人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第八章第4节　双曲线

第4节双曲线

灵活方医方致偎影

课时作业

0选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

双曲线的定义及应用4,511

双曲线的标准方程9,10

双曲线的几何性质1,2,3,6,714,1517

综合问题812,13,1618

A级基础巩固练

_22

1.经过点M（2V3,2而）且与双曲线氤-5=1有相同渐近线的双曲线方

程是（D）

%2y2%?y2

A.二-匕=1B.3-匕=1

18121218

22

C.——V——%=1D=1

1812-7I-^

22

解析:设所求双曲线的方程为十与=人，

将点M（2V3,2遮）代入得等二等二X,

解得人=-6,

22

所以双曲线方程为9-3=1-

1218

故选D.

2222

2.若实数k满足0<k<9,则曲线？-上=1与曲线4-？=1的（D）

259一化Z5_/C9

A.离心率相等B.虚半轴长相等

C.实半轴长相等D.焦距相等

解析：由0<k〈9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由

V25+9-W25-/C+9,得两双曲线的焦距相等.故选D.

22

3.已知双曲线Wf1（a>。，b>0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程为

a2b2

V5x±y=0,则该双曲线实轴长为（A）

A.2B.1C.V3D.2V3

解析：由题意知，渐近线方程为y=土8x,则也遮，

a

又焦点为F（2,0）,即c=2,

所以c2=a2+b2=4a2=4,则a2=l,

即a=l或T（舍去），

则实轴长为2a=2.故选A.

22

4.已知双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F2,点P在双

a2b2

曲线的右支上，若|PFj-|PFz|=4b,且双曲线的焦距为2遍,则该双曲

线的方程为（A）

A.^-y2=lB.或匕1

432

C.x2-竺=1D.次士=1

423

f

\PF1\~\PF2\=2a=4b,

解析：由题意可得卜2=。2+匕2,

、2c=2V5,

解得｛1二:则该双曲线的方程为?-y2=l.

故选A.

5.已知双曲线y-y2=l的左、右焦点分别为F„F2,点P在双曲线上，

且满足|PFI|+|PF2]=2而，则△PFFz的面积为（A）

1

-

A.1B.V3C.V5D.2

2

解析:在双曲线$y2=l中,a=V3,b=l,c=2.不妨设P点在双曲线的

右支上，

则有IPF』一|PF21=2a=2g,

又|PR|+|PR|=2的,

所以IPF』=V5+A/3,|PF2|=V5-V3.

又|F1F21=2c=4,

而|PF1|2+|PF2|2=|FE|2,

所以PF」PF2,

所以S"F1F2=XIPFJX|PF21gx（V5+V3）X（遥-遮）=1.故选A.

22

6.已知双曲线C:=-3=1（a>。，b>0）的右顶点为A,以A为圆心,b为半

径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若NMAN=60°,

则双曲线C的离心率为（A）

3

2V32

--

3B.2V2V3D.

解析：由题意，可得A到渐近线bx+ay=O的距离为bcos30°=争,

可得益/臬，

va2+Z?22

g哈奈

可得离心率为e=等.

故选A.

7.已知双曲线C:g-^l（a>0,b>0）的右焦点为F,过点F且垂直于x

轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以0A为直径

的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B,若BF〃OA,则双曲线C的离心

率为（A）

A.手B.V2C,V3D.2

解析：因为AF,OF,

所以点F在圆上.

又BF〃OA,

所以NA0F=N0FB,

而NA0F=NB0F,

所以AOBF是等腰三角形，

所以N0AB=NBAF=NB0F=NA0F.

又因为N0AB+NBAF+NA0F=90°,

所以NA0F=30°,

所以"tan30°=—,

a3

所以e《J号+（»=竽故选A.

22

8.（多选题）（2021•广东深圳一模）设F」2分别是双曲线C:--，=

m+nm-n

1的左、右焦点，且|FE|=4,则下列结论正确的有（AC）

A.m=2

B.当n=0时,双曲线C的离心率是2

C.F,到渐近线的距离随着n的增大而减小

D.当n=l时,双曲线C的实轴长是虚轴长的两倍

解析:对于选项A,由双曲线的方程可得a^m+n,b?=m-n,

所以c^a'+b'm+n+m-n=2m,

因为2c=4,

所以c=2,

所以c2=2m=4,可得m=2,故选项A正确；

对于选项B,当n=0时，双曲线C：y-^=1,此时a2=b2=2,c2=4,

所以离心率e=J^=V^,故选项B不正确；

22

对于选项C,在双曲线C:--^=1中，由选项A

m+nm-n

知，m=2,a2=2+n,b2=2-n,且双曲线的渐近线方程为y=±-x,

a

不妨取焦点F,（-2,0）,则3到渐近线的距离d=*=b=HL

所以日到渐近线的距离随着n的增大而减小,故选项C正确；

对于选项D,当n=l时,a=V2+1=V3,b=，2T=l,

所以实轴长为2V3,虚轴长为2,不满足双曲线C的实轴长是虚轴长的

两倍,故选项D不正确.

故选AC.

9.（2021•广东汕头高三一模）写一个焦点在y轴上且离心率为V3

的双曲线的标准方程.

解析：取c=V3,贝1Je=£=K,可得a=l,

a

所以b=Vc2-a2=V2,

因此,符合条件的双曲线的标准方程为y2-y=l.

cv-2

答案:y?=1（答案不唯一,符合要求就可以）

10.（2021•辽宁铁岭高三一模）已知双曲线与椭圆捻+。=1有相同的

166

焦点,且双曲线的渐近线方程为y=±jx,则此双曲线的方程为

解析：由题意得椭圆焦点为（±460）,

所以C=V1O,

22

设双曲线的方程为〜卷=1(a>0,b>0),

a2b2

则安，

CL3

由片“解得R=+

ka2+b2=c2=10,5=L

丫2°

所以双曲线的方程为+y2=l.

v2八

答案y2=l

B级综合运用练

22

11.已知双曲线9-9=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为口(-2,0),

a2bz

F2⑵0),P为双曲线上位于第二象限内的一点，点Q在y轴上运动,

若iPQl+lQFzl-|PFj的最小值为苧，则双曲线的离心率为(B)

A.V3B.2V3C.3V3D.48

解析：如图所示，连接PF2,

因为IPQI+IQF2I-IPFJ2IPF2I-|PF"=2a,

当且仅当P,Q,F2三点共线时,等号成立，

所以|PQ|+|QF2卜|PFj的最小值为2a,

所以2a=竽,解得a=^.

由题意知c=2,所以e=-=2V3.故选B.

a

22

12.(多选题)已知双曲线C曝噌=1(a>0,b>0)的左焦点F(T,0),过F

且与x轴垂直的直线与双曲线交于A,B两点,0为坐标原点，AAOB的

面积为|,则下列结论正确的有(ABD)

A.双曲线C的方程为4x2-差=1

B.双曲线C的两条渐近线所成的锐角为60°

C.F到双曲线C的渐近线的距离为V3

D.双曲线C的离心率为2

解析：因为双曲线的左焦点为F(T,0),所以c=l,

又因为过F与x轴垂直的直线与双曲线交于A,

aa

所以aAOB的面积为S—X1•^-=-,即f,

2a2a2

又a2+b2=c2=l,

所以a=|,°J*

所以双曲线C的方程为4x2-警=1,故A正确；

则双曲线C的渐近线方程为y=±V3x,

所以两渐近线的夹角为60°,故B正确；

F到双曲线C的渐近线的距离为d=苧,故C错误；

双曲线C的离心率为e/=J=2,故D正确.故选ABD.

a-

2

22

13.(多选题)已知双曲线C:=1的左、右两个焦点分别为B,F2,

直线y=kx(kWO)与C交于A,B两点,AE_Lx轴，垂足为E,直线BE与C

的另一个交点为P,则下列结论正确的是(AC)

A.四边形ARBF2为平行四边形

B.NFFF2<90°

C.直线BE的斜率为:

D.ZPAB>90°

解析:如图,双曲线C关于原点对称,

又直线y=kx过原点，

所以A,B关于原点对称，

由|OA|=|OB|,|0FI|=|0F2|得四边形AF1BF2为平行四边形,A正确;

当k-0,P点趋近于右顶点,此时NFFFz趋近于平角，因此不可能有

ZF,PF2<90°,B错误;

设A（xo,y0）,则B（-xo,-y0）,

由AE_Lx轴知E（x。,0）,k=生，

X。

而kBE=&*=FWk,C正确；

XQ-（TXQ）2%O2

△APB中，ZAPB>ZAEB>ZAE0=90°,

因此NPAB〈90°,D错误.故选AC.

14.（2021•浙江宁波高三开学考试）抛物线y2=4x的焦点到双曲线

g-y2=l的一条渐近线的距离是y,则双曲线的实轴长是,离

心率是・

解析：由题意，得抛物线y2=4x的焦点为(1,0),双曲线於-丫2=1的一条

渐近线为x+ay=0,

因为抛物线yMx的焦点到双曲线学y2=l的一条渐近线的距离是第，

2

所以半袅告解得a=l.

Vl+a22

所以双曲线方程为x2-y2=l,

所以c=Va2+b2=V2,

所以双曲线的实轴长为2,离心率e=^=V2.

a

答案：2V2

15.(2021•广东广州高三一模)已知圆(x-l)2+yM与双曲线

C：马一1=1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为

a2b2

M,N,P,Q,且|MN|二21PQ|,则C的离心率为.

解析:设k2,渐近线方程是y=±kx,由对称性可设

a

M(xbkxi),N(xi,-kxi),P(X2,kx2),Q(x2,-kx2),

贝iJ|MN|=2kxi,|PQ|=_2kx2,

所以2kxi=2,(-2kx2),xi=-2x2.①

(y=kx,

((%-l)2+y2=4,

得(l+k?)X2-2X-3=0,

X"2号，②

3

X|X2"诉,

4

①代入②得X2=品,X尸

1+H'

代入③得-83

(1+/C2)21+H'

解得l+k2=1.

所以e/Jl+(£)="+k2=^.

答案:亚g

16.(2021•浙江杭州高三模拟)在四边形ABCD中，已知A(-1,0),

B(2,0),ZABC=2NBAC,|DB|=21DA|,若C,D两点关于y轴对称,则

ICD|=.

解析：设C(x,y)(x>0),

由NABC=2NBAC,得tanNABC=tan2ZBAC,

2tanz.BXC

即tanZABC='

l-tan2zBAC,

当点C在X轴上方时，tanZBAC=kAC,

tanZABC=-kuc,

故有；

当点C在x轴下方时，tanZBAC=~kAC,

tanZABC=ki!C,

故有kisc=2^2C,

1-%

两者都有knc+；yc=0,

所以kuc(1-嫉C)+2kAc=0,

则卷・[1-』]+2・七=0,

x-2(x+1)x+1

化简得

-.2

所以点C的轨迹方程为X2-^=1(X>1),

由C,D关于y轴对称知D(-x,y),

由|DB|=2|DA|,

J(-x-2)2+y2=2^(-%+1)2+y2,

得(x-2)2+y2=4(yW0),

与x2-?=l(x>l)联立消y,

得(x-2)03x2-3=4,

解得x=|或x=3(舍去)，

所以|CD|=3.

答案：3

C级应用创新练

17.已知双曲线C:马名=1(a〉0,b>0)的两条渐近线均与圆M:x2+y2-6x+

5=0相切,且双曲线的右焦点为该圆的圆心,则双曲线C的离心率为

(C)

A.—B.—C.—D,—

3252

丫2.2u

解析:双曲A线(a>