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文档简介
奔驰定理与四心问题
【考点预测】
一、四心的概念介绍,
(1)重心:中线的交点,重心将中线长度分成2:1.
(2)内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等.
(3)外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.
(4)垂心:高线的交点,高线与对应边垂直.
二、弃驰定理一一一解决面积比例问题
重心定理:三角形三条中线的交点.
已知△ABC的顶点人(。1,小),B(g,佻),。(两,纳),则AABO的重心坐标为G(叁土登土生,"飞十仇
注意:⑴在△力BC中,若O为重心,则冏+砺+定=。
(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.
重心的向量表示:AG=^-AB+^-AC.
oJ
奔驰定理:SA-(51+S1瓦+Sc丸=6,则△力08、AAOC、ABOC的面积之比等于而沏/li
奔驰定理证明:如图,令0彳,用小豆=(5瓦,方=5己,即满足04+(5百+(5百i=o
1S^oc1S^BQC1
故SdAOB:SAAOC:S^J3OC=
殳4OB|4向'S^AiOCiS^BiOCi
三、三角形四心与推论:
(1)。是4ABe的重心:Sgoc:SACOA.SMOB=1:1:1QOA+OB+OC=6.
(2)0是△48。的内心:S△映c;SACQA:SMOB=Q:b:。=OA+OB+OC=6.
(3)0是ZkABC的外心:SABoc:SAca4:Sz^408=sin2Asin2B:sin2cosin2AoA+sin2JBOB+sin2coe=0.
(4)0是AABC的垂心:S^BOC'S^COA-S^AOB=tanX:tanjB:tan(7»tanAOA+tanBOB+tan。。。=0.
•【方法技巧与总结】
4DA(^>
(1)内心:三角形的内心在向量,——>,+।——►,所在的直线上.
明阿|
\AB\-PC+\BC\-PC+•丽=6OP为AABC的内心.
(2)外心:|尹司=|而|=\PC\oP为AABC的外心.
(3)垂心:成•丽=而•用=圮・以=2为△ABC的垂心.
(4)重心:户N+厢+户方=6=P为△ABC的重心.
•[题型归纳目录】
题型一:奔驰定理
题型二:重心定理
题型三:内心定理
题型四:外心定理
题型五:垂心定理
【典例例题】
题型一:奔驰定理
例1.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对
应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的log。很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理:已
知O是4ABe内的一点,4BOC、XAOC、/\AOB的面积分别为S〃、SB、S0,贝U01+SB•赤+
Sc・0方=6.若O是锐角XABC内的一点,ABAC.AABC.NACB是4ABC的三个内角,且点O满
足见•两=亦五=弧加则()
A.O为△ABC的垂心
B.AAOB^n-ZACB
C.|OA|:|OB|:|OC|=sinZBAC:sinZABC:sinZACB
D.tanZBAC-OA+tanZABC-OB+ta.nZ.ACB-OC=6
例2.(多选题)(2022•全国•商三专题练习)点。在△4BC所在的平面内,则以下说法正确的有()
AB_AC'
A.若动点P满足方=。4+4+仅>0),则动点P的轨迹一定经过△ABC的
JABkinb|AC|sinC,
垂心;
ACBA
B.若=0,则点。为△ABC的内心;
C.若(52+加)•荏=(9+文)♦团=0,则点O为△ABC的外心;
ABAC\
D.+(/I>0),则动点P的轨迹一定经过△ABC
|AB|cosB\AC\cosC)
的重心.
例3.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)奔驰定理:己知。是△ABC内的一点,△BOC,A4OC,AAOB
的面积分别为SA,SB,S0,贝USK51+Sp•加+苑=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美
的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的log。很相似,故形象地称其为“奔
驰定理”.若O、P是锐角△4BC内的点,4、B、。是的三个内角,且满足且4+两+用=
^-CA,OA-OB=OB-OC=OC-OA,^\()
o
A.SAPAB:SAPBC:SAPCA=42.3B.ZA+ZBOC=TT
C.|O>1|:|OB|:|OC|=cosX:cosS:cosCD.tanA-OA+tanB-O5+tanC-OC=(5
例4.(多选题)(2022•淅江•高三专题练习)如图,已知点G为△4BC的重心,点O,E分别为4B,上的
点,且O,G,E三点共线,/=zn戏,AE=nAC,m>0,九>0,记△4DE,AABC,四边形BDEC
的面积分别为S1,S2,S3,则()
A.—m+—n=3B.-p-=mn
D.-^<4
C,-S3>-—5
o3o
例5.(河南省安闲市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试(五)数学试卷)己知。是△ABC内的一
点,若△BOC,A4OC,A4OB的面积分别记为,WJ-04+S2-OB+S;5-OC=0.这个定理对
应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.如图,已知。是△力BC的垂心,
且9+2OB+3OC=6,则tanZBAC:tanZABC:tanZACB=(
A.1:2:3B.1:2:4
C.2:3:4D.2:3:6
例6.(2021•四川稳阳•高一期末)己知P是△ABC内部一点,且9+3屈+5形=6,则△PAB、
△PC4、APBC面积之比为()
A.1:3:5B.5:3:1C.1:9:25D.25:9:1
例7.(2022•安热花湖一中三模(a))平面上有AABC及其内一点O,构成如图所示图形,若将△OAB,
△OBC,△OC4的面积分别记作Sa,S&,则有关系式Sa-OA+Sb-OB+Sc-OC=^.因图形和奔
驰车的log。很相似,常把上述结论称为“奔驰定理”.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,
c,若满足a•。才+b•而+c•五=6,则。为△48。的()
A.外心B.内心
C.重心D,垂心
例&(2022•云南•一模(a))在AABC中,。是直线4B上的点.若2前=3+4刀,记A4CB的面积为
§
Si,A4CD的面积为S2,则苍)
A.卷QJLD
BT。3l
例9.(2022•全国•方三专题练习)在平面四边形ABCD中,已知A4BC的面积是XACD的面积的2倍.若
存在正实数使得AC=(^~A)AB+(1-—)AD成立,则2x+y的最小值为()
A.1B.2C.3D.4
例10.(2022•上海•高三专题练习)如图,P为△48。内任意一点,角4,B,C的对边分别为a,6,c.总有优
美等式S^PBCPA+S^ACPB+S^ABPC=6成立,因该图形酷似奔驰汽车车标,故又称为奔驰定理.现
有以卜命题:
①若P是△ABC的重心,则有巨牙+丽+同=6;
②若aA4+b两+c司=6成立,则P是△ABC的内心;
5
③若由=^-AB+^-AC,则S^ABPS4ABe=2:5;
OD
④若P是△ABC的外心,4=?=m屈+九㈤,则m+mC[一2,1).
则正确的命题有.
例11.(2022•江西宜春•南三期末(<))已知S&ABC=3,点M是&ABC内一点且加+2MB=为7,则
△MBC的面积为()
A.2B.号C.[D.y
例12.(2022•全国♦南三专题练习)已知点M是△ABC所在平面内一点,若疯=J赤+4加,则△ABM
与"以0的面积之比为()
A.B.C.2D.春
例13.(2022♦全国•南三专题练习)已知点。为正所在平面上一点,且满足CX+归行+(1+2)定=
。,若△OAC的面积与△OAB的面积比值为1:4,则4的值为()
A.JB.C.2D.3
【方法技巧与总结】
弄装定理:如图,已知P为4ABC内一点,则有SAPBC•PA+屈+S^AB-PC=O.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似,我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面
向量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的基石作用.
题型二:重心定理
例14.(2022•浙江绍兴•模拟(测)已知△一月是圆心为。,半径为R的圆的内接三角形,河是圆O上一
点,G是△ARC的重心.若两_1_0苕,则AM2+BM2+CM2=.
例15.(2022•江苏南京•模拟覆测)在△力中,荏.正=(),|荏|=3,|廊|=4,O为△ABC的重心,D
在边上,且A。_LBC,则AD-AO.
例16.(2022•全国•方三专题练习)在△ABC中,回=4,西=隹且药=^+m不—+3一,
I|a|smB\b\smAJ
mCR,则点P的轨迹一定通过△力5。的()
A.重心B.内心C.外心D.垂心
例17.(2022•全国病三专题练习)已知4B,。是平面上不共线的三点,。为坐标原点,动点P满足加=
《[(1—4)04+(1—4)加+(1+2»0己]"6H,则点r的轨迹一定经过()
A.ZVLBC的内心B.ZVIBC的垂心C.ZVIBC的重心D.AB边的中点
例18.(2022•河北•石家庄二中模拟预测)在AABC中,G为重心,AC=24,BG=2,则而•宓=
例19.(2022•四川达州♦二#(文))在△4BC中,G为重心,AC=2V3,BG=2,则巨?•宓=
例20.(2022•全国•高三专题练习(«))在△ABC中,点G是4ABC的重心,过点G作直线分别交线段AB,
于点N,M(M,N不与A4BC的顶点重合),则善色的最小值为________________.
'△CMG
例21.(2022•全国•高三专题练习)在△4BC中,AB=1,NABC=60°,而•而=一1,若。是△48。的重
心,则BOAC=.
例22.(2022•全国通三专题练习)如图,O是的重心,AB^a,左=立D是边上一点,且加=
3DC,历=%+”氏则4+〃=.
例23.(2022•直庆•三模)已知。为ZV1BC的重心,记51=4,赤=;,则冠=()
A.-2a—bB.—a+26C.a-2bD.2a,+b
例24.(2022•安微蚌埠•模拟覆测(理))已知点P是△ABC的重心,则下列结论正确的是()
A.(sin2A)PA+(sin2B)PB+(sin2C)FC=0
B.(sinA)PX+(sinB)丽+(sinC)圮=G
C.(tanA)Pl+(tanB)P^+(tanC)PC=0
D.PA+PB+PC=(5
例25.(2022•辽宁•二#)已知点P为A4BC的重心,43=3,4。=6,4=警,点。是线段BP的中点,则
I而|为()
A.2B.4C.V3D.4
例26.(2022•全国•高三专题练习)设。是平面上一定点,A、5、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
加=04+4(也+态)<C[0,+8),则p的轨迹一定通过△4吕。的()
A.外心B.内心C,重心D.垂心
例27.(2022•宁夏石嘴山•一模(理))已知G是△ABC重心,若司=2,|而|=何,则/.后守的值为
()
A.4B.1C.-2D.2
例28.(2022♦黑龙江•哈九中高三开学考试(<))数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次
指出:△ABC的外心O,重心G,垂心H,依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距
离的一半,该直线被称为欧拉线.若4B=4,4C=2,则下列各式不正确的是()
A.AG-BC-4^0.B.2GO^-GHC.AO-BC+6=0D.OH^OA+OB+OC
例29.(2022•湖北霍鄂州高中高三期末)在△力BC中,A=与,G为△ABC的重心,若怒•南=怒•就
O
=6,则△ABC外接圆的半径为()
A.V3B.C.2D.2瓜
O
例30.(2022•全国•高三专题练习(理))在&4BC中,A=告,O为△48。的重心,若•荏=ZS•/=
2,则△ABC外接圆的半径为()
A.圣B.岑^C.V3D.
OOO
例31.(2022•全国•南三专题练习)已知△ABC的三个内角分别为ABCO为平面内任意一点,动点P满足
ABAC
OP=OA+A"6(0,+8)则动点P的轨迹一定经过△AB。的()
|而卜inB+|AC|sinC
A.重心B.垂心C.内心D.外心
【方法技巧与总结】
三角形的重心一定在三角形的中线上,所以,在等式中显示出的现象是两个相加的向量,前面的系数相同,还
需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点.
题型三:内心定理
例32.(2022•全国•高三专题练习)若O在ZVIBC所在的平面内,且满足以下条件OA-
A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心
例33.(2022•全国•赤三专题练习)已知点。是平面上一定点,4,B,。是平面上不共线的三个点,动点P满
足加=52+4+Qe(0,+8)),则点p的轨迹一定通过△48。的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
例34.(2022•全国•高三专题练习)已知Rt&ABC中,45=3,AC=4,BC=5,/是△力的内心,P是
MBC内部(不含边界)的动点.若#=AAB+〃冠(九〃CR),则/I+〃的取值范围是.
例35.(2022•广西柳州•方一期中)设O为△46。的内心,AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+
nBC(,m,nWR),贝ljm+九=
例36.(2022♦全国•高三专题练习)△ABC中,a、6、c分别是BC、AC.的长度,若a•示+b•加+c•
定=0,则。是△48。的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
例37.(2022•全国•高三专题练习)在AABC中,4B=2AC,动点M满足AM■(BC+AC]=0,则直线AM
一定经过△48。的()
A.垂心B.内心C.外心D.重心
例38.(2022•全国•高三专题练习)已知A4BC的内角力,B,。所对的边分别为a,b,C.A4B。内一点“满
足:a•祝+b•屈+c•破=0,则M一定为△48。的()
A.外心B.重心C.垂心D.内心
例39.(2022•全国鹏三专题练习)已知。是△4BC所在平面上的一点,角4B、C所对的边分别为a,b,c,
若冏=。,力十代翌。股(其中P是△ABC所在平面内任意一点),则。点是AABC的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
【方法技巧与总结】
角平分做定理:若①砺=5,则乙408平分线上的向量两为娼+春),4由前决定.
tA
-b
Q+和
一
角平分线定现证明:令卷和卷分别为函和帚方向上的单位向量,⑹一_⑹£为一组邻边的
1。1\b\同lal
平行四边形过。点的的一条对角线,而此平行四边形为菱形,故在Z.AOB平分线上,但Z.AOB平
囱\b\
分线上的向量加终点的位置由而决定.当/!=1时,四边形OAMB构成以ZAOB=120°的菱形.
题型四:外心定理
例40.(2022•全国鹏三专题练习)在△ABC中,=4,4C=3,力■,点。为△ABC的外心,若彩=
O
AAB+/1AC,入〃GR,贝ij4=.
例41.(2022•全国•方三专题练习)已知。是平面上的一定点,Z,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满
足赤=%远rABAC'
}入e(0,+8),则动点p的轨迹一定通过的
.|AB|cosB|AC|COSC,
()
A.重心B.夕卜心C.内心D.垂心
例42.(2022•全国•模拟fl测)在AABC中,AB=2,AC=2代,BC=4,点O为的外心,则初•或
=,。是三角形ABC外接圆圆心O上一动点,则加•(两+用)的最小值为.
例43.(2022•全国•高三专题练习)设O为AABC的外心,若才5=旗+2AC,则sinZBAC的值为
例44.(2022•全国•高三专题练习)在&4BC中,点O为△ABC的外心,|荏|=6,则荏•
例45.(2022•宁夏六叠山高级中学二模(理))已知△ABC中,43=4。=1,6。=四,点O是4ABe的外
心,则乃也=.
例46.(2022•全国•高三专题练习)已知在△ABC中,AB=1,BC=遍,4。=2,点O为△ABC的外心,若
AO=sAB+tAC,则有序实数对(s,t)为.
例47.(2022•淅江•宁波诺丁汉渐中模拟演浏)在AABC中,点。、点H分别为△ABC的外心和垂心,|AB|=
5,|AC|=3,则方面=.
例48.(2022•河南逐城县栽育体育局我学研究宣二模(文))已知ZVIBC的外心为O,若赤+ZU=2AO,
且=|屈|,则B=.
例49.(2022•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系rroy中,见=(1,3),加=(3,1),OC=xOA+yOB
(其中x€R,y6J?).
(1)若点。在直线4B上,且5d_L荏,求电"的值.
(2)若点C为^OAB的外心,求点。的坐标.
例50.(2022•全国♦高三专题练习)设。为△ABC的外心,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若b=3,c=
5,则。X•宓=()
A.8B.-8C.6D.-6
B
例51.(2022•全国•高三专题练习)己知△ABC的外心为。,2AC=5BC=10,2OC-AB=()
A.11B.10C.20D.21
例52.(2022•全国•模拟覆测(理))在△ABC中,NABC=仔,O为ZVIBC的外心,朗•丽=2,安♦汨=
O
4,则巨?屈=()
A.2B.2V2C.4D.4V2
例53.(2022•江•苏•华罗庚中学高三阶段练习)在中,C4=2CB=4,R为AABC的外心,则两•荏
=()
A.-4B.4C.-6D.6
例54.(2022•江西上饶•二模(理))已知ZVLBC的外心为点O,A/为边上的一点,且丽=2面方2氏4。
=卷,用・疝=1』//1反7的面积的最大值等于()
O
A.率B.V3C.D.
zo4
例55.(2022•全国•南三专题练习)在4ABC中,角B,。的边长分别为b,c,点O为△力BC的外心,若从+c2
=2b,则宓•前的取值范围是()
A.[—1-,0)B.(0,2)C.[—D.[—十,2)
例56.(2022•全国•高三专题练习)已知平面向量OA,9满足OA-OB=0,\OB\=2,D为线段。4上一
点,E为△4QB的外心,则赤•丽的值为()
44
A.—2B.—C.可D.2
例57.(2022•全国•高三专题练习)在中,设而?一月音=•宓,那么动点河的轨迹必通过
△48。的()
A.垂心B.内心C.外心D.重心
【方法技巧与总结】
外心定理:垂直平分线的交点,到三个顶点的距离相等.
(l)AO-AB^^-\AB\2,Ad-AC^^-\AC\2;Bd-BC=^-\BC\2-,
(2)AO-AF^^\AB\2+^-\AC\2,Bd-BE^^-\AB\2+^-\BC\2,Cd-CD+--\AC\2;
(3)AO-BC=^\AC\2-^\AB\1,Bd-AC^-\BC\2-^-\BA\2,CO-AB^^-\BS\2-^-\AC\2.
题型五:垂心定理
例58.(2022•全国•高三专题练习)已知。为4ABC的垂心,且引+2OB+3OC=G,则角4的值为()
例59.(2022•全国•方三专题练习)设。是平面上一定点,力,8,。是平面上不共线的三点,动点P满足而
ABAC
=OA+A.,|AB|cosB+\AC\cosC}'/le[o,+8),则点p的轨迹经过八4口。的()
A.内心B.夕卜心
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