四川省仁寿县2022-2023学年高三9月月考数学（文）试卷及答案

四川省仁寿县文宫中学2022-2023学年高三9月月考数学（文）试题

一、单选题

1.己知函数/（X）的定义域为R,且对任意xwR,/（x）—/'（x）＜o恒成立，则e"（x+l）＞/（2：+3）

e

解集为（）

A.(O,+a?)B.(Y»,—2)C.(一8,0)D.(—2,+co)

2.设复数z=l-3i,则初T）=（

A.-2-4iB.4-2iC.-2+4i

3.曲线y=谷在点（1,0）处切线的斜率为（）

A.--B.-C.--D.g

4422

4.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的

平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆£＞（后轮）的半径均为6，AAfif,ABEC,AECD

均是边长为4的等边角形.设点尸为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，丽.丽的最大值

为（）

--------------/C

B.2GC.4A/3

5.已知等差数列｛4｝的前八项和为S“，4=15,Sg=0,则当S“取最大值时〃的值为（）

6.已知函数/Xx）=sinx-三-x,给出下列结论：①函数y=/（x）的图像关于直线》=-三对称：

7C2

②曲线y=/（x）上存在垂直于y轴的切线；③函数〃力的最大值为0；④方程〃/（》））=。有4个

不相等的实数根.其中所有正确结论的个数是（）

7.碳-14测年法是由美国科学家马丁・卡门与同事塞缪尔・鲁宾于1940年发现的一种测定含碳物质年

龄的方法，在考古中有大量的应用.其原理为：宇宙射线中的中子与氮-14反应产生碳-14,而碳-14

会发生衰变成氮-14,由此构建一个核素平衡.空气中的碳-14与氧反应生成的二氧化碳被生物圈接

收，活体生物体内的碳-14和碳-12浓度比例是一定的，只有当生物死亡后，碳循环中断，碳-14会

衰变并逐渐消失.放射性元素的衰变满足规律N=（表示的是放射性元素在生物体中最初的

含量乂与经过时间，后的含量N间的关系，其中4=竽（T为半衰期）.已知碳-14的半衰期为5730

年，N。=1.2x10*,经测量某地出土的生物化石中碳-14含量为4x10%据此推测该化石活体生

物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据1。823a.585）（）

A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年

8.已知单位向量5满足|5-2万|=石，则下列结论正确的是（）

A.allbB.albC.\a+b\=2D.1与方的夹角为60°

9.已知向量G,B满足|£|=而，|司=3,（a-b）b=\,则向量Z，万夹角的大小等于（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

10.己知函数/（x）=sinx-x2+门的定义域为-q,，则满足了（乃的实数。的取

值范围是（）

（717l'\（7T1「乃3丁、（兀3n

A.—B.—,7tC.—D,

142」<4J[24J<44J

11.函数/（切=含+6'在点（OJ（O））处的切线方程为（）

A.y=3x+1B.y=2x+\C.y=-x+lD.y=x+\

4

12.在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15。的看台上，同一列上的第

一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。和30°,第一排和最后一排的距离为9"米（如图

所示），则旗杆的高度为（）

第一排

A.9米B.27米

C.96米D.米

二、填空题

13.关于x的方程/+〃a+5=0(加€区)的一个根是2+〃i(〃eR］，则，“+〃=.

14.已知函数/(犬)=/+(，〃-1)*+1为偶函数，则函数g(x)=mr-ln(/nr)-2的零点个数为

15.设i是虚数单位，则『+i7+i，=.

16.设x,yeR,且(x+2)—2xi=—3y+(y—l)i,则x+y=.

三、解答题

17.在数列｛q｝中，4=1,anan+l=an-an+l(/leN*).

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)令〃=a„an+i,求数列｛h„｝的前n项和Sn.

18.已知函数f(x)=e，-a(x-l)(aeR).

(1)当a=l时，求函数y=的极值；

⑵若关于x的方程〃x)+lnx-e=0在(1,e)无实数解，求实数”的取值范围.

19.已知函数/(x)=|3x-l|,g(x)=l-国.

(1)解不等式”x)V2；

(2)求F(x)=〃x)-g(x)的最小值.

20.已知函数〃x)=xe*-or+2.

(1)若曲线y=在点(0,〃0))处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4,求实数”的值；

(2)当aWl时，证明：/(x)>lnx+3.

21.在数列｛<?”｝中，q=2,a"+|=4a“-3〃+l,〃eN.

(1)求证:数列｛〃,-”｝是等比数列；

(2)求数列｛q｝的前〃项和5,.

22.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin（A+8）=csinO±C.

(1)求角A的大小;

(2)若角B为钝角，求"的取值范围.

参考答案:

1.B

【分析】由题干条件构造函数g(x)=§,得到g(x)=§的单调性，从而对

e*/(x+l)>空变形，利用函数单调性解不等式.

【详解】由/a)—r(x)<o得［绰］=£Wz/W>0)

记g(x)=室,则g(x)在R上单调递增.

由e"(x+1)>得，

即g(x+l)>g(2x+3),

x+l>2x+3，

x<—2.

故选：B.

2.D

【分析】根据题意，由共辄复数的定义得出)=l+3i，再根据复数的乘法运算即可求解.

［详解］解：由题可知I=l+3i，.-.z(l-0=(l+3i)(l-i)=4+2i.

故选：D.

3.B

【分析】求导，利用导数的几何意义求解.

【详解】因为所以尸(x)=

''3x+l(3x+19)(3x+l)

曲线〃刈=花在点(1,0)处切线的斜率为f'⑴=；.

故选：B.

4.C

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中尸点坐标借助于三

角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解.

【详解】以。为坐标原点，AO为x轴，过。做AO的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标

系，

y

则A(-8,()),B(-6,26),C(-2,2百).

圆。的方程为f+V=3,可设P(bcosa,6sina),

所以丽=(2,26),而=(6cosc+6，V3sina-26).

故AB-丽=2Gcosa+12+6sina-12=4x/5sin(a+?)V4\/^.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算

计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值.

5.B

【分析】根据题意求出｛。,,｝的公差，进而求出通项公式，然后令4,20,求出〃的范围即可得到答

案.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,则16a,+蛆d=0,解得“=一2,4=15-2(〃-1)=17-2〃,

17

由420解得〃V三，；.当S,取最大值时”的值为8.

故选：B.

6.D

【分析】通过证明/(-万-x)=/(x)可判定①正确，利用导函数判定②③正确，f(/(x))=0可转化

为/(x)=0或/(同=一)，分析根的个数可判定④正确.

【详解】<•'f(-7r-x)=sin(-7r-x)~~—+^+x=sinx-———x=f｛x),

7171

的图像关于直线X=-］对称，①正确；

7

fXx)=cosx——x-\,当%£(。,+00)时，(尤)<0,

7T

当xe(一］,0)，r(x)单调递增，

r(x)>/'(—］,JT)=0,ja)在(-JyT,o)单调递增，

在（0,内）上单调递减，根据对称性可得，

/（X）在（-8,-万）单调递增，在（-乃,-耳）单调递减,

/（-y）=-l+^<0,〃一万）=八0）=0,

作出了（X）的图像如图所示，

...y=/（x）在点（0,〃0））,（一肛人一"））处的切线方程为y=o,

...②③正确；

/（/（X））=0可转化为=0或“X）=-7，♦•"（-96（-1,0）,

结合图像可知/（x）=0有两个根，/（力=-乃有两个根，

；•方程/（/（x））=。有4个根，④正确.

故选:D.

7.C

【解析】由题意N=N°e”,得［二一见如曳二____必，代入数据即可.

N。In2

%1.2x10q

【详解】由题意N=N°e”,知一％N_in至J/JUxin总而1r_57301n3

N（）In2In2In2

=5730log23n5730x1.585=9082.05。9082.

故选：C.

8.B

【分析】由|〃-2引二石，两边平方求解.

【详解】V|^-2a|=x/5,

A(b-2a)2=|6F+41MF-4万•5=5,

,2•5=0,卜+可=近，

••aLb-

故选：B

9.A

【分析】先由Q-扬力=1得到£4_片=1，再根据数量积公式得到cos，=由，进而结合向量夹角

2

的范围进行求解.

【详解】设向量向量2,B的夹角为夕，

由(a-B).B=1,得a.B=1,

即|〃|.|〃|(：00，一出|2二1,

因为I。1="，IB|=也，

所以2百cos0-2=1,解得cos0=,

2

又因为。4"180°，所以8=30°，

即向量£,B的夹角的大小为30。.

故选：A.

10.B

【分析】由已知利用尸sinx和y=-(x_g2+9的图象性质，结合/(乃一+得

冗,,34

----<7i-a<——,

22

冗,冗,3冗

----<—+a<——,,解不等式组即可得解.

222

717171

7i-a—+a

~222

【详解】函数y=sinx和y=—片的图象在上都关于直线X=1对称,

I2J4122」2

TTIT7T3乃

且它们都在一万，万上单调递增，在上单调递减，

贝D函数/3=虫-1一力+工的图象在-py上关于直线后对称，

且在《三上单调递增，在1,y上单调递减.

冗，,34

------<7i-a<——,

2------------2

由丁（乃一〃）＞/（1^+4，得,冗,冗,37

------<——\-a<——,

222

717171

7i-a--<----——\-a------

222

解得

故选:B.

【点睛】本题主要利用正弦函数和二次函数的性质对称性及单调性解不等式，注意定义域对不等式

解集的影响.

11.A

【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，并确定切点坐标，点斜式写出切线方程.

【详解】由题设“（力与苔m+八品+H则八。）=3,

而/⑼=1，故在（OJ（O））处的切线方程为y-l=3x,则y=3x+l.

故选：A

12.B

【分析】利用正弦定理可求AC,在中，即求.

【详解】

最后一罚

第一排

依题意可知NA£C=45。，

ZCAE=18()°-60°-15°=105°,

/.ZACE=180°-45°-105°=30°,

AEAC

由正弦定理可知

sinZACE~sinZAEC

ApL

AC=------------・sinZAEC=186米,

sinNACE

/.在RtAABC中，BC=AC.sin/CAB=18百xt=27米.

2

故选：B.

13.-3

【分析】将2+〃i(〃eR+)代入到方程侬+5=0(meR)中，可得到相应的方程组，解得皿〃的

值，可得答案.

【详解】因为关于x的方程f+e+5=0(加eR)的一个根是2+〃i(〃eR*),

故(2+〃i)2+m(2+〃i)+5=0,即(9一〃*+2m)+(4n+mn)i=O,

「」9一〃？+2m=0/E/口f机二-4

则〈八,(/?GR),解得<,故加+〃=-3,

4〃+机〃=07[n=l

故答案为：-3

14.2

【分析】由/(X)为偶函数可求出"?的值，对g(x)求导,得出g(x)的单调性,知g(x)在X=1时取

得最小值且g⑴=-1<0,再由零点存在性定理得出g(e2)>0,即可得出g(x)的零点

个数.

【详解】由/(X)为偶函数，得/(-%)=/(尤),即/-(〃?-1)》+1=—+(,"-1卜+1,

所以小一1=0,即加=1,所以g(x)=x-lnx-2,则g[x)=l-1=土」，

易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，

所以g(x)的极小值，也是最小值，为g⑴=-1<0.

又因为8卜2)=葭-4>0,且g(x)的图象在(1,内)上连续不断，所以g(x)在(l,+o))上有唯一零点;

又因为gg)$>0,且g(x)的图象在(0,1)上连续不断，所以g(x)在(0,1)上有唯一零

点.

综上所述，g(x)有且仅有2个零点.

故答案为：2.

15.1

【分析】根据虚数单位的性质可求代数式的值.

【详解】卜6+j7+j8卜|j2+j3+]卜卜]T+b=I,

故答案为：1.

16.0

【分析】由复数相等可构造方程组求得乂儿由此可得结果.

【详解】由题意知：c:,解得：，，.•.x+y=O.

[-2x=y-l[y=T

故答案为：0.

17.⑴N*)

【分析】(1)递推公式判断数列｛q｝为等差数列，求出公差d,再写出通项公式;

(2)根据题意，利用错位相减法求出数列｛4｝的前〃项和S“.

(1)

因为41a向=a“-a“+i(〃eN"),所以「---1=1,

a

q+ln

又4=1,所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列,

所以1-二〃，所以4〃=L(〃£N*);

4八,

(2)

,11

由(1)得"二。必用=而可一〃n+1

18.(1)极小值为2,无极大值

(2)(-<»,e+l]

【分析】(1)代入4=1,求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间及极值情况；

(2)构造函数g(x)=e'—or+lnx—e+a(x>l),二次求导，确定导函数的单调性，结合端点值，对

”进行分类讨论，确定实数。的取值范围.

(1)

当”=1时，f(x)=ex-x+l,定义域为R,

=令/'(x)=e*_l=0,解得：x=0,

当工>0时，r(x)=e-l>。，单增，当x<0时，r(x)=e'—lv0,/(x)单减

所以/(x)=e'-x+l在工=0处取得极小值，极小值为〃0)=e°+l=2,无极大值.

(2)

/.(%)+111工-©=0即6'-0(%-1)+1111-0=0在(1,+00)无实数解，

令g(x)=e'-or+lnx-e+a(x>l),

则，(x)=e*-a+g(x>l),

令〃(支)=g，(x)=e*-a+，(x>1),

ir2er-1

贝小)=1-+=等一(%>1),

因为x>l,所以f>ie>e,所以feje,

〃'(x)>0,即〃(x)=g'(x)=e，-a+g在x>l上单调递增，

其中/t(l)=e+l-tz,

当e+l—oNO,即aWe+1时，xw。,”)时，g'(x)>0,

g(x)在x«l,y)上单调递增，又g⑴=0,

故当x>l时，g(x)没有零点;

②当e+1-avO,即〃>e+l时，

令2(x)=e，_Q¥(X>1),

Z'(x)=e"-e>0在x£(l,+oo)上恒成立，

所以Z(x)=e"-ex在xG(1,+OO)上单调递增，

所以2(力>k(1)=0,故e、>ex,x>l,

“一/八aee八

所以g—>ex-+__=->0

eaaaf

又?>：=1,故存在使得(小)=0,

当xw(l,%)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，又g(l)=0,

故当时,g(x)<o,所以g(x)在XG(l,Xo)内没有零点，

当xe仇,+oo)时，g，(x)>0,g(x)单调递增，

因为a>e+l,所以lna+a-e>ln(e+l)+e+l-e=ln(e+l)+l>l,

且g(a)=e"+lna-a2+a-e>eM-a2+1

令》(x)=e*-d+l,%>1,

*'(x)=e'-2x,%>1,

令0(x)=*'(x)=e，-2x,%>1,

"(x)=e*-2>e-2>0,所以“(x)=e"-2x在XG(1,+OO)上单调递增,

又夕'(l)=e-2>0,故x>l时，”(x)>0,

*(x)=e*-犬+1在xe(l,+oo)上单调递增，

所以e(a)>*(l)=e>0,故g(a)>0,

又。>@>厮，由零点存在性定理可知，存在大e(%,“)，g(%)=0,

e

故在(距,a)内，函数g(x)有且仅有一个零点，

综上：“We+l时满足题意

即。的取值范围是(e,e+l]

【点睛】导函数求解参数取值范围问题，通常需要构造函数，求出构造函数的导函数，确定其单调

性，极值和最值情况，本题中要注意到特殊点的函数值，确定参数的取值范围，即必要性探究，再

进行充分性证明.

112

19.(1)一；(2)--

【分析】(1)由〃x)42可得|3x-l|42,即一243x—142,求解即可;

(2)将尸(x)写为分段函数的形式，再由一次函数的性质判断单调性，即可求得最值.

【详解】解：⑴因为f(x)42,

则|3x-l|42,即一2431一142,

解得即xe

l-3x-(l+x),x<0-4x,x<0

(2)由题,F(x)=|3x-l|-("x|)=,1—3x-(1-x),O«x<§=—2x,0x<—

3'

3x(1-4x-2,x>-

3

所以尸(力在；,+可上单调递增，在［-8,；)上单调递减，

所以尸(九=咽"

【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，考查求分段函数的最值.

13

20.(1)。=彳或。==；(2)证明见解析.

22

【分析】(1)求导可得/(X)解析式，利用导数的几何意义，求得切线斜率氏=/'(0),又〃0)=2,

代入点斜式方程，可求得切线方程，分别令x=0、N=0,结合面积为4,即可求得答案.

(2)当aW1时，所求变形为—ar—Inx—12—x—Inx—1,设g(x)=—x—Inx-l(x>0),

利用导数求得g(x)的单调性和极值，综合分析，即可得证.

【详解】(1)由/'(x)=(x+l)，-a,.•._f(O)=l-a，

又"0)=2,...切线方程为y=(l-〃)x+2,(a/1).

2

当x=0时，y=2；当y=o时，x=--,

]21Q

由题意可得S=§x2x西=4,解得或.=

(2)/(x)-lnx-3=xe'-ax-lnx-1,x>0,

当a41时，X'€x—cix—Inx—1-x—Inx—1，

令g(x)=xe*-x-lnx-l(x>0),则g'(x)=(尤+1)卜-小，

设g'(x)的零点为％,则*一,=0,即=1且lnx0=-Xo,

工0

工g(x)在(0,飞)上递减,(飞,+00)上递增,

•••g(xL=g(x°)=_毛_lnX。=0,

x>0时，g(x)20恒成立，从而/(x)-lnx-320恒成立,

...当a«l时，/(x)>lnx+3.

(或根据尤•£,—x—Inx—1—x-lnx—INx+lnx+l—x—Inx—1=()证明)

【点睛】解题的关键是掌握导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极(最)值的方法，并灵活

应用，难点在于，需根据a的范围，进行合理变形，进而直接求证即可，属中档题.

21.⑴证明见解析；⑵S“=宁+甘

,neN+.

【分析】(1)根据递推关系及等比数列的定义证明｛q-,｝为等比数列;

(2)由(1)求出数列｛%｝的通项公式，再利用分组求和法求其前冏项和.

【详解】⑴由已知得。同一(〃+1)=4(4-〃),又4-1=1

所以数列｛〃,,-〃｝是公比为4的等比数列,

⑵由⑴得4―”=(4—I)/"、

所以4=4"一+〃

c1一4"心+1)4"-1〃(〃+1)2

S=-------+—------=--------+