上海市青浦区2019届高三数学二模试题（含解析）

上海市青浦区2019届高三数学二模试题(含解析)

一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1

1.不等式->2的解集是

x

【答案】(。3

【解析】

【分析】

先移项通分得到——>0,进而可求出结果.

x

111_7r1

【详解】因为—>2,所以——2>0,即>0,解得0<》<彳

xxx2

故答案为(0,》

【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，一般需要先移项再通分，进而求解，属于常考题

型.

2.已知复数z满足z(l+i)=2+4i(其中i为虚数单位)，贝"z|=

【答案】<10

【解析】

【分析】

先由复数的除法运算求出z,再根据模的计算公式即可求出结果.

【详解】因为,z(l+i)=2+4i,所以2=2+41(2+40(1-0/=6+2i=3+i,

1+i(1+i)(l-i)2

因此同=历万=回.

故答案为回

【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的除法运算法则、以及模的计算公式即可，属

于基础题型.

3.在平面直角坐标系xOy中，£在X轴、y轴正方向上的投影分别是-3、4,则与£同向的单位向

量是_________

34

【答案】(一齐)

【解析】

【分析】

先由题中条件得到2=(-3,4),再依题意设所求的单位向量坐标为(-3zn,4m)(m>0),根据模

为1,即可求出结果.

【详解】因为£在x轴、y轴正方向上的投影分别是-3、4,所以2=(-3,4)；

由题意设所求的单位向量坐标为(-3m,4mXm>0),

1

则(-3?n)2+(4m)2=l，所以m

因此所求向量的坐标为(-|$.

故答案为(--»-)

【点睛】本题主要考查向量的坐标表示、以及向量共线问题，熟记概念及公式即可，属于基

础题型.

4.在(1-乃6的二项展开式中，含有，项的系数为一(结果用数值表示)

【答案】-20

【解析】

【分析】

先由二项展开式的通项公式得到几+1=或(-1)‘"，令卜=3,即可得出结果.

【详解】因为(l-x)6的二项展开式的通项为7\+1=4(-1)勺〃，

要求含有一项的系数，只需令k=3,

所求系数为《(-1y=-20.

故答案为-20

【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.

5.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线/-/=1经过抛物线'2=2「尤(p>o)的焦点，则

P=________

【答案】2衽

【解析】

【分析】

根据双曲线的几何意义得到双曲线与抛物线的共同焦点为(/，0),所以，；=P=2衽.

【详解】双曲线中，a=2,b=l,c=衽，

双曲线与抛物线的共同焦点为(4，0),

所以，g=GP=2#

故答案为：2衽

【点睛】这个题目考查了抛物线和双曲线的几何意义，较为简单.一般和抛物线有关的小题,

很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦

半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。

6.已知E、F是互斥事件，P(E)=0.2,P(EuF)=0.8,则P(F)=

【答案】0.6

【解析】

【分析】

根据互斥事件的性质，若/、B是互斥事件，则P(4UB)=P(4)+P(B)；

根据题中条件即可求出结果.

【详解】因为E、F互斥事件，P(£)=0.2,P(EuF)=0.8,

所以P(EUF)=P(F)+P(F)=O.8,因此P(F)=06

故答案为0.6

【点睛】本题主要考查互斥事件的概率问题，熟记事件的性质即可求解，属于常考题型.

7.函数y=|sinx+arcsinx|的最大值为

71

【答案】-+sinl

【解析】

【分析】

71Tl

根据arcsinx表示正弦值等于％的一个角，可得-，4arcs出久工了再由s仇工的范围即可求出结

果.

n7i

【详解】因为arcsizix表示正弦值等于x的一个角，因此-4arcsinxVm

又一1工sinx<1,所以一］-14sinx+arcsinx<-+1,

7T

因此函数y=\sinx4-arcsEM的最大值为］4-1.

71

故答案为2+1

【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的问题，熟记反三角函数的意义以三角函数的

性质即可，属于常考题型.

/x+y>l

8.若实数八y满足条件x—y+120,则％2+步的最小值为一

\2x-y-2<0

_1

【答案】-

【解析】

试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数2=，+3；2=巧亍2,表示可行域内的点到原

点（0,0）距离的平方，故当可行域内点到原点距离最小时，Z取到最小值，即Zmm=（T）2=g.

考点：线性规划.

Ix2x<a

a<x<c的反函数的定义域是（一8，+8），则

c的所有取值构成的集合是

【答案】{0}

【解析】

【分析】

结合函数/'（X）定义域判断其值域，由反函数的定义域为（-8,+8）,可得函数f（X）的值域为

（-oo,+oo）,即可得出结果.

2

xx<a

I1+bQ<x<c其定义域为（一8，C），因为％。0,所以Q<C4O,

（1）当c<0,由解析式可得,

当工工。时，/（%）>a2；

11

当QV%VC时，一+6</（町<一+6,

即/（乃的值域为d+b,-+h）U（a2,+8）；

ca

2

Ixx<a

J+b£,<万<。的反函数的定义域是（-8，+8），

所以函数f（x）的值域为（-8,+8）,因为a、b、c都是实数，b可以大于。2；

a

因此值域可以为d+b,+8）,不满足题意；

C

（2）当c=0时,由解析式可得:

当％WQ时，/(x)>a2;

当Q<x<c=0时，-8vf(x)<-4-b,

即f(%)的值域为(-8,-4-b)u(a2,+00)；

a

1

同（1）可知：函数f（x）的值域必须为（-8,+8）,因为a、b、c都是实数,+6可以大于cA

a

因此c=0符合题意;

综上：c的所有取值构成的集合是{0}.

故答案为{0}

【点睛】本题主要考查分段函数与反函数的问题，熟记函数的性质即可，属于常考题型.

10.已知某四棱锥三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为一

【答案】国

【解析】

【分析】

正方体中作出该四棱锥，借助长方体求出各棱长，即可得出最大值.

【详解】由三视图在正方体中作出该四棱锥P-4BCD,由三视图可知该正方体的棱长为3,

所以4B=BC=C0=ZM=3,PC=杼+产=画PD=杼+2?=唇

。8=由2+3?+12=回,P/l=^32+32+22=V22.

因此该四棱锥的最长棱的长度为疹.

故答案为必

【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图先还原几何体，进而可求解，属于常考题

型.

11.已知函数/'(町=/+斑+/,(<1/6/?),在区间(0,1)内有两个零点，则3a+b的取值范围是

【答案】(-5,0)

【解析】

【分析】

先由函数在区间(0,1)内有两个零点，得到a,b满足的关系式，作出不等式组所表示的平面区域,

再设z=3a+b,根据z的几何意义，结合图像，即可得出结果.

【详解】要使函数数/(*)=，+ax+b在区间(0,1)内有两个零点，函数对称轴为》=

b>0

0)2>0,

11”a+b>o

>v0即1

所以21-2b

o-a+<O

-4

、

根据不等式组作出如下图像：

设z=3a+b,贝！］b=-3a+z,

由「/+b=0解得"；2,即仆2,1),

由图可知，当z=3a+b过点4(-2,1)时，3a+b取得最小值，

(3a+》)加九=-2x3+1=-5,

由图可知，当z=3a+b过点。(0,0)时，3a+b取得最大值，

(3a+b)g=0,

则3a+b6(-5,0).

故答案为(-5,0)

【点睛】本题主要考查二次函数零点分布问题、以及线性规划问题，熟记二次函数零点分布

的判定条件即可求解，属于常考题型.

TI

12.已知。为AABC的外心，乙4BC=§,百9=2瓦1+〃沆，贝壮+〃的最大值为—

2

【答案】-

【解析】

【分析】

以外接圆圆心为半径建立坐标系，设B(x,y),列方程用入4表示出七外代入圆的方程，再利

用不等式解出4+，的范围即可.

【详解】设4ABC的外接圆半径为1,以外接圆圆心为原点建立坐标系,

ji27r

因为乙=所以41。。=不，

不妨设4(1,0),C(-|,'),B(M，

则反4=(l-x,-y),就=(-_y).

因为由=4瓦4+〃觉，所以

11

X~7

y=--------

rA+H-I

因为B在圆为2+y2=1上，

1掷

所以/W、2,工"、2

(--------r+(--------y=1

即(入-+(-yM)2=(入+〃-1)2,

所以=2(2+；)Tw(号)2,

所以+〃)2-#+/^)+->0,

433

解得入+〃工;或，+〃32,

2

因为B只能在优弧AC上，所以2+〃工了

y

【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常

考题型.

二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)

13.已知4={y[y=6},B={y\y=log2x},则4nB=()

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.{2}D.{(4,2)}

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数y=依与y=，。取X的值域得到4和B,再求交集即可得出结果.

【详解】因为4={y\y=>/x}={y\y>0},B=[y\y=log2x}={y|ye/?},

所以4CE=4=[0,+oo).

故选B

【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.

14.已知A4BC是斜三角形，则“4>B”是a\tanA\>\tanB\"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

根据充要条件的定义，结合正切函数的图像和性质，分析“若4>B,贝>|tanB|”与“若

\tanA\>\tanB\,则4>B”的真假,即可得出结果.

【详解】当4>B时,

若A，B均为锐角,KiJtanA>tanB>0,此时|tan4|>|tanB|；

若4为钝角，则n-4为锐角,B<n-A,则tan(7r-4)=-tanA>tanB>0,此时《即4|>

综上：“4>B”是的充分条件；

当|tan4>|tanB|时，

若4B均为锐角，则Um4>tanB>0,此时4>B；

若4为钝角，则为锐角，B<n-A,则tan(”-4)=-tan4>tanB>0,满足条件；

若4为锐角，B为钝角，显然不满足；

综上“4>8”是"|ta*l|>|tanB|”的必要条件.

所以，uA>Bn是"|tan4|〉|tanB|”的充要条件.

【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断、以及正切函数的性质，熟记充分条件与

必要条件的概念等即可，属于常考题型.

15.已知曲线「:传之：濡(。是参数)，过点P(6,2)作直线均曲线r有且仅有一个公共点，则这

样的直线1有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】B

【解析】

【分析】

先由曲线的参数方程消去参数，化为普通方程，再判断定点与曲线关系，进而可得出结果.

2

【详解】由「二：濡消去参数可得?/=1；

2X

因此点P(6,2)在双曲线士-y2=i的渐近线丫=上，

95

由双曲线的特征可知，当直线，与双曲线的另一条条渐近线平行、或直线1与双曲线的右支相切

时，满足直线与双曲线只有一个公共点，

因此，这样的直线，只有2条.

故选B

【点睛】本题主要考查双曲线的特征以及直线与双曲线的位置关系，熟记双曲线的性质即可,

属于常考题型.

16.等差数列%,a?，•一，%(n6N"),满足

aa

1li+网+,•,+lnl=1%+1|+出+1+,••+|an+1|

=出+2|+口？+2|+•••+\ctn+2]=[%+3]+|a2+3|+■•-+10n+3|=2010,则()

A.”的最大值为50B.n的最小值为50

C.”的最大值为51D.n的最小值为51

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据题意可知｛册｝中的项有正有负，不妨设根据题意可求得d>3,根据

|aj+|a2|+.•.+\an\=2010,去绝对值求和,即可求出结果.

【详解】%=-1005,。2=1。05时，满足条件，所以n=2满足条件，即“最小值为2,舍去B,D.

要使得n取最大值，则项数〃为偶数，

设n=2k,keN”,等差数列的公差为d,首项为%,不妨设｛*：嗝°，

则由<0/>0,且。卜+3<0,由｛(；式加■得d>3,

所以1%1+lazl+,•,+\an\=~al~a2~'~ak+ak+l+%+2+…+a2k

=-2(Q〔+a2+•••+Q。+(0i+%+…+%++1+纵+2+…+。24)

k(k+1)2k(2k+1)

92

=—2[fca14--------d\+2k&H----------d=kd=2010,

因为d>3,所以k2d=2010>3/,所以/<670，而keN*,

所以k«25,故n=2kw50.

故选A

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及通项公式等即可，属于常

考题型.

三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)

17.如图，圆柱是矩形。1。44绕其边3。所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是

弧AB的中点.

(1)求三棱锥4-4BC体积与圆柱体积的比值；

(2)若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段44的中点，求异面直线CM与BO1所成

角的大小.

【答案】(1)^-:(2)arccos^-

而3

【解析】

【分析】

(1)先设圆柱的母线长为儿底面圆半径为r,根据三棱锥以及圆柱的体积公式分别求出体积，

进而可得出结果.

(2)由题意，以。为坐标原点，0C、。4、。3方向分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

分别求出直线CM与BO1的方向向量，根据两向量夹角的余弦值，即可得出结果.

【详解】(1)设圆柱母线长为儿底面圆半径为r,因此U画柱=

又因为AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，

111

所以%48C=2X48X0C=/，因此力「48C=t^ABC,八=w'",

%-ABC1

故三棱锥勺-4BC体积与圆柱体积的比值为」—=2_.

U圆柱3〃

(2)由题意，以。为坐标原点，0C、。人。。1方向分别为峋、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

因为圆柱的母线长度与底面半径相等，设r=2,

则C(2,0,0),4(0,2,0),0(0,0,0),0/0,0,2),6(0,-2,0),

因为点M是线段A。1的中点，所以

所以C%=(_2,1,1),眄=(0,2,2),

CM-2+2,/3

因此cos(CM,8^^=————=-=——,=—,

'/44+1+1x,4+43

所以异面直线CM与BO1所成角的大小为arccosg.

▲

【点睛】本题主要考查几何体体积以及异面直线所成的角的问题，熟记棱锥与圆锥的体积公

式即可求出体积之比；第二问求异面直线所成的角，可采用空间向量的方法，求出两直线方

向向量的夹角即可得出结果，属于常考题型.

18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆

3

地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得=在A处正西方向1km的

点C处，用测角器测得tan/BCN=l,现有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在

岸MN上选一点P,先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电

缆铺设费用分别为2万元/km,4万元/km.

R----1.统

.vrcA.v

(1)求A、B两点间的距离；

(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.

【答案】(1)5千米；(2)方案②，理由见详解.

【解析】

【分析】

3

(1)过点B作BDJ.MN于点D,设BD=a,根据£即乙ZMN=—,tan^BCN=1,即可求出a,进

4

而可得出结果;

（2）根据（1）得结果，结合题意可直接计算出方案①的费用;

7TBD3

方案②：设4BPD=e,则。€（。0,2）,其中。O=4B4N,在直角三角形BPD中，。P

tanOtand'

BD3乂心5ME、,6122-cosO

BP=『二『，总铺设费用为24P+48P=8+『=8+6-.，再设

sinOsinOtanOsinOsinu

2-cosO

=用导数的方法求其最小值即可得出结果.

sinO

【详解】（1）过点B作BDJ.MN于点。，设BD=a,因为tan/BCN=l,所以CD=a,

3一，BD3a3…

又AC=1,tan^BAN=-,所以而=%'即有=彳,解侍。=3,

所以4B=^BD2+AD2=5(km).

(2)由(1)可知4B=5(km),

方案①：沿线段AB在水下铺设，总铺设费用为5x4=20万元:

n

方案②：设&BPD=9,则O€（Oo,5），其中。O=NB4N,

BD3BD3

在直角三角形BPD中，DP—7，BP—，

tanOtan0sinOsinO

3

所以4P=4-DP=4-----,

tanO

6122—cosO

则总铺设费用为24P+MP=8一麻+赤=8+6・呆

2-cosO

设

2

则,幽=一sin0-焉(2-cos6)cos令01-2co眄s0,=°得,列n表如下,:

nnmt

0（。0夕(狼

3

f⑼-0+

f⑼单调递减极小值单调递增

所以该方案的总铺设费用为8+6小，此时4P=4-书.

而8+6斥20,

所以应选择方案②进行铺设，点P选择A的正西方(4处，总铺设费用最低.

【点睛】本题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用，通常需要对函数求导，用导数

的方法研究函数的单调性，进而确定函数的最值，属于常考题型.

2x-a

19.已知aeR,函数f(x)=-----.

2*+a

(1)求a的值，使得/'(x)为奇函数；

CL—2

(2)若。?。且/^^亍对任意彳打都成立，求a的取值范围.

【答案】⑴a=l:(2)a>5

【解析】

【分析】

(1)根据题意得到函数定义域为R,再由/(0)=0即可求出结果；

a—22”-a.a—2

(2)对任意xeR都成立，即是------(对任意XCR都成立；分别讨论a=0,

32*+a3

a=5,a>5以及a<5即可得出结果.

【详解】(1)由题意可知;■(*)的定义域为R,因此，若/'(x)为奇函数，则外0)=0,

1-a

即:^---=0,所以Q=l;

1+a

a—22”—cia—2

⑵由人支)<k对任意KGR都成立，可得-----<「「对任意xGR都成立；

32、+a3

2

当Q=0时，IV显然不成立，所以Q>0；

2X-aa-2

因此示一<—对任意XGR都成立，等价于(5-a)2z<。2+a；

当a=5时，0<30显然成立；所以a=5符合题意；

22

当a>5时，有2、>葭」对任意x6R都成立，则巴士^=出望2wo显然成立，所以a>5符

5-a5-a5-a

合题意;

22

当a<5时，有对任意xeR都成立，因为xeR时，21(0,+8),因此有2“<上吧

5-a5-a

对任意比WR不能恒成立，故aV5不符合题意；

综上，a的取值范围为a25.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于

常考题型.

20.在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y),总存在一个点(2(%/)满足关系式：

<P：[X-=AX(A>0,n>0),则称8为平面直角坐标系中的伸缩变换.

ly=ny

(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换9，使得椭圆4，+9y2=36变换

为一个单位圆；

(2)在同一直角坐标系中，AAOB(。为坐标原点)经平面直角坐标系中的伸缩变换w：[x，=Xx

ly=ny

c1

(A>0,4>0)得到△4'OH,记△AOB和△A'O'B'的面积分别为S与S’,求证：-=A/i；

S

.x

X=—

【答案】(1)J;(2)见详解.

,y

y=-

[2

【解析】

【分析】

22

(D将椭圆方程化为标准方程++匕=1,再由单位圆的方程，以及题中伸缩变换的概念，

94

即可得出结果.

(2)先设4(*]%),8(刀2%)，根据伸缩变换得到/(M，%)，B'(忒2，"2)，得到|。'才|，I。冏设

直线。4的斜率为k,得到直线。4的方程为y=kx,从而求出点B到直线04的距离d,

同理得到点B到直线04的距离为乙，最后由」化简即可得出结果.

S\0A\.d

22

【详解】(1)因为椭圆4/+9/=36的标准方程为土+匕=1，又单位圆的方程为，+9=1，

94

,x

x=-

因此要想由椭圆4,+9/=36变换为一个单位圆，伸缩变换只需为3：｛,:

V=-

(2)先设%2，%)，因为。为坐标原点，所以0(0,0),

由△40B（。为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换阳x,=痴（4>o,〃>0）得到△/oR,

y=ny

所以/（&i，4yi）,B'（忒2内2），0（0,0）.

所以|。'/|二,（租）2+伊力）2,\OA\=JY+当2,

设直线。4的斜率为亿则直线。4的方程为y=kx,故为=%,

|fcx2-y2|

所以点B到直线。4的距离为d=—=^

Jk2+1

Hy^nn