人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第六章第5节　复　数

第5节复数

灵活方福龙致偎傲

@选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

复数的概念8

复数的运算2,3,4,6,9

复数的几何意义1,7

综合问题5,1011,12,13,14,15,1617,18

A级基础巩固练

1.已知复数z满足二=i，则z在复平面内对应的点位于(A)

z-l

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：法一设z=a+bi(a,b£R),因为二=i，所以，所以

z-\。+(6-1)1

a+bi=(1b)+ai,所以｛'==1，'解得a=b§所以z在复平面内对应的

点为仔，位于第一象限.故选A.

法二因为“i,所以z+学三+9,所以z在复平面内对应的点为

Z-11-1222

(1,，位于第一象限.故选A.

2.设(l+2i)x=x+yi,其中x,y是实数，i为虚数单位,贝U2+i|等于

X

(D)

A.1B.V2C.V3D.V5

解析：由x+2xi=x+yi,x,y£R,则y=2x,|-+i|=|2+i|=6.故选D.

X

3.若z=l+i,则|z?-2z|等于(D)

A.0B.1C.V2D.2

解析：法一因为z=l+i,所以|z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|=

|2i-2i-2|=|-2|=2.故选D.

法二因为z=l+i,所以|z2-2z|=|z||z-2|=«*|-l+i|=V2XV2=2.

故选D.

4.设复数zbZ2在复平面内对应的点关于实轴对称,z尸2+i,则幺等于

Z2

(B)

34

A.1+iB.-+-i

55

44

C.l+-iD.l+-i

53

解析:因为复数Z„Z2在复平面内对应的点关于实轴对称,Z尸2+i,所以

2

z2=2-i,所以生答=?=|+白.故选B.

5.(多选题)下列命题正确的是(BCD)

A.若复数z„z2的模相等，则zbz2互为共胡复数

B.zbZ2都是复数,若Z1+Z2是虚数,则zi不是Z2的共枕复数

C.复数z是实数的充要条件是z。(，是z的共辗复数)

D.已知复数z=x+yi(x,y£R),且|z-2|=V3,则上的最大值为旧

X

解析:对于A,zi和Z2可能是相等的复数,故A错误;对于B,若zi和Z2

互为共枕复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C,由

a+bi=a-bi得b=0,故C正确；对于D,因为|z-2|=J(%-2)之+y2=V3,

所以(x-2T+y2=3,由图可知由max=V3,故D正确.故选BCD.

X

6.已知复数z=A(i为虚数单位)，那么z的共辗复数为(B)

3313

人----

2222

「1,3.n33.

C.-+-1D.—1

2222

解析:由题意知Z端黑衣誓H+手，所以打一片故选B-

—»

7.记复数z,，在复平面内对应的点分别为ZbZ2,其中|0Z2|=1,若OZi

绕点0顺时针旋转60°后能与。？2重合，则5等于(B)

AV3,i-V31.

A.—+-iDB.---1

2222

c1,V3.1V3.

C.-H•—1Dn.——i

2222

解析：设z=a+bi,z=a~bi,

所以点"Z2关于x轴对称，

—

因为。Z1绕点0顺时针旋转60°后能与0Z2重合，

所以a=cos30°=Y，b=sin30°=1,

故z4+?'

所以，=手-5.

故选B.

8.已知i是虚数单位,若复数a+怎(a£R)是纯虚数,则a=,

5i(i)

解析：由已知，得a+^-=a+-?^---=a+2+i,由题意得a+2=0,所以

1+21(1+21)(1-21)

a=-2.

答案：-2

9.复数z的共辗复数彳满足(2+i)5=13+4iI,z=

解析:法一由(2+i)z=13+4iI,得新察=言==2-i,所以

2+12+1(2+1)(2-1)

z=2+i.

法二设z=a+bi(a,b£R),则(2+i)(a-bi)=5,即2a+b+(a-2b)i=5,所

以『a：b=S，解得j所以z=2+i.

la-2b=0,lb=1,

答案：2+i

10.若|z=Z21=l,则称为与Z2互为“邻位复数”.已知复数『a+Bi

与z2=2+bi互为“邻位复数”，a,beR,求a?+b2的最大值.

解：由题意，Ia+V3i-2-bi|=1,故(a-2)2+(8-b)?=1,所以点(a,b)在圆

(x-2)2+(y-V3)2=l上,而，a?+炉表示点(a,b)到原点的距离,故a2+b2

的最大值为(J22+(8产+1尸=(1+近)2=8+2近.

B级综合运用练

2

11.已知复数Z、零，则下列结论正确的是(D)

1(1-1)

A.z的虚部为i

B.|z|=2

C.z的共辗复数5=-l+i

D.z2为纯虚数

解析:2=整=匕2妾).「中口+i,则Z的虚部为1,所以选项A错

误；Iz|="不所以选项B错误;Z的共辗复数5=1-i,所以选项

C错误;z2=(l+i)2=2i是纯虚数,所以选项D正确.故选D.

12.复数z满足(z-2)­i=z(i为虚数单位)，5为复数z的共辗复数,则

下列说法正确的是(B)

A.z2=2iB.z•z=2

C.Iz|=2D.z+z=O

解析：由题意,得zi-2i=z,z(i-l)=2i,z=7^-=-21(^,1)-=^-^=1-i,则

1-1(1-1)(1+1)-2

z2=-2i,z,z=(l-i)(l+i)=2,|z|=V2,z+z=l-i+l+i=2.故选B.

13.已矢口集合3+(m2—5m—6)i},N={T,3},若MAN={3},贝lj实数m

的值为.

解析：因为MGN={3},所以3£M,且-1捌,

所以m#T,3+(m2-5m-6)i=3或m=3,

所以m~-5m-6=0,且mWT或m=3,

解得m=6或m=3,经检验符合题意.

答案：3或6

14.设a,b为实数,若复数里n+i,则

a+bi

a+b=,|a-bi|=.

解析：因为==l+i,

a+di

所以l+2i=(l+i)(a+bi),

即1+2i=(a-b)+(a+b)i,

所以2,所以1a=-3,

:a+b=2,

b=-,

2

Ia-bi|=JQ2+(一b)2=^p.

答案：2手

15.已知复数z,=-l+2i,z2=l-i,z：,=3-4i,它们在复平面内对应的点分

另ij为A,B,C,若0C=入。4+uOB(入，ueR),入+u的值为.

—>—>

解析：由条件得。。=(3,-4),。力=(-1,2),

—>

05=(1,-1),

—>—>~

根据。。二入。4+u0B,得(3,—4)=入(一1,2)+口(1,-1)=(一入+11,

2人-2)，

所以£死力解叱戢

所以入+p=i.

答案：i

16.已知复数z满足:z?=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三

象限.

(1)求复数z;

(2)设a£R,且|(事严4a]=2,求实数a的值.

解：(1)设z=c+di(c,d£R且c<0,d<0),

贝z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i,

所以｛c2~d2=3,

2cd=4,

解得忆片或忧舍去)•

所以z=-2-i.

(2)因为5=-2+i,

所以生士卫-(】+D

1,

l+z-1+11-12

2021_•2021__•2020+1_•505X4+l__•

所以(里)—1—1—1—1,

所以|a+i|=，。2+1=2,所以a=±痣.

C级应用创新练

17.已知复数z=bi(b£R),三是实数，i是虚数单位.

1+1

(1)求复数Z；

⑵若复数(m+z)2在复平面内所对应的点位于第一象限,求实数m的取

值范围.

解：(1)因为z=bi(b£R),

)

所以z-2bi-2(b