人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第三章第1节　导数的概念及其意义、导数的运算

第1节导数的概念及其意义、导数的运算

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0选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

导数的概念与运算1,2,912

导数的几何意义4,5,6,1014,1517

函数与导数的综合3,7,8,111316

A级基础巩固练

L(多选题)以下运算正确的是(BC)

A.(-)'=—rB.(cosx)'=-sinx

Xxz

C.⑵)'=2xln2D.(1gX”二一一

xlnlO

解析:对于A,由于(3'=-之所以A不正确;对于B,由于(cosx)'=

-sinx,所以B正确;对于C,由于⑵)'=2xln2,所以C正确；对于D,

由于(lgx)'=士，所以D不正确•故选BC.

xlnlO

2.(2021•广东肇庆高三联考)已知函数f(x)=ei+xlnx,则f'⑴等

于(D)

A.0B.1C.eD.2

解析：因为f(x)=e*r+xlnx,所以f'(x)=e'i+l+lnx,所以f'(1)=

e1-1+l+ln1=2.

故选D.

3.若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为

C)

A.f(x)=3cosxB.f(x)=x+x2

C.f(x)=l+sin2xD.f(x)=ex+x

解析:A项中，伊(x)=-3sinx,是奇函数，图象关于原点对称,不关于y

轴对称;B项中，f'(x)=3x2+2x=3(x+/《其图象关于直线x=q对

称;C项中，f'(x)=2cos2x,是偶函数，图象关于y轴对称;D项中，

f'(x)=e*+l,由指数函数的图象可知该函数的图象不关于y轴对称.

故选C.

4.若直线y=-2x+b为曲线y=x-e*的一条切线，则实数b的值是(D)

A.In3-3B.31n3+3

C.In3+3D.31n3-3

xzxx

解析：设切点为(xo,x0-e°),由y=x-e*得y=l-e,所以l-e°=-2,得

e&=3,得x0=ln3.所以切点为Qn3,In3-3),所以In3-3=-21n3+b,

得b=31n3-3.故选D.

5.(2021•湖南永州二模)曲线f(x)=21nx在x=t处的切线1过原点，

则1的方程是(A)

A.2x-ey=0B.2x+ey=0

C.ex-2y=0D.ex+2y=0

解析：曲线f(x)=21nx的导数为『(x)*,设切点坐标为(t,21nt),

X

因此切线i的斜率k=fz(t)4又直线i过原点,所以卜=学三乏,得

tt-ut

Int=l,t=e,所以k=-,故切线1的方程为y-2=-(x-e),即2x-ey=0.故

ee

选A.

6.(多选题)(2021•江苏淮安高三联考)若直线y=1x+b是函数f(x)图

象的一条切线，则函数f(x)可以是(BCD)

A.f(x)=-B.f(x)=x'

X

C.f(x)=sinxD.f(x)=ex

解析:直线ygx+b的斜率为k=1.

由f(x)上的导数为f'(x)=-4,即切线的斜率小于0,故A不正确；

由f(x)=x"的导数为f'(x)=4x,而4xg,解得x=1,故B正确；

由f(x)=sinx的导数为f(x)=cosx,而cosx=：有解,故C正确；

由f(x)=e'的导数为f'(x)=e1而由e=|,解得x=Tn2,故D正确.故

选BCD.

7.(2021•江苏连云港高三联考)定义方程f(x)=f'(x)的实数根x。

叫做函数f(x)的“保值点”.如果函数g(x)=x与函数h(x)=ln(x+l)

的''保值点”分别为a,B,那么a和B的大小关系是(B)

A.a<0B.a>B

C.a=BD.无法确定

解析：由题可得g'(x)=l,h'(x)=1，由"保值点”的定义可知a=l,

x+1

记0(x)=ln(x+l)-2，则J(x)二+(七)2>0,故。(x)在定义域上单

x+1x+1\x+17

调递增.

由夕(0)=-1<0,夕⑴=ln2-|=ln2—ln证>0,因此。〈B<1,所以a>B.

故选B.

8.(2021•江西吉安高三联考)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，

且当x<0时,f(x)=^，则曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为

(A)

A.y=2ex-eB.y=~2ex-e

C.y=2ex+3D.y=-2ex+e

解析：函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=4.

ex

设x>0,贝卜x<0,因此f(-x)=-^=-xex,

由函数f(x)是奇函数可知f(x)=-f(-x)=xe;

即当x>0时f(x)=x•ex,f'(x)=(x+l),e*,

又f(l)=e,k=f'(l)=2e.

y=f(x)在点(l,f(D)处的切线方程为y=2ex-e.故选A.

9.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位:n?)与融化时间t(单位:h)近

似满足函数关系:V(t)=H(10-A)3(H为常数)，其图象如图所示.记此

堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为了(nf7h),那么3t2,t3,t4中,

瞬时融化速度等于万(m3/h)的时刻是图中的.

解析:H端詈反映的是V(t)图象与两坐标轴交点连线的斜率,

如图,观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致.

答案:t3

10.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”

的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率n的

精度较高的近似值,这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直

代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线近似代替

在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)=e-.则f'(x)=,其

在点(0,1)处的切线方程为.

解析：因为f(x)=e",

故f'(x)=(x2)/ex2=2xex2,

则f'(0)=0,故曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=l.

答案：2xe/y=l

n.设函数f(x)=g(2x-L)+x2,曲线y=g(x)在点(l,g(l))处的切线方程

为y=2x+l,则

#(1)=.

解析：把x=l代入y=2x+l,解得y=3,即g(1)=3,由y=2x+l的斜率为2,

得到g'⑴=2.

因为f'(x)=2g'(2x-l)+2x,

所以f'(l)=2g'(l)+2=6.

答案：6

B级综合运用练

12.(2021•江苏徐州高三期末)假设某放射性同位素的衰变过程中，

其含量P(单位：贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P02高，

其中P。为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位

素的瞬时变化率为-喑,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变

所需时间为(D)

A.20天B.30天C.45天D.60天

解析：由P(t)=Po2-茄得P'(t)=-京,Po•2"30•In2,因为t=15时，该

放射性同位素的瞬时变化率为-空吧,即P'(15)=-萼P。=-噜^解

106010

得P°=18,贝ijP(t)=18・2一最

当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)=4.5,所以18-2*=4.5,

即2高。所以-5=-2,解得t=60.故选D.

13.(多选题)若以函数y=f(x)的图象上任意一点P(xi,y)为切点作切

线L,y=f(x)图象上总存在异于点P的点Q(X2,yl,使得以Q为切点的

直线k与L平行,则称函数f(x)为“美函数”，下面四个函数中是“美

函数”的是(BC)

：i

A.y=x-2xB.y=3x+X-

C.y=cosxD.y=(x-2)2+lnx

解析：由题意可知函数是“美函数”的条件是方程yz=a(a是导数值)

至少有两个根.

对于A,由y'=3x2-2,当y'=-2时,x的取值只有0是唯一的，因此不

符合题意；

对于B,由y'=3-4=a(x#0,且a<3),即2=3-a,此方程有两个不同的

根,符合题意；

对于C,由y'=-sinx及其周期性可知-sinx=a(TWaWl)的解有无

穷多个,符合题意；

对于D,由y'=2x-4+工(x>0),令2x-4+^=a,则有2x，-(4+a)x+l=O,当

XX

△=0时一,解唯一,不符合题意.故选BC.

14.(2021•河北石家庄高三开学考试)函数f(x)=sin2x在原点(0,0)

处的切线方程为,请你举出与函数f(x)=sin2x在原点处具

有相同切线的一个函数:.

解析：由f(x)=sin2x得f,(x)=2cos2x,所以函数f(x)在原点(0,0)

处的切线斜率为卜=尹(0)=2,因此函数f(x)在原点(0,0)处的切线方

程为y=2x.

因为函数f(x)=sin2x在原点(0,0)处的导数值为2,所以所求函数可

以是y=x2+2x,y'=2x+2,其在原点(0,0)处的切线方程为y=2x.

答案:y=2xy=x?+2x(答案不唯一)

15.(2021•安徽黄山一模)已知函数f(X)=X2+2,g(x)=lnx,若曲线

y=f(x)与y=g(x)的公切线与曲线y=f(x)相切于点(xi,y),则％*

In(2xi)=.

解析：设公切线与g(x)=lnx相切于点(X2,InX2),由f'(x)=2x,

g'(x)=；

则曲线y=f(x)在(x„yj处的切线方程为y-(*+2)=2xi(x-X1),即

y=2xiX-%f+2.

曲线y=g(x)在(X2,InX2)处的切线方程为y=2+lnx2-l,

X2

f1

所以行】=彳

+2=In%2-1，

解得以Tn(2xJ=3.

答案：3

C级应用创新练

16.在函数f(x)=alnx-(xT)?的图象上,横坐标在(1,2)内变化的点

处的切线斜率均大于1,则实数a的取值范围是(C)

A.[1,+8)B,(1,+8)

C.[6,+8)D.(6,+8)

解析：函数f(x)=alnx-(xT)；求导得