十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编新高考卷与全国专题02复数（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课

标理科卷)

专题02复数

..•1©真题汇总

1.【2022年全国甲卷理科01］若z=—1+Bi,则—7=()

ZZ—L

A.—1+V3iB.—1—V3iC.——4--iD.————i

3333

【答案】C

【解析】

z=-1—V3i,zz=(-1+V3i)(—1—V3i)=1+3=4.

z-14-V3i1V3.

----------------------=-------1-----i

zz-1333

故选：c

2.【2022年全国乙卷理科02］己知z=l-2i,且z+aZ+b=0,其中a,6为实数，贝U()

A.a=l,b=-2B.a=—l,b=2C.a=l,b=2D.a=-1,b=-2

【答案】A

【解析】

z=1+2i

z+dz+b=l—2i+a(l+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i

由z+—得(m，即修二

故选:A

3.【2022年新高考1卷02］若i(l-z)=1,则z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

由题设有l-z=：=5=—i,故z=l+i,故z+2=(l+i)+(l-i)=2,

故选：D

4.［2022年新高考2卷02】(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB,-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

(2+2i)(l-2i)=2+4—4i+2i=6-2i,

故选：D.

5.【2021年全国甲卷理科3】已知(l-i)2z=3+2i,则2=()

A.—1——iB.—1+—£C.—-+iD.———t

2222

【答案】B

(l-i)2z=-2te=3+2Z,

Z=-3-+--2-i=-(-3-+-2-1-Y-L=---2-+--3--/=—14-I—,3J.

-2i-2ii22'

故选：B.

6.【2021年新高考1卷2]已知z=2-i,则z(2+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.44-2i

【答案】C

因为z=2—力故Z=2+i,故zQ+i)=(2—i)(2+2p=4+4i-2i-2i2=6+2£

故选：C.

7.[2021年全国乙卷理科1】设20+2)+3(z一刃=4+6i,则z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

【答案】C

设z=a4-bi,则Z-a—bi,则2(z+Z)+3(z-z)=4a+6bi=4+6i,

所以,=3解得a=b=l,因此,z=1+i.

故选：C.

8.[2021年新高考2卷1】复数三在复平面内对应的点所在的象限为()

1—01

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

三=&喑也=誓=与，所以该复数对应的点为

l—ol1U10L//

该点在第一象限,

故选：A.

9.【2020年全国1卷理科01］若z=l+i,贝收2_2中()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】D

【解析】

由题意可得：z2=(1+i)2=2i,则z2-2z=2i-2(l+i)=-2.

故忆2_2z\=2|=2.

故选：D.

10.【2020年全国3卷理科02】复数丁=的虚部是()

1-3i

3113

A.—-B.——C.--D.—

10101010

【答案】D

【解析】

因为z=」—=——=—+-i,

1-3/(l-3i)(l+3i)1010

所以复数2=丁、的虚部为。.

故选：D.

11.【2020年山东卷02［三=()

l+2i

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【解析】

2-1(2-i)(l-2t)-5i

1+2i=(1+2i)(l-2i)=可

故选：D

12.【2020年海南卷02】恐=()

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【解析】

2T_(2-i)(l_2i)__5i__.

1+21―(l+2i)(l-2i)一~~

故选：D

13.【2019年新课标3理科02］若z（1+z）=2i,则z=)

A.-1-zB.-1+ZC.1-iD.1+i

【答案】解：由z（1+i）=23得

..2i,2i(l-i)

z~l+l~~2~

=l+i.

故选：O.

14.【2019年全国新课标2理科02］设z=-3+2i,则在复平面内5对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】解：：z=-3+2i,

：.z=-3-2i,

二在复平面内2对应的点为（-3,-2）,在第三象限.

故选：C.

15.【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z-4=1,z在复平面内对应的点为（x,y）,则（）

A.（x+1）2+y2=•B.（x-1）2+9=1

C.x2+（厂1）2=1D.x2+（y+1）2=1

【答案】解：在复平面内对应的点为（x,y）,

^•z=x+yi,

:.z-i=x+(y-1)i,

•*-\z-i\=y/x2+(y—l)2=1,

"+(>>-1)2=1,

故选：C.

16.[2018年新课标1理科01]设z=.,.+2z,则|z尸()

1

oB-c

A.2D.V2

【答案】解一=提+2，=矢繇+2=-计2,=,

贝!l|z|=l.

故选：C.

1+21

17.【2018年新课标2理科01】石=（)

A43.433434

'•-5-5ZB・一百+耳C.一耳一耳iD.一耳+耳i

l+2i(1+20(1+2034

【答案】解:-------=-----------------------=—―+

l-2i(l-2i)(l+2i)55

故选：D.

18.【2018年新课标3理科02](1+z)(2-z)=()

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

【答案】解：(Hi)(2-/)=3+i.

故选：£).

19.【2017年新课标1理科03】设有下面四个命题

pi：若复数z满足工6R,则Z6R；

Z

P2：若复数z满足Z2WR,则ZER；

P3：若复数Zl，Z2满足Z1Z2ER，则Z]=为；

P4：若复数z£R,则，ER.

其中的真命题为()

A.pi，P3B.pi，P4C.P2,P3D,P2,P4

【答案】解：若复数z满足4R,则ZWR,故命题0为真命题;

z

P2：复数z=i满足9=-1ER,则Z0R,故命题p2为假命题；

P3：若复数Zl=j,Z2=2i满足Z1Z2WR，但Z#石，故命题P3为假命题;

P4：若复数z£R,则，=zWR,故命题*为真命题.

故选：B.

3+i

2。.【2017年新课标2理科①】1=()

A.1+2/B.1-2/C.2+iD.2-i

.林士、3+i(3+i)(l-i)4-2i

【答案】解：——=-~~L=----=2-i,

1+i(l+i)(l-02

故选：D.

21.【2017年新课标3理科02】设复数z满足(1+z)z=2i,贝旭=()

1V2广

A.-B.-C.V2D.2

22

【答案】解:*/(1+z)z=2i,：.(1-0(1+i)z=2i(1-/),z=i+\.

则|z|=V2.

故选：c.

22.【2016年新课标1理科02］设(1+i)x^l+yi,其中x,y是实数，则|x+"|=()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】解：；(l+i)x=\+yi,

.".x+xi=\+yi,

即仁：;，解得t［:，即|户训=11+4=V2,

故选：B.

23.【2016年新课标2理科01］已知z=(〃什3)+(〃?-1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数加

的取值范围是()

A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+8)D.(-8,-3)

【答案】解：z=(加+3)+(〃?-1)，在复平面内对应的点在第四象限，

Im+3>0&订加

可得：\,解得-3VMVL

(771—1<0

故选：A.

4i

24.【2016年新课标3理科。2］若z=l+23则装工=<)

A.1B.-1C.zD.

414i4i

【答案】解：2=1+2、则

zz-1~(l+2i)(l-2i)-l"5^1-,

故选：C.

25.【2015年新课标1理科01】设复数z满足兰=i,则|z|=(

)

1—z

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】解「・复数Z满足告n

l+z=i-zh

Az(1+i)=/-1,

i-1

Z=7+T

A|z|=l,

故选：A.

26.【2015年新课标2理科02］若。为实数，且(2+山)(a-2/)=-43贝lja=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】解：因为（2+由）（4-2，）=-47,所以4〃+（/-4）i=-4/»

4〃=0,并且$-4=-4,

所以〃=0；

故选：B.

27.【2014年新课标1理科021—~~-2=()

(1-0

A.1+zB.1-zC.-1+iD.-1-i

(1+03_2i(l+i)

【答案】解:=—(1+i)=-

(l-o2―-2i

故选：D.

28.（2014年新课标2理科02】设复数zi,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,zi=2+i,则ziz2=（

A.-5B.5C.-4+zD.-4~i

【答案】解：zi=2+i对应的点的坐标为（2,1）,

•••复数ZI,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，

，（2,1）关于虚轴对称的点的坐标为（-2,I）,

则对应的复数，Z2=-2+i,

则z\z2—（2+j）（-2+f）—i2-4--1-4--5,

故选：A.

29.【2013年新课标1理科02】若复数z满足（3-4/）z=\4+3i\,则z的虚部为（）

44

A.-4B.一vC.4D.-

55

【答案】解：•••复数Z满足（3-4i）z=|4+3i|,.上空"=3=5（瑟旬=1+

O1I«J1I乙。QKJ

4

故z的虚部等于g,

故选：D.

30.[2013年新课标2理科02]设复数z满足（1-i）z=2z,则z=（）

A.~1+zB.~1-zC.1+iD.1-i

【答案】解：•.•复数z满足z（l-i）=2i,

.2i2i（l+i）-.

•­z=r=7=（i-i）（i+o=-1+,

故选：A.

31.【2020年全国2卷理科15】设复数Zi，Z2满足。1|=忆2|=2,zx4-z2=V3+i,JUOlZi-z2|=

【答案】2V3

【解析】

•・•怙1|=\z2\=2,可设Zi=2cos6+2sin0-i,z2=2cosa+2sina•I,

・•・Zi+Zz=2(cos0+cosa)+2(sin0+sina)-1=73+1,

..J2(,os'+cosa)—H,两式平方作和得：4Q+2cos0cosa+2sin0sina)=4,

(2(sin0+sina)=1

化简得：cosOcosa+sinflsina=—1

・•・|zi-z2\=|2(cos0-cosa)4-2(sin0-sina)-i\=J4(cos6—cosa)2+4(sin6—sinot)2

78—8(cos6cosa4-sinffsina)="8+4=2V3.

故答案为：2V3.

©模拟好题

1.已知复数2满足(1一。(1+2)=2—3则复数2在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

♦.•(l-i)(l+z)=2-i,，z=三一1==

2=清蒜=《+夕，，复数Z在复平面内对应的点为(》9，

故复数Z在复平面内对应的点在第一象限，

故选：A.

2.已知四=2i(i为虚数单位)，则2=()

Z—1

.4，3•34.43.

A-B.------1C.1+白D.——1

5555

【答案】D

【解析】

由题设z+i=2zi—2i2=2zi+2,则(2i-l)z=i-2,

(i-2)(2i+l)_4+3i_4-3i

z=/=

所以(2i-l)(2i+l)-51改Z-■

zi-i5

故选：D

3.已知复数a2-4+(a-2)i是纯虚数(i为虚数单位)，则a=()

A.2或一2B.2C.-2D.0

【答案】c

【解析】

因为复数。2-4+(a-2)i是纯虚数，

所以a2一4=0且aH2,

所以a——2.

故选：C.

4.已知复数z=l+i,则归？+z|=()

A.VToB.4C.3V2D.10

【答案】A

【解析】

复数z=1+i,则z2=(1+i)2=2i.

22

故忆2+z|=|1+3i|=Vl+3=V10,

故选：A

5.在复平面内，复数z=1l对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

l-2i(l-2i)(-i)

z=-----=--=-2o-1,

ii(->)

所以复数Z在复平面上的对应点为(-2,-1),该点在第三象限.

故选：C.

6.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则上2=()

Z—1

A.-2-2iB.1-iC.24-2iD.1-2i

【答案】D

【解析】

由题意得z=-1+2i,

所以詈=岸侬=芋=1一

故选：D.

7.设的/2为复数，药,药分别是句修2的共加复数，满足Z「Z2=|Z1|2,则下列一定成立的是()

C.z=0

A.ZI=z2B.z7=z22D.z2=zi

【答案】B

【解析】

设Zi=a+bi(a,deR),

则/=哗=G+女丁吗=&_与所以c错

za+b\a+biar+b2

=a+Z?i,

当bHO时，Z]WZ2，Z2工石，A错，D错，

z7=a-hi=z2,B对，

故选：B.

8.已知i为虚数单位，“为实数，复数z=^在复平面内对应的点在y轴上，则。的值是()

A.-2B.-iC.iD.2

22

【答案】A

【解析】

._a-2i_(a-2i)(l+i)_a+2+(a-2)i_Q+2(a-2)i

田?=~=(l-i)(l+i)=2=2，

因为复数z在复平面内对应的点在y轴上，所以等=0,等ro,

则Q=-2

故选：A

9.已知复数2=l+3i,贝壮=()

Z

.1,3.「13.

A-而+B.而一行】

八1।3.c13.

C一行+«ID.一而一行I

【答案】A

【解析】

因为2=l+3i,所以z=l-3i,

.11l+3il+3i1,3.

r|j)rr/ItL/-=-----=----------------=------——|-----i

'八1zl-3i(l-3i)(l+3i)101010

故选A.

10.在复平面上表示复数z的点在直线x—y=O上，若z是实系数一元二次方程产+血％+4=0的根，则m

=()

A.夜或-迎B.夜或2夜

C.2&或一2企D.-V2BK-2V2

【答案】C

【解析】

设z=a+ai(aGR),则(a+ai)2+m(a+ai)+4=0,

化简2a2»+ma+mat+4=0.即(ma+4)+(ma+2a2)i=0,

所以[7n上，=0,解得巾=2a或一2a,

故选：C.

11.已知复数Zi，Z2,则下列说法正确的是()

A.若|z/=㈤,则Z1=±Z2B.若z"z§,则|z/=㈤

C.若口|>匿],则Z1>Z2D.若(Z1+Z2)(Z1—Z2)=0,则/=Z；

【答案】BD

【解析】

对于A>若Zi=1+i,Z2=V2i»则满足|z)J=。|=V2,而不满足z1=±z?,所以A错误，

对于B,由Z§=Z；,得Z孑—Z：=(Z1+Z2)(Z1—Z2)=0,

所以Z1+Z2=0或Z1—Z2=0,所以Z1=—Z2或Z1=Z2，所以。|=%],所以B正确，

对于C,因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，

对于D,由(Z1+Z2)(Z[-Z2)=0,得zj-z刍=0,所以就=z：,所以D正确，

故选：BD

12.在复数范围内，下列命题不正确的是()

A.若z是非零复数，则z-2不一定是纯虚数

B.若复数Z满足z2=-罔,则Z是纯虚数

C.若z彳+z；=0,则Zi=0且Z2=0

D.若Zi，Z2为两个复数，则Zi-豆一定是实数

【答案】BCD

【解析】

对于A,设2=a+bi(a,b6R),z=a-bi,z-，=2bi,但有可能b=0,就不一定是纯虚数，故A正确;

对于B,设2=a+bi(a,b6R),z2=a2—h2+2abi,|z2|=^/(a2-b2)2+4a2b2=a2+b2>

2_2

(2ab=0

因为Q,b可同时为0,所以z不一定是纯虚数，故B错误；

对于C,若Zi=l,Z2=i,z彳+z；=0,故C错误；

对于D,设Zi=a+bi,z2=c+d\(a,b,c,dG/?),则药=c—di,

所以Zi—a=(a—c)+(b+d)i不一定是实数，故D不正确.

故选:BCD.

13.已知Zi，Z2均为复数，则下列结论中正确的有()

A.若怙1|=⑸卜则Z1=±Z2B.若21=豆，则Z1+Z2是实数

2

C.(Zi-z2y=|Z1-z2\D.若Z1+Z2=O,则Zi豆是实数

【答案】BD

【解析】

为=1,Z2=-i，|z/=。|而ZiH±Z2，A错.

令Zi=a+bi,则Z2=a—bi,Zi+Z2=2a为实数，B对.

2

Zi=l,z2=i»(Zi-z2V=-2i,|Zi-z2\=2,则(z]一z2)?羊。一ZzF，C错.

令Zi=a+bi,则Z2=—Q—bi,Z2=—Q+bi,

Z1・z?—(CL+bi)(—Q+bi)=-Q2—b2为实数,D对，

故选:BD

14.欧拉公式ei"=cos%+isin%(本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创

立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天

桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是()

A.复数e专为纯虚数

B.复数十对应的点位于第二象限

C.复数eW的共貌复数为苧-浓

D.复数十(。6R)在复平面内对应的点的轨迹是圆

【答案】ABD

【解析】

解：对A；因为复数e学=85个+15也]=1为纯虚数，故选项A正确；

对B：复数e，2=cos2+isin2,因为cos2V0,sin2>0,所以复数数对应的点为(cos2,sin2)位于第二象限,B

正确；

对C:复数6e=853+15皿3=；+血1的共匏复数为二一立1,故选项C错误；

对D：复数e®=cos。+isin火。GR)在复平面内对应的点为(cos。,sin。)，

因为cos28+sin20=l,所以复数eM(JeR)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.

故选：ABD.

15.已知复数z满足方程(Z2-4)(Z2—4Z+5)=0,则()

A.z可能为纯虚数B.方程各根之和为4c.z可能为2-iD.方程各根之积为-20

【答案】BCD

【解析】

由(z2-4)(z2-4z+5)=0,得z2-4=0或z?-4z+5=0>

即z?=4或(z—2)2=一1,

解得：2=±2或2=2±1,显然A错误，C正确；

各根之和为-2+2+(2+i)+(2—i)=4,B正确；

各根之积为一2X2X(2+i)(2-i)=-20,D正确

故选：BCD.

16.复数z满足z=2-i(其中i为虚数单位)，则|z|=.

【答案】V5

【解析】

由已知可得|z|=02+(_i)2=V5.

故答案为：V5.

17.已知i为虚数单位，则复数2=竽

74-1-------------------

【答案】答国.

【解析】

曙="衣岛=后濡怂=后十常争,

故答案为：誓-gi.

18.已知复数z=M^,则z-2=

【答案】；##0.25

4

【解析】

i(l+V3i)-V3+i伍_-V3+i-V3-i3+11

z=(i-忖)(1+后)=='故z.z=F-------

故答案为：；

4

19.若1-gi(i是虚数单位)是关于X的实系数方程X2+bx+c=0的一个复数根，则心=

【答案】^##0.0625

16

【解析】

；实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个虚根为1一V3i.

,其共轨复数1+V3i也是方程的根.

由根与系数的关系知，一倔n+K"，

((1-V3i)(l+V3i)=c

/.b=-2,c=4.

cb=4-2=工

16

故答案为：!

lo

20.如果复数z满足|z+l—i|=2,那么|z-2+i|的最大值是.

【答案】2+vn##g+2

【解析】

设复数Z