】

A.是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；

B.是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；

C.不是中心对称图，是轴对称图形，故本选项错误；

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误。

故选A.

12、D

【解析】

根据垂径定理，圆周角的性质定理即可作出判断.

【详解】

是弦A8的中点，Q?是过点P的直径.

J.ABA.CD,弧40=弧BD,故①正确，③正确；

ZAOB=2ZAOD=4ZACD,故②正确.

尸是。。上的任意一点，因而④不一定正确.

故正确的是：①②③.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，正确理解定理是关键.平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条

弦所对的两段弧；同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1+^/5

【解析】

当AB=AC,NAEF=NB时，ZAEF=ZACB,当EF±AC时，ZACB+ZCEF=90°=ZAEF+ZCEF,即可得至！JAE±BC,

依据R3CFGgRtACFH,PJWCH=CG=|N/5,再根据勾股定理即可得到EF的长.

【详解】

解：如图，

当AB=AC,NAEF=NB时，ZAEF=ZACB,

当EF±AC时，ZACB+ZCEF=90°=ZAEF+ZCEF,

，AE_LBC,

/.CE=-BC=2,

2

又•.•AC=2百，

AExCE4/T

..AE=1,EG=-------------=—v5,

AC5

CG=y]cE2-EG2=，，

作FH_LCD于H,

VCF平分NACD,

；.FG=FH,而CF=CF,

.'.RtACFGgRSCFH,

.,.CH=CG=->/5,

4r~

设EF=x,贝！|HF=GF=x-y>/5,

・・R3EFH中，EH2+FH2=EF2,

/.(2+—\/5)2+(x・3逐)2=x2,

55

解得x=l+75,

故答案为i+B

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的顶角

平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

1

14、-

3

【解析】

先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次摸到一个红球和一个黄球的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

画树状图如下：

红红红

黄

红红红黄黄白

由树状图可知，共有36种等可能结果，其中两次摸到一个红球和一个黄球的结果数为12,

171

所以两次摸到一个红球和一个黄球的概率为7=-,

363

故答案为2.

【点睛】

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的

结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.

15、=.

【解析】

黄金分割点，二次根式化简.

【详解】

设AB=1,由P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB,

根据黄金分割点的，AP=91二1,BP=1-X1二1=

222

16、（-5,—）

【解析】

分析：依据点5的坐标是（2,2）,BB2//AA2,可得点灰的纵坐标为2,再根据点此落在函数y=-9的图象上，即

X

可得到BB2=AA2=5=CC2,依据四边形AA2C2C的面积等于—,可得OC=U,进而得到点C2的坐标是（-5,—）.

222

详解：如图，：点8的坐标是（2,2）,B82〃4A2,••.点&的纵坐标为2.又\•点及落在函数尸-的图象

x

上，.,.当y=2时,x=-3,.又；四边形44C2c的面积等于生，.••AA2xOC=归，

222

••♦点。2的坐标是（-5,—）.

2

点睛：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的性

质.在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数“，相应的新图形就是把原图形

向右(或向左)平移。个单位长度.

17、m>-\

【解析】

首先解关于x和y的方程组，利用，”表示出x+y,代入x+y>0即可得到关于〃，的不等式，求得，〃的范围.

【详解】

解：5+3y=3②'

①+②得lx+lj=l/n+4,

贝！Ix+y=m+\,

根据题意得

解得m>-1.

故答案是：》i>-1.

【点睛】

本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把，〃当作已知数表示出x+y的值，再得到关

于m的不等式.

18、2.5秒.

【解析】

把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短

距离.在直角三角形中，一条直角边长等于5,另一条直角边长等于2,利用勾股定理可求得.

【详解】

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.

(1)展开前面右面由勾股定理得45=J(2+3)2+2?=屈。皿

(2)展开底面右面由勾股定理得

所以最短路径长为5cm,用时最少：5+2=2.5秒.

【点睛】

本题考查了勾股定理的拓展应用.“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)a=3,b=-2;(2)m>8或m<-2

【解析】

(1)把A点坐标代入反比例解析式确定出a的值，确定出A坐标，代入一次函数解析式求出b的值；(2)分别求出直线

h与x轴交于点D,再求出直线L与x轴交于点B,从而得出直线L与直线h交于点C坐标，分两种情况进行讨论：

①当SAABC=SABCD+SAABD=6时，利用三角形的面积求出m的值，②当SAABC=SABCD-SAABD=6时，利用三角形的面

积求出m的值，从而得出m的取值范围.

【详解】

(1),•,点A在丫=色图象上

X

a—2.——

3

.".a=3

：.A(3,1)

•点A在y=x+b图象上

1=3+8

.\b=—2

二解析式y=x-2

(2)设直线y=x-2与x轴的交点为O

：.D(2,0)

①当点C在点A的上方如图(1)

;直线y=—x+机与x轴交点为B

:.B(6，0)(〃>3)

•.•直线y=—X+/H与直线y=x-2相交于点C

.卜=%-2

・♦V

y=r+"i

m+2

x=

2

解得：＜

m-2

y二

2

m+2m-2

2'2

,**SAABC=SABCD-SAABD>6

1/7m-21/।，

•—x(jn-2)x——-----—(机—2)x126

:.m>8

②若点。在点A下方如图2

SAABC=SABCD+SAABD>6

>6

综上所述，，栏8或in<—2

【点睛】

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本

题的关键.

20、(1)见解析；(2)AF/7CE,见解析.

【解析】

(1)直接利用全等三角三角形判定与性质进而得出AFOCgZiEOA(ASA),进而得出答案;

(2)利用平行四边形的判定与性质进而得出答案.

【详解】

(D证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，点。是对角线AC、BD的交点,

.•,AO=CO,DC//AB,DC=AB,

.♦.NFCA=NCAB,

在^FOC和^EOA中

4FC0=NEAO

<CO=AO,

ZCOF=ZAOE

.,.△FOC^AEOA(ASA),

/.FC=AE,

.•.DC-FC=AB-AE,

即DF=EB；

(2)AF〃CE,

理由：VFC=AE,FC〃AE,

，四边形AECF是平行四边形,

；.AF〃CE.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△FOCgAEOA(ASA)是解题关

键.

21、小王在这两年春节收到的年平均增长率是,0。。

【解析】

增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，2018年收到微信红包金额400(1+x)元，在2018年的基础上再增长x,就是

2019年收到微信红包金额400(1+x)(1+x)元，由此可列出方程400(1+x)2=484,求解即可.

【详解】

解：设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率是二

依题意得：400(/+二)；=484

解得二7=0J=4%,二；=-2」(舍去)•

答：小王在这两年春节收到的年平均增长率是

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用.对于增长率问题，增长前的量x(1+年平均增长率)年敛=增长后的量.

।oq伺

22、(1)30；2；(2)x=l；(3)当*=一时，y最大=把；

77

【解析】

(1)如图1中，作DHJLBC于H,则四边形ABHD是矩形.AD=BH=3,BC=6,CH=BC-BH=3,当等边三角形AEGF

的高=百，时，点G在AD上，此时x=2；

(2)根据勾股定理求出BD的长度，根据三角函数，求出/ADB=30。，根据中点的定义得出

BG=；BD=；X26=K,根据等边三角形的性质得到BF,即可求出x的值；

(3)图2,图3三种情形解决问题.①当2Vx<3时，如图2中，点E、F在线段BC上，AEFG与四边形ABCD

重叠部分为四边形EFNM；②当3sx<6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP；

【详解】

(1)作DH_LBC于H,则四边形ABHD是矩形.

BEHC

图1

VAD=BH=3,BC=6,

.*.CH=BC-BH=3,

在RtADHC中，CH=3,DH=AB=VJ,

:.tanZ£>C5=—,

CH3

当等边三角形AEGF的高等于百时，点G在AD上，此时x=2,NDCB=30。,

故答案为30,2,

(2)如图

VAD//BC

:.ZA=180°-ZABC=180°-90°=90°

在RtAABD中，BD=《AB°+BD。=卡+（厨=26

AB_6_I

sinNADB

BD~2y/3~2'

：.NADB=30°

：G是BD的中点

ABG=-BD=-x2y/3=y/3,

22

VAD/7BC

:.ZADB=ZDBC=30°

VAGEF是等边三角形，

:.ZGFE=60°

二ZBGF=90°

在RtABGF中，BF=————==2,

cosNGBFcos30°

2x=2即x=l；

(3)分两种情况：

当2VxV3,如图2

DG

图2

点E、点F在线段BC±AGEF与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM

VZFNC=ZGFE-ZDCB=60°-30°=30°

二NFNC=NDCB

:.FN=FC=6-2x

.'.GN=x-(6-2x)=3x-6

,/ZFNC=ZGNM=30°,NG=60°

NGMN=90°

.•.当x*时,人苦.

当3gxV6时，如图3,

图3

点E在线段BC上，点F在线段BC的延长线上，AGEF与四边形ABCD重叠部分为AECP

VZPCE=30°,ZPEC=60°

:.ZEPC=90°

在RtAEPC中EC=6-x,EP=-EC=3一一X,

22

3-;x卜an60"=3g一

PC=EP-tanNPEC=~TX,

136m623A59百

——X-------------X+----------,

22822

373

对称轴为x=%=6,

2x——

8

当x<6时，y随x的增大而减小

二当x=3时,)%大=至.

8

综上所述：当时，y^=~——.

77

【点睛】

属于四边形的综合题，考查动点问题，等边三角形的性质，三角函数，二次函数的最值等，综合性比较强，难度较大.

23、(1)2A/2?(2)-<x<5.

2

【解析】

(1)根据塞的运算与实数的运算性质计算即可.

(2)先整理为最简形式，再解每一个不等式，最后求其解集.

【详解】

(1)解：原式=1+2后-9x"

=272

(2)解不等式①，得x<5.

解不等式②，得%>二.

原不等式组的解集为，<x<5

2

【点睛】

本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握和运用相关运算性质是解答关键.

24、(1)见解析；(2)275.

【解析】

（1）根据相似三角形的判定，易证△ABFsaBEC,从而可以证明NBAF=NCBE成立；

（2）根据锐角三角函数和三角形的相似可以求得AF的长

【详解】

（1）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AD/7BC,AD=BC,

.,.ZD+ZC=180°,ZABF=ZBEC,

VZAFB+ZAFE=180°,ZAFE=ZD,

.,.ZC=ZAFB,

/.△ABF^ABEC,

二ZBAF=ZCBE；

4

（2）VAE±DC,AD=5,AB=8,sinZD=-»

5

.♦.AE=4,DE=3

.,.EC=5

VAE±DC,AB〃DC,

.*.ZAED=ZBAE=90o,

在RtAABE中，根据勾股定理得：BE=7AE2+AB2=475

VBC=AD=5,

由（1）得：△ABFs^BEC,

.AFAB_BF

"BC-A£-EC

AF8BF

即on—=—r=一

54V55

解得：AF=BF=2逐

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题

需要的条件，利用数形结合的思想解答

25、（1）4元/瓶.（2）销售单价至少为1元/瓶.

【解析】

（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量=总价+单价结合第二批购

进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）由数量=总价+单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y元/瓶，根据利润=销售单价x销售数量

-进货总价结合获利不少于2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论.

【详解】

（1）设第一批饮料进货单价为x