高中数学课堂情景引入经典案例

高中数学课堂情景引入经典案例

目录

1.集合的含义与表示...........................................................7

2.集合间的基本关系...........................................................7

3.集合的基本运算.............................................................8

4.补集........................................................................8

5.函数的概念..................................................................8

6.函数的表示法...............................................................9

7.分段函数....................................................................9

8.函数的单调性...............................................................9

9.函数的最值.................................................................10

10.奇偶性....................................................................10

11.根式....................................................................10

12.分数指数累................................................................11

13.指数函数及其性质.........................................................11

14.指数函数性质的应用.......................................................11

15.对数......................................................................11

16.对数的运算性质...........................................................12

17.对数函数及其性质.........................................................12

18.对数函数性质的应用.......................................................12

19.W函数..................................................................12

20.函数模型的应用实例.......................................................13

21.棱柱、棱锥、棱台的结构特征...............................................13

22.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征..........................................14

23.空间几何体的三视图.......................................................14

24.空间几何体的直观图.......................................................14

25.柱体、锥体、台体的表面积与体积..........................................14

26.球的体积和表面积.........................................................15

27.平面与平面之间的位置关系.................................................15

28.直线与平面平行的判定.....................................................15

29.平面与平面平行的判定.....................................................15

30.直线与平面平行的性质.....................................................16

31.平面与平面平行的性质.....................................................16

第1页共80页

32.直线与平面垂直的判定.....................................................16

33.平面与平面垂直的判定.....................................................16

34.平面与平面垂直的性质.....................................................17

35.两点间的距离公式.........................................................17

36.两条平行直线间的距离.....................................................17

37.圆的标准方程..............................................................17

38.圆的一般方程.............................................................18

39.直线与圆的位置关系.......................................................18

40.圆与圆的位置关系.........................................................18

41.直线与圆的方程的应用.....................................................18

42.空间两点间的距离公式.....................................................19

43.算法的概念................................................................19

44.程序框图、顺序结构.......................................................19

45.条件结构.................................................................20

46.循环结构.................................................................20

47.输入语句、输出语句和赋值语句............................................20

48.条件语句.................................................................20

49.循环语句.................................................................21

50.辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法......................................21

51.进位制....................................................................21

52.简单随机抽样.............................................................21

53.系统抽样.................................................................22

54.分层抽样.................................................................22

55.用样本的频率分布估计总体分布............................................22

56.用样本的数字特征估计总体的数字特征......................................22

57.两个变量的线性相关.......................................................22

58.随机事件的概率...........................................................23

59.概率的意义...............................................................23

60.(整数值)随机数(randomnumbers)的产生.......................................23

61.几何概型..................................................................23

62.三角函数.................................................................24

63.任意角....................................................................24

64.弧度制....................................................................25

65.三角函数的定义...........................................................25

第2页共80页

66.三角函数线...............................................................26

67.同角三角函数的基本关系...................................................26

68.诱导公式二、三、四.......................................................26

69.诱导公式五、六............................................................26

70.正弦函数、余弦函数的图象.................................................27

71.周期函数..................................................................27

72.正、余弦函数的性质.......................................................28

73.画函数y=Asin（o）x+（p）的图象................................................28

74.函数y=Asin（cox+（p）的性质及应用..........................................29

75.向量加法运算及其几何意义.................................................29

76.想一想，向量a、b、c有何关系？..........................................30

77.向量数乘运算及其几何意义.................................................30

78.平面向量基本定理.........................................................30

79.平面向量的坐标运算.......................................................31

80.平面向量共线的坐标表示...................................................31

81.平面向量数量积的物理背景及其含义........................................31

82.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角......................................31

83.平面向量应用举例.........................................................32

84.三角恒等变换.............................................................32

85.两角差的余弦公式.........................................................32

86.两角和与差的正弦、余弦...................................................33

87.两角和与差的正切.........................................................33

88.二倍角的正弦、余弦、正切公式............................................33

89.三角恒等变换.............................................................34

90.解三角形.................................................................34

91.正弦定理..................................................................35

92.余弦定理.................................................................35

93.正、余弦定理的综合应用...................................................35

94.距离问题.................................................................36

95.高度、角度问题...........................................................36

96.数列......................................................................36

97.数列的概念与简单表示法...................................................37

98.数列的递推公式...........................................................37

99.等差数列的概念与通项公式.................................................37

第3页共80页

100.等差数列的性质..........................................................38

101.等差数列的前n项和......................................................38

102.等差数列前n项和公式的应用.............................................38

103.等比数列的概念与通项公式...............................................39

104.等比数列的性质..........................................................39

105.等比数列的前n项和......................................................39

106.数列求和................................................................40

107.不等式..................................................................40

108.不等关系与不等式的性质..................................................41

109.不等式性质的应用........................................................41

110.一元二次不等式及其解法...................................................41

111.含参数一元二次不等式的解法..............................................42

112.二元一次不等式(组)与平面区域............................................42

113.线性规划的概念..........................................................43

114.线性规划的应用..........................................................43

115.基本不等式..............................................................43

116.基本不等式的应用一证明与最值问题.......................................43

117.逻辑用语................................................................44

118.命题..................................................................44

119.四种命题间的相互关系.....................................................45

120.充分条件与必要条件......................................................45

121.充要条件习题课..........................................................45

122.简单的逻辑联结词........................................................46

123.非(not).....................................................................................................................................46

124.全称量词与存在量词.......................................................46

125.含有一个量词的命题的否定...............................................47

126.圆锥曲线................................................................47

127.椭圆及其标准方程........................................................48

128.椭圆的简单几何性质......................................................48

129.双曲线及其标准方程......................................................48

130.双曲线的简单几何性质....................................................49

131.抛物线及其标准方程......................................................50

132.抛物线的简单几何性质....................................................50

133.导数.....................................................................50

第4页共80页

134,导数的概念................................................................51

135.导数的几何意义..........................................................51

136.几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式............................52

137.导数的运算法则..........................................................52

138.函数的单调性与导数......................................................52

139.函数的极值与导数........................................................52

140.函数的最大（小）值与导数..................................................53

141.生活中的优化问题举例....................................................53

142.统计.....................................................................53

143.回归分析的基本思想及其初步应用.........................................54

144.独立性检验的基本思想及其初步应用.......................................54

145.推理与证明..............................................................54

146.合情推理................................................................55

147.演绎推理................................................................56

148.综合法与分析法..........................................................56

149.复数代数形式的加减运算及其几何意义.....................................58

150.框图.....................................................................59

151.结构图.................................................................60

152.逻辑用语................................................................60

153.命题...................................................................60

154.四种命题..................................................................61

155.四种命题间的相互关系....................................................62

156.充分条件与必要条件.......................................................62

157.充要条件................................................................62

158."且''与"或”...............................................................62

159.“非”......................................................................63

160.全称量词1.4.2存在量词................................................63

161.含有一个量词的命题的否定................................................63

162.椭圆及其标准方程........................................................63

163.椭圆的简单几何性质......................................................64

164,直线与椭圆的位置关系......................................................64

165.双曲线及其标准方程......................................................64

166.双曲线的简单几何性质....................................................64

167.直线与双曲线的位置关系..................................................65

第5页共80页

168.抛物线及其标准方程......................................................65

169.抛物线的简单几何性质....................................................65

170.直线与抛物线的位置关系..................................................66

171.空间向量.................................................................66

172.空间向量的数乘运算......................................................66

173.空间向量的正交分解及其坐标表示.........................................66

174.空间向量运算的坐标表示..................................................67

175.空间向量与平行关系......................................................67

176.空间向量与垂直关系......................................................67

177.空间向量与空间角、距离..................................................67

178.变化率问题..............................................................68

179.导数的概念..............................................................68

180.导数的几何意义..........................................................68

181.几个常用函数的导数......................................................68

182.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.................................68

183.函数的单调性与导数......................................................69

184.函数的极值与导数........................................................69

185.函数的最大（小）值与导数..................................................69

186.生活中的优化问题举例....................................................69

187.曲边梯形的面积与汽车行驶的路程.........................................70

188.定积分的概念............................................................70

189.微积分基本定理..........................................................70

190.合情推理................................................................71

191.综合法与分析法..........................................................71

192.反证法...................................................................71

193.数学归纳法..............................................................72

194.数系的扩充与复数的概念..................................................72

195.复数的几何意义..........................................................72

196.复数代数形式的加减运算及其几何意义.....................................73

197.复数代数形式的乘除运算..................................................73

198.分类加法计数原理与分步乘法计数原理.....................................73

199.两个基本原理的应用......................................................73

200.排列（一）...............................................................74

201.排列（二）.................................................................74

第6页共80页

202.组合（一）...............................................................74

203.组合（二）.................................................................75

204.二项式定理..............................................................75

205.“杨辉三角”与二项式系数的性质...........................................76

206.离散型随机变量及其分布列................................................76

207.离散型随机变量..........................................................77

208.离散型随机变量的分布列..................................................77

209.条件概率................................................................77

210.事件的独立性............................................................78

211.独立重复试验与二项分布..................................................78

212.离散型随机变量的均值....................................................78

213.离散型随机变量的方差....................................................79

214.正态分布................................................................79

215.独立性检验的基本思想及其初步应用.......................................80

1.集合的含义与表示

一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数

学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数

学家很难回答那位渔民.

有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中

跳动.数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”

问题1：数学家说的集合是指什么？

问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？

2.集合间的基本关系

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根据集合的定义，我们知道集合有无数多个，可以用集合来区分事物.如（四

足动物｝，｛两足动物｝,｛绿色植物｝,｛菌类植物｝,｛植物｝，｛动物｝，｛汽车｝.但

有些集合之间有密切的关系.如｛四足动物｝与｛动物｝,前一个集合的元素都是后

一个集合的元素，且后一个集合元素的个数比前一个集合元素的个数多很多，这

两个集合之间的关系如何用简短的数学语言来表达呢？学完本节内容就明白了!

3.集合的基本运算

已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多

少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判

断吗？

事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出

的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道

“有兄弟且有姐妹的同学的人数”.应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰

地描述并解决上述问题了.

4.补集

如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，

你如何完成这件事呢？

你不可能直接去找张三、李四、王五、……，一一确定出谁去参加吧？如果

按这种方法做这件事情，可就麻烦多了.若确定出4位不参加比赛的同学，剩下

的56名同学都参加，问题可就简单多了.不要小看这个问题的解决方法，它可

是这节内容（补集）的现实基础.

5.函数的概念

某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6

斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元.此人挑了一个西瓜，称

重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧.可这位聪明的顾客马上说，你

不仅没少要，反而多收了我的钱.当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实

收了钱.同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？

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6.函数的表示法

如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文

武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我

们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用

“斗南一人”来形容他.那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？

7.分段函数

某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌

和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和

记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1,J为11,。为12,K为13,其

余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的

牌号乘2加3后乘5,再减去25,把计算结果告诉表演者（要求数值绝对准确）,

表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？

8.函数的单调性

德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进

程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢.他认为“保持和遗忘是时

间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆

遗忘曲线.如下图：

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这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记

忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了.这条曲线表明了遗忘规律是

“先快后慢”.通过这条曲线能说明什么数学问题呢？

9.函数的最值

你知道2008年北京奥运会开幕式时间为什么由原定的7月25日推迟到8

月8日吗？

通过查阅资料，我们了解到开幕式推迟的主要原因是天气，北京的天气到8

月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国

际体育赛事.

在日常生活中，我们会关心很多数据的变化（如食品的价格、燃油价格等）,

所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变

大还是变小的问题，也就是本节我们所要研究的函数的最值问题.

10.奇偶性

大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生

命.被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双

翅的海鸥.它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞

向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩.一些函数的图象也有着如此

美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？

11.根式

关于根号的故事，最有价值和意义的当属也的发现，它导致了第一次数学

危机，并促使了逻辑学和几何学的发展.

公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯

学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石.而“一切数均可表示

成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰.

对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的

正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数

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表示，而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数

V2的诞生.小小也的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴.史称

“第一次数学危机”.希帕索斯也因发现了根号2,憾动了学派的基石而被扔进

大海.

12.分数指数幕

牛顿是大家所熟悉的物理学家，你知道他在数学上的贡献吗？他在1676年

6月13日写给莱布尼茨的信里面说：“因为数学家将这，。加，叔如等写成

L1—11111

&4等，所以可将g,...写成,。2…；将)—,菰；…写成相I，a

晨3…”正是由于牛顿的这一发现，才使得正整数指数累推广到了任意实数

指数幕.本节我们就一起来探究一下指数幕的扩充过程.

13.指数函数及其性质

2010年11月1日，全国人口普查全面展开，而2000年我国约有13亿人

□.我国政府现在实行计划生育政策，人口年增长率较低.若按年增长率1%计

算，到2010年底，我国人口将增加多少？到2020年底，我国人口总数将达到

多少？如果我们放开计划生育政策，年增长率是2%,甚至是5%,那么结果将

会是怎样的呢？会带来灾难性后果吗？

14.指数函数性质的应用

宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14,并能与氧结合形成二氧化碳后进

入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要植物或动物生存着，它们就

会持续不断地吸收碳14,在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会

停止呼吸碳14,其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质，

只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代.这就是考古学家常用的

碳14测年法.你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？

15.对数

“对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”.他最早用

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“人造的数”来表示对数.

俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学

题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法,

醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是

数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高！那

么，“对数”到底是什么呢？学完本节内容就明白了！

16.对数的运算性质

已知对数logs64,log264,log28,log464,log48.

对数logs64的值与对数log264和log28的值有什么关系？

对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？

由上面的问题你能得出什么结论？

17.对数函数及其性质

我们所处的地球正当壮年，地壳运动还非常频繁，每年用地震仪可以测出的

地震大约有500万次，平均每隔几秒钟就有一次，其中3级以上的大约只有5万

次，仅占1%,7级以上的大震每年平均约有18次，8级以上的地震每年平均仅1

次，那么地震的震级是怎么定义的呢？这里面就要用到对数函数.

18.对数函数性质的应用

一个驾驶员喝了酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒

之后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少.为了保证交通安全，某地

交通规则规定：驾驶员血液中的酒精含量应不大于0.08mg/mL,问若喝了少量酒

的驾驶员至少过多少时间才能驾驶？

19.塞函数

数学史上很早就借用“事”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或

立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811〜1882)译成《代微积拾级》一书，

创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词

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译为“毒”.这样“幕”就转译为若干个相同数之积.

大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的

乘积.直到17世纪才开始出现在事的符号中将指数与底数分开来表示的趋势.

1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指

数，写在底数的右上角，如“A不，写作“A"'"，这种记法与现在相比较，除了数

字采用罗马数字外，其余完全一样.一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了

改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子。此后由英国数学家渥里

斯(Wallis,1616〜1703)、牛顿等人分别引入负指数基和分数指数幕的概念及符

号，从而使基的概念及符号发展得更完备了。那么，什么是累？暴与又有什

么关系呢？

20.函数模型的应用实例

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了

扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施.经调查发现，

如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件.于是商场经理决定每件

衬衫降价15元.那么经理的决定正确吗？

这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决.

21.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

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观察下列空间几何体：有什么共同特征？

22.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

观察下列实物图，你能说明由该实物图抽象出的几何体与多面体有何不同

吗？

23.空间几何体的三视图

从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐

山真面目，只缘身在此山中.”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也

各有不同，我们通常用三视图把几何体画在纸上.

24.空间几何体的直观图

皮影戏，又称影子戏或灯影戏，是一种用灯光照射兽皮或纸板做成的人物剪

影以表演故事的民间戏曲.表演时，艺人们在白色幕布后面，一边操纵戏曲人物,

一边用当地流行的曲调唱述故事，同时配以打击乐器和弦乐，有浓厚的乡土气

息.在河南、山西等地的农村，这种拙朴的民间艺术形式很受人们的欢迎.皮影

戏和太阳光照射成像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件.皮影戏

中的成像与太阳光成像原理一样吗？

25.柱体、锥体、台体的表面积与体积

北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成

为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了

内部开放面积，并建成了大型的水上乐园.经营方出于多种考虑，近几年内“水

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立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊

显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩.能否计算出“水立方”外

墙所用显示屏的面积？

26.球的体积和表面积

观察下面的几何体，你能求出它们的体积和表面积吗？

空间中直线与直线之间的位置关系观察下图中的NAOB与NA'O'B'.

这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？

27.平面与平面之间的位置关系

观察我们的教室，教室的墙面、地面、天花板均可抽象成平面，把日光灯抽

象成一条直线，那么日光灯所在直线与墙面、地面、天花板有何位置关系？

28.直线与平面平行的判定

门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论

转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面（墙

面）存在不变的位置关系.

29.平面与平面平行的判定

2011年10月160,在日本举行的世界体操锦标赛上，中国男子体操队在

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男团夺冠后，队长陈一冰在吊环比赛中获得冠军，这是他第四次获得世锦赛吊环

冠军.吊环项目对运动员双臂力量要求很高，所有动作均由双臂支撑完成.“水

平十字”是吊环的标志性动作，要求运动员在双臂支撑下，在空中将身体舒展，

所形成的平面与地面平行，身体躯干与双臂要形成“十字”形，且需静止两秒以

上.在比赛中，裁判只要观察运动员双臂、躯干是否与地面平行，即可判断该动

作是否标准.

30.直线与平面平行的性质

将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察过书脊的

每页纸和桌面的交线与书脊的位置.

31.平面与平面平行的性质

2010年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印象，作为

东道主的