数学中考专题训练-全等三角形的判定和性质

中考专题训练——全等三角形的判定和性质

1.如图，点E,尸在BC上，BE=CF,/A=/。，NB=NC,求证：AB=DC.

2.如图，点E,F在BC上，BE=CF,NA=N。,ZB=ZC,AF与交于点O.

(1)求证：AB=DC；

3.如图，△ABC是等边三角形，AE=CD,BQ_LAO于Q,BE交AD于P.

(1)求证：△ABE之△C4£＞；

(2)求NP8Q的度数.

4.如图，ZiABC中，AB=BC,BE_LAC于点E,AQ_L8C于点Q,ZBAD=45°,AO与

BE交于点F,连接CF.

(1)求证：BF=2AE；

(2)若C£)=&,求4力的长.

5.如图，OE_L4B于E,。尸_LAC于凡若BD=CD,BE=CF,

(1)求证：AO平分/8AC；

(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.

6.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,。在

同一条直线上.

(1)求证：BD=CE.

(2)BD,CE有什么位置关系？请证明.

7.如图，在AABC和△4DE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

(1)当点。在AC上时，如图①，线段83,CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明

你的猜想；

(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转a(0°<a<90°),如图②，线段BQ,CE

有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

8.己知：如图，AD//BC,EF垂直平分BD,与AD,BC,BD分别交于点E,F,O.求

证：

(1)4BOF公ADOE；

(2)DE=DF.

E

9.如图，点C是线段AB上除点A、8外的任意一点，分别以AC、8C为边在线段AB的同

旁作等边△ACO和等边△8CE,连接AE交0c于M,连接8。交CE于N,连接MN.

(1)求证：AE=BDi

(2)判断△CMN的形状并说明理由.

10.如图，在△ABC中，A2=AC,8c=6,点尸从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q

从点C出发沿线段4C的延长线移动，当点尸运动到A时，点尸、。随即停止运动，若

点P、。移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点。.

(1)如图①，当点P自点8出发在线段丛上运动时，过点尸作AC的平行交3c于点

F,连接PC、FQ,判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论.

(2)如图②，过点P作PEL8C,垂足为E,请说明在点P、。在移动的过程中，OE长

度保持不变.

11.如图，在△ABC中，AB=8,AC=4,G为8c的中点，QG_LBC交NBAC的平分线A。

于。，DELABE,OF_LAC于F交AC的延长线于F.

(1)求证：BE=CF；

(2)求AE的长.

12.(1)问题发现

如图1,/XACB和△£)(7£：均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,求/

AEB的度数.

(2)拓展探究

如图2,△ACB和△OCE均为等腰直角三角形，NACB=NOCE=90°,点A、D、E在

同一直线上，CM为△OCE中。E边上的高，连接8E.请求/4EB的度数及线段CM,

AE,BE之间的数量关系，并说明理由.

13.如图，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,AB=AC,。是BC的中点，AE=BF.求证:

(1)DE=DF；

(2)△DEF为等腰直角三角形.

14.如图，△ABC中，AB=AC,NB4C=45°,BDLAC,垂足为。点，AE平分NBAC,

交BD于F,交BC于E,点G为AB的中点，连接OG,交AE于点H,

(1)求/ACB的度数；

(2)求证：HE^^AF.

2

D.

A

15.已知AM〃BN,AE平分NBAM,BE平分NABN,

(1)求的度数.

(2)如图2,过点£的直线交射线4M于点C,交射线BN于点£),求证：AC+BD=AB-,

(3)如图3,过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C,交射线BN于点。，AB=5,

试探索以

下问题:

(1)当点E为AB的中点时，如图1,求证：EC=ED.

(2)如图2,当点E不是A3的中点时，过点E作EF〃BC,交AC于点F,求证：△AEF

是等边三角形.

(3)在(2)的条件下，EC与还相等吗？请说明理由.

图2

17.如图1,点A和点8分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且。4=。8,点C和点。分

别在第四象限和第一象限，且0C，0£>,0C=0£),点。的坐标为(〃?，〃)，且满足(胆

-2〃)2+|〃-2|=0.

(1)求点D的坐标；

(2)求NAK。的度数；

(3)如图2,点P,。分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP=O。，直线ON_LBP

交AB于点、N,交BP的延长线于点M,判断ON,MN,的数量关系并证明.

18.在△ABC中，AB=AC,点。是直线BC上的一点(不与点8、C重合)，以AQ为一

边在的右侧作△?!£>£：,使4£>=4E,NDAE=/BAC,连接CE.

(1)如图，点力在线段BC上，若NBAC=90°,则NBCE等于度；

(2)设/MC=a,ZBCE=p.

①如图，若点。在线段BC上移动，则a与0之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②若点£>在直线8c上移动，则a与B之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.

19.如图(1)四边形ABCQ中，已知NA8C+NAOC=180°,AB=AD,DA±AB,点E在

CD的延长线上，ZBAC^ZDAE.

(1)试说明：

(2)试说明CA平分/8C£>；

(3)如图(2),过点A作4MJ_CE,垂足为例，试说明：ZACE=ZCAM=ZMAE=

Z£=45°.

20.如图(1),直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于4、B、。4、。8的长分别

为a、b,且满足a2-2ab+b2—0.

(1)判断△AOB的形状；

(2)如图(2)过坐标原点作直线OQ交直线A8于第二象限于点Q,过A、8两点分别

作AM_LOQ、BN1.OQ,若AM=7,BN=4,求MN的长；

(3)如图(3),E为A8上一动点，以AE为斜边作等腰直角三角形ACE,P为BE的

中点，延长OP至凡使PF=DP,连接PO,BF,试问。尸、尸0是否存在确定的位置关

系和数量关系？写出你的结论并证明.

参考答案：

1.如图，点、E,F在BC上，BE=CF,NA=ND,NB=NC,求证：AB=DC.

【分析】利用全等三角形的判定定理AAS证得aABF丝△£)(?£然后由全等三角形的对

应边相等证得4B=C£>.

【解答】证明：：点E,F在3c上，BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,艮［JBF=CE；

在AABF和△OCE中，

rZA=ZD

■ZB=ZC>

BF=CE

:.△ABF@XDCECAAS),

J.AB^CD(全等三角形的对应边相等).

2.如图，点E,F在BC上，BE=CF,NA=/。，NB=NC,AF与QE交于点O.

(1)求证：AB=DC；

(2)试判断尸的形状，并说明理由.

【分析XI)根据BE=C尸得到8F=CE,XZA=ZD,NB=NC,所以△ABF丝△QC£,

根据全等三角形对应边相等即可得证；

(2)根据三角形全等得NAFB=NCEC,所以是等腰三角形.

【解答】(1)证明：)BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,

即BF=CE.

在AAB尸与△OCE中，

'BF=CE

<ZA=ZD>

ZB=ZC

:.△ABF9/\DCE(A45),

：.AB=DC.

(2)△OEF为等腰三角形

理由如下：V

二ZAFB=ZDEC,

：.OE=OF,

.♦.△OEF为等腰三角形.

3.如图，△A8C是等边三角形，AE=CZ),8Q_LAQ于Q,BE交AD于P.

(1)求证：

(2)求/PBQ的度数.

E

BDC

【分析】(1)根据等边三角形的性质可得A8=AC,ZBAC=ZC=60°,然后利用“边

角边”即可证明两三角形全等；

(2)根据全等三角形对应角相等可得再根据三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和得到NBPQ=60°,再根据8QJ_A£>得到/BQP=90°,根据

三角形的内角和定理求出NPBQ=30°.

【解答】(1)证明：:△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,NBAC=NC=60°,

在△ABE与△CAQ中，

'AB=AC

，ZBAC=ZC=60°>

AE=CD

.♦.△ABEg△04。(SAS)；

(2)解：V/\ABE^^CAD(已证)，

NABE=ADAC,

：.NBPQ=NABE+NBAP=NDAC+NBAP=ZBAC=60°,

VBQ-LAD,

，N80P=9O°,

...NP8Q=180°-90°-60°=30°.

4.如图，AABC中，AB=BC,BEJ_AC于点E,AOJ_BC于点O,ZBAD=45°,40与

BE交于点、F,连接CF.

(1)求证：BF=2AE；

(2)若CD=®,求A。的长.

【分析】(1)先判定出△A8Q是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD

=BD,再根据同角的余角相等求出/C4O=/CBE,然后利用“角边角”证明△AOC

和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合一

的性质可得AC=2AF,从而得证；

(2)根据全等三角形对应边相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根

据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF,然后根据

代入数据即可得解.

【解答】(1)证明：,：ADLBC,ZBAD=45°,

...△AB。是等腰直角三角形，

：.AD=BD,

\"BE1AC,AD^BC,

.,.ZCAD+ZACD=90°,

ZCB£+ZAC£>=90°,

:.NCAD=NCBE,

在△ADC和中，

"ZCAD=ZCBE

<AD=BD>

ZADC=ZBDF=90°

A/\ADC^/\BDF(ASA),

：.BF=AC,

'：AB=BC,BEVAC,

：.AC=2AE,

：.BF=2AE；

⑵解：V^ADC^/XBDF,

:.DF=CD=M，

在RtZiCOF中，CF={DF2y口2=2,

\'BE±AC,AE=EC,

：.AF=CF^2,

：.AD=AF+DF=y/2+2.

A

5.如图，DEIABTE,DFLACF,若BD=CD,BE=CF,

(1)求证：AO平分N8AC；

(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.

【分析】(1)根据“HL”定理得出△BOE丝△<:£)/,故可得出DE=DF,所以AO平分

ABAC-,

(2)根据HL证明△4£»也所以AE=AF,^(.AB+AC^AE-BE+AF+CF^AE+AE

=2AE.

【解答】解：(1)；DE_LAB于E,OF_LAC于凡

:.NE=NDFC=90°,

二/\BDE与ACDE均为直角三角形，

vfBD=CD>

,IBE=CF'

:./\BDE冬ACDF(HL),

：.DE=DF,

二4力平分/BAC；

(2)AB+AC^2AE.

理由：'：ZE=ZAFD=90°,

在RtAAED与RtAAFD中，

[DE=DF,

IAD=AD'

.•.△AE£>丝△AFC(HL),

：.AE=AF,

：.AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.

6.如图，ZVIBC和都是等腰三角形，且/BAC=90°,/D4E=90°,B,C,力在

同一条直线上.

(1)求证：BD=CE.

(2)BD,CE有什么位置关系？请证明.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得出A3=AC、AD=AE,由/B4C=/D4E=90°

可得出/BAO=/C4E,由此即可证出△BAO丝△C4E(SAS),根据全等三角形的性质

即可得出BD=CE；

(2)根据等腰直角三角形的性质可得出/A8C=/ACB=45°,根据全等三角形的性质

可得出NACE=NABC=45°,进而即可得出NBCE=NACB+NACE=90°,即BDV

CE.

【解答】证明：⑴:△ABC和△ADE都是等腰三角形，

.'.AB=AC,AD=AE.

；NBAC=90°,ZDAE=90°,

ZBAC+ZCAD^ZCAD+ZCAE,

即/&4£>=/C4E.

'AB=AC

在△BAO和△CAE中，<NBAD=NCAE，

AD=AE

.♦.△BA。之△CAE(SAS),

：.BD=CE.

(2)BDLCE.

「△ABC是等腰三角形，/BAC=90°,

AZABC=ZACB=45°.

:△BA。丝△CAE,

.*.N4CE=/ABC=45°,

NBCE=NACB+NACE=90°,

:.BDLCE.

7.如图，在△ABC和△AOE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=Z£)4E=90°.

(1)当点。在AC上时，如图①，线段8D,CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明

你的猜想；

(2)将图①中的△4DE绕点A顺时针旋转a(0°<a<90°),如图②，线段BQ,CE

有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

【分析】。)延长8。交CE于F,易证△E4C丝△D4B,可得BD=CE,ZABD^AACE,

根据乙4EC+/ACE=90°,可得/AB£>+/AEC=90°,即可解题；

(2)延长BZ)交CE于F,易证N2A£>=/EAC,即可证明△EAC丝△D43,可得8£>=

CE,NABD=NACE,根据NABC+/ACB=90°,可以求得NC8"N8CF=90°,即

可解题.

【解答】证明：(1)延长B力交CE于凡

在△£4c和△D4B中,

，AE=AD

<ZEAC=ZDAB>

AC=AB

：./\EAC^/\DAB(SAS),

：.BD=CE,NABD=NACE,

VZAEC+ZACE=90°,

...NABZ)+/AEC=90°,

:.NBFE=90°,BPEC.LBD；

(2)延长BD交CE于F,

E

"：ZBAD+ZCAD=9^,ZCAD+ZEAC=90a,

：.ZBAD=ZEAC,

•.,在4c和△D48中，

，AD=AE

<ZBAD=ZEAC>

AB=AC

.♦.△EAC丝△QAB(SAS),

：.BD=CE,/ABD=NACE,

•.♦NA8C+NACB=90°,

NCBF+NBCF=ZABC-AABD+AACB+AACE=90°

：.ZBFC=90°,BPEC1BD.

8.已知：如图，AD//BC,EF垂直平分8。，与A。，BC,BD分别交于点E,F,O.求

证：

(1)/\BOF^/\DOE；

(2)DE=DF.

【分析】（1）由线段垂直平分线的定义可知OB=OD,且NBOF=NE。。，利用平行可

得NBFO=NDEO,利用AAS可证明△BOFg△QOE；

(2)由(1)中的全等可得OE=O凡可知8。是EF的垂直平分线，可得。E=£>F.

【解答】证明：

(1)'：AD//BC,

:.NBFO=NDEO,

垂直平分BD,

：.OB=OD,ZBOF=ZDOE=90a,

在△B。尸和△OOE中

'NBOF=/DOE

-ZBF0=ZDE0

OB=OD

.♦.△BO尸丝△OOE(A45)；

(2)由(1)可知△BO尸乡△QOE,

AOE=OF,S.BD1EF,

：.BD为线段EF的垂直平分线，

：.DE=DF.

9.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以4C、8C为边在线段A8的同

旁作等边△ACC和等边△BCE,连接AE交。C于例，连接BQ交CE于N,连接MN.

(1)求证：AE=BD；

(2)判断的形状并说明理由.

【分析】(1)由等边三角形的性质，结合条件可证明△ACE丝△DCB,则可证得AE=

BD；

(2)利用(1)的结论，结合等边三角形的性质可证明△4CM也△£>(7%,可证得MC=

NC,则可判定△CMN为等边三角形.

【解答】(1)证明：

△4C£)和△BCE是等边三角形，

：.AC=DC,CE=CB,ZDCA=60°,ZECB=60°,

*.'/£>C4=/EC8=60°,

NDCA+NDCE=ZECB+ZDCE,ZACE=NDCB,

在△ACE与△DCB中，

'AC=DC

<ZACE=ZDCB

CE=CB

AAACE^ADCB(SAS),

：.AE^BD-,

(2)解：△CMN为等边三角形，理由如下：

;由(1)得，△ACE也△DC8,

：.4CAM=2CDN,

,：ZACD^ZECB=60Q，而A、C、B三点共线，

:.NDCN=60°,

在△ACM与△OCN中，

"ZMAC=ZNDC

，AC=DC

ZACM=ZDCN

：.4ACM迫丛DCNCASA),

：.MC=NC,

■:NMCN=60°,

.♦.△MCN为等边三角形.

10.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,点尸从点8出发沿线段BA移动，同时，点Q

从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点尸运动到A时，点P、。随即停止运动，若

点P、。移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点。.

(1)如图①，当点尸自点8出发在线段BA上运动时，过点P作4C的平行交8C于点

F,连接PC、FQ,判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论.

(2)如图②，过点P作PELBC,垂足为E,请说明在点尸、。在移动的过程中，OE长

度保持不变.

【分析】(1)如图①中，四边形PFQC是平行四边形.只要证明PF〃C。，PF=C。即

可解决问题.

(2)如图②中，过点P作PF〃4c交BC于F,首先证明8E=EF,根据。尸=FC,即

可解决问题.

【解答】解：(1)如图①中，四边形PFQC是平行四边形.

理由：'：AB^AC,

：.ZB=ZACB,

'JPF//AQ,

；./PFB=NACB=NB,/DPF=NDQC,

：.PB=PF=CQ,

，四边形PFQC是平行四边形.

(2)如图②中，过点尸作PF〃AC交BC于凡

0

⑵

•••△P8F为等腰三角形，

:.PB=PF,

:PELBF

；.BE=EF,

由(1)可知尸£>=DC,

AED=EF+FD=^BF+^-FC=—(.BF+FC)=」BC=3,

2222

ED为定值，

11.如图，在AABC中，A8=8,AC=4,G为8C的中点，OG_L8C交NBAC的平分线A。

于。，DEJ_AB于E,。凡L4C于尸交4c的延长线于尸.

(1)求证：BE=CF；

(2)求AE的长.

【分析】(1)连接DB、DC,先由角平分线的性质就可以得出DE=DF,再证明△£>"后

丝△OCF就可以得出结论；

(2)由条件可以得出△AOE丝力F,就可以得出AE=AF,进而就可以求出结论.

•.•DG_LBC且平分BC,

：.DB=DC.

为NA4c的平分线，DE±AB,DFLAC,

：.DE=DF.NAED=NBED=ZACD=ZDCF=90°

在RtADBE和RtADCF中

fDB=DC

lDE=DF

RtADCF(HL),

：.BE=CF.

(2)在木△ADE和Rt/\ADF中

fAD=AD

IDE=DF

.,.RtAADE^RtAADF(HL).

：.AE=AF.

'：AC+CF=AF,

：.AE=AC+CF.

'：AE=AB-BE,

：.AC+CF=AB-BE

：AB=8,AC=4,

：.4+BE=S-BE,

；.BE=2,

，AE=8-2=6.

12.(1)问题发现

如图1,ZVICB和△£>(“均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,求N

AEB的度数.

(2)拓展探究

如图2,△ACB和△OCE■均为等腰直角三角形，NAC8=N£)CE=90°,点A、D、E在

同一直线上，CM为△OCE中DE边上的高，连接BE.请求N4EB的度数及线段CM,

【分析】(1)先证出/ACZ)=NBCE,那么△ACD之△BCE,根据全等三角形证出NAOC

=NBEC,求出/ADC=120°,得出/BEC=120°,从而证出/AE8=60°；

(2)证明△ACD四△BCE,得出/AOC=N8EC,最后证出。M=ME=CM即可.

【解答】解：(1)..•△4C8和△OCE均为等边三角形，

：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACD=6QQ-NCDB=ABCE.

在△4C£)和△BCE中，

rAC=BC

<ZACD=ZBCE-

CD=CE

AAACD^ABCE(SAS).

：.ZADC=ZBEC.

•••△QCE为等边三角形，

：.NCDE=NCED=60°.

•点A,D,E在同一直线上，

/.ZADC=120°,

ZBEC=120°.

NAEB=ZBEC-ZCED=60°.

(2)NAEB=90°,AE=BE+2cM.

理由：••,△ACB和△£>(7£均为等腰直角三角形，

：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°.

：.NAC£>=ABCE.

在△ACQ和△BCE中，

'CA=CB

<ZACD=ZBCE>

CD=CE

AACD^ABCE(SAS).

：.AD=BE,NADC=NBEC.

•••△OCE为等腰直角三角形，

：.ZCDE=ZCED=45Q.

•点A,D,E在同一直线上，

AZADC=135°,

...NBEC=135°.

NAEB=NBEC-NCED=9(T.

,:CD=CE,CMIDE,

:.DM=ME.

VZDCE=90°,

:.DM=ME=CM.

：.AE=AD+DE=BE+2CM.

13.如图，在RtZ\A8C中，N8AC=90°,AB^AC,。是BC的中点，AE=BF.求证:

(1)DE=DF；

(2)△OEF为等腰直角三角形.

【分析】（1）连接AQ,证明△BFZ）四△AEQ即可得出。E=£>F；

（2）根据三线合一性质可知A。_LBC,由也△AE£>可知根据等

量代换可知NEQF=90°,可证△QEF为等腰直角三角形.

【解答】证明：（1）连接AD

；RtZ\A8C中，NBAC=90°,AB=AC,

；.NB=NC=45°.

"：AB=AC,DB=CD,

：.ZDAE=ZBAD=45°.

.•./B4O=/8=45°.

：.AD=BD,NA£>B=90°.

在△£>?!£和AOB尸中，

'AE=BF

<ZDAE=ZB=45°，

AD=BD

:.丛DAE9ADBF(SAS).

:.DE=DF；

(2)'：^DAE^/XDBF

：.ZADE^ZBDF,DE=DF,

VZBDF+ZADF=ZADB=90°,

AZADE+ZADF=90°.

：./\DEF为等腰直角三角形.

,BD±AC,垂足为。点，AE平分/BAC,

交BD于F,交BC于E,点G为AB的中点，连接。G,交AE于点”,

(1)求NACB的度数;

(2)求证：HE=LAF.

【分析】(1)根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可:

(2)证△ADFg/iBDC,推出AF=BC,求出HE=BE=CE,即可得出答案.

【解答】解：⑴：A8=AC,

ZACB^ZABC,

VZBAC=45°,

：.ZACB=ZABC=—(180°-NBAC)=工(180°-45°)=67.5°.

22

(2)连接H8,

\'AB=AC,AE平分/BAC,

：.AE±BC,BE=CE,

：.ZCAE+ZC=90a,

VBD1AC,

；.NCBO+NC=90°,

：.ZCAE=ZCBD,

'：BD±AC,。为垂足，

：.ZDAB+ZDBA=90°,

\'ZDAB=45°,

AZDBA=45°,

：.ZDBA^ZDAB,

:.DA=DB,

在RtABDC和Rt/XADF中，

'NBDC=/ADF

<BD=AD

ZCAE=ZCBD

ARtABDC^RtA/lDF(ASA),

：.BC=AF,

；OA=OB,点G为A8的中点，

.♦.QG垂直平分A8,

•.•点H在0G上，

:.HA=HB,

；.NHAB=NHBA=L/BAC=22.5。,

2

NBHE=ZHAB+ZHBA=45°,

:.NHBE=NABC-NABH=67.5°-22.5°=45°,

:.NBHE=NHBE,

：.HE=BE=—BC,

2

"：AF=BC,

：.HE=^AF.

2

15.已知AM〃BN,AE平分NBAM,BE平分NABN,

(1)求乙4E8的度数.

(2)如图2,过点E的直线交射线AM于点C,交射线BN于点£),求证：AC+BD=AB；

(3)如图3,过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C,交射线BN于点£>,AB=5,

【分析】(1)根据平行线的性质得到NBAM+NA8N=180°,根据角平分线的定义得到

ABAE=^/BAM,NABE=±NABN,于是得到结论；

22

(2)在AB上截取AF=AC,连接EF,根据全等三角形的性质得到NAEC=NAEF,BF

=BD,等量代换即可得到结论；

(3)延长AE交8。于尸，根据等腰三角形的性质得到AB=B/=5,AE=EF,根据全等

三角形的性质得到。F=AC=3,设SABEF=SAABE=5X,S&DEF=S&ACE=3X,根据SAABE

-S^ACE—2,即可得到结论.

【解答】解：(I),：AM〃BN,

：.ZBAM+ZABN=\SO0,

平分NBAM,BE平分/ABN,

:.NBAE=L/BAM,NABE=LNABN,

22

/.ZBAE+ZABE^^-(NBAM+NABN)=90°,

2

，/AEB=90°；

(2)在AB上截取AF=AC,连接EF,

在△ACE与△AFE中，

'AC=AF

<ZCAE=ZFAE.

AE=AE

△ACE&XAFE,

：.NAEC=NAEF,

VZAEB=90°,

NAEF+NBEF=ZAEC+ZBED=90Q,

：・/FEB=NDEB,

在ABFE与ABDE中,

rZFBE=ZDBE

<BE二BE，

ZFEB=ZDEB

:.XBFE空XBDE,

；・BF=BD,

・；AB=AF+BF,

：.AC+BD=AB；

(3)延长A£交8。于产，

VZAEB=90Q,

：.BELAFf

BE平分/ABN,

：.AB=BF=5,AE=EF,

•:AM"BN,

:・/C=/EDF,

在△人(?£与中，

<ZC=ZEDF

<NAEONFEN，

AE=EF

，△ACE丝△FOE,

：.DF=AC=3,

'：BF=5,

・••设S&BEF=S>ABE=5x,S^DEF=S^ACE=3%,

■:S&ABE~S/\ACE=2,

/.5x-3x=2,

•»x=1,

「•△BOE的面积=8.

16.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点。在CB的延长线上，且AE=BO.试探索以

下问题：

(1)当点E为A8的中点时，如图1,求证：EC=ED.

(2)如图2,当点E不是4B的中点时，过点E作E尸〃8C,交AC于点尸，求证：/XAEF

是等边三角形.

(3)在(2)的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由.

【分析】(1)根据等边三角形的性质得出A8=AC=BC,ZABC=ZACB=ZA=60°,

再由E是A8的中点，AE=BE=BD,证出/EZ)B=NEC8,得出EC=E£＞；

(2)在AAE尸中，只要证明有两个内角是60°即可；

(3)只要证明△QBE0AEFC,即可推出结论：

【解答】证明：(1);△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,/ABC=NACB=NA=60°,

是A8的中点，

:.AE=BE,ZECB=—ZACB=30°,

2

"：AE=BD,

：.BE=BD,

：.ZEDB=ZDEB=^ZABC=30Q,

2

:.NEDB=NECB,

：.EC=ED.

(2)过E点作EF〃8C交AC于尸点.如图2所示:

'：EF//BC,

：.ZAEF=ZABC=60Q,ZAFE=ZACB=60°,

...△AEF是等边三角形.

(3)ED=EC.理由如下：

：ZiAEF是等边三角形.

NAFE=ZABC=60°

：.ZEFC=ZDBE=120°,

5L'：AE=BD,AB=4C,

：.BD=EF,BE=FC,

在△OBE和△EFC中，

'BD=EF

<ZDBE=ZEFC-

BE=FC

:ADBE出AEFC(SAS),

：.ED=EC.

17.如图1,点A和点8分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB,点C和点。分

别在第四象限和第一象限，且OC_LO£>,0C=0£),点。的坐标为(机，〃)，且满足(山

-2”)2+|〃-2|=0.

(1)求点。的坐标；

(2)求/AKO的度数；

(3)如图2,点P,。分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP=O。，直线ONJ_BP

交A8于点N,MNLAQ交BP的延长线于点M,判断ON,MN,的数量关系并证明.

【分析】(I)利用非负数的性质即可解决问题；

(2)如图1中，作OE_L2£>于E,OFA,ACF.只要证明△BO。空△AOC,推出EO

=。尸(全等三角形对应边上的高相等)，推出OK平分NBKC,再证明NAK8=N80A

=90°,即可解决问题：

(3)结论：BM=MN+ON.只要证明以及即可解决问题；

【解答】解：(1)V(m-2n)2+\n-2\=Q,

又（/n-2n）220,-2|20,

••/i=2,m=4,

.•.点。坐标为（4,2）.

(2)如图1中，作0E_L8。于E,。尸_LAC于凡

'：OA=OB,OD=OC,ZAOB=ZCOD=90a,

ZBOD=ZAOC,

：./\BOD^/\AOC,

：,EO=OF（全等三角形对应边上的高相等），

OK^^-ZBKC,

.'.ZOBD=ZOAC,易证NAKB=NBOA=90°,

：.ZOKE=45a,

：.ZAKO=\35°.

(3)结论：BM=MN+ON.

理由：如图2中，过点B作轴交MN的延长线于

图2

'：OQ=OP,OA=OB,ZAOQ=ZBOP=90°,

/XAOQ^/XBOP,

：.ZOBP=ZOAQ,

：NOBA=N0A8=45°,

NABP=NBAQ,

'：NM±AQ,BMLON,

：.ZANM+ZBAQ=90°,ZBNO+ZABP=90°,

：.ZANM=NBNO=ZHNB,

♦：4HBN=NOBN=45°,BN=BN,

：.HN=NO,ZH=ZBON,

,:NHBM+NMBO=90°,NBON+NMBO=90°,

：.NHBM=4BON=NH,

：.BM=MN+NH=MN+ON.

18.在△ABC中，AB=AC,点。是直线BC上的一点(不与点8、C重合)，以A。为一

边在A。的右侧作△AOE,使AO=AE,ZDAE=ZBAC,连接CE.

(1)如图，点。在线段BC上，若NBAC=90°,则N2"等于90度;

(2)设/B4C=a,ZBCE=p.

①如图，若点。在线段BC上移动，则a与0之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②若点力在直线BC上移动，则a与。之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.

【分析】(1)可以证明△BAD岭△C4E,得到NB=NACE,证明NACB=45°,即可解

决问题.

(2)证明△54。丝△C4E,得到NB=NACE,(3=NABC+/ACB,即可解决问题.

(3)证明△%!£＞丝△C4E,得到/ABO=NACE,借助三角形外角性质即可解决问题.

【解答】解：(1)如图1,,：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZCAEt

'AB=AC

在△84。与△C4E中，,NBAD=NCAE，

AD=AE

.,.△BAD^ACAE(SAS),

：.ZB=ZACE,

：.ZBCE^ZACB+ZACE=90°,

故答案为90.

(2)如图2,a+p=180°；理由如下：

,?NBAC=ADAE,

：.NBAD=4CAE；

在△84。与△C4E中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE-

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS),

.'.ZB=ZACE,^=ZABC+ZACB,

.•.a+0=18O°.

(3)①：/D4E=/a4C,

.,.ND4B=NEAC；

在△54。与△CAE中，

'AB=AC

-ZBAD=ZCAE-

AD=AE

.♦.△BA。g△CAE(SAS),

，/B=ZACE,

：.ZABD=ZACE；而NABD=NACB+a,^=ZACE-ZACB,

，B=/ACB+a-ZACB,

/.a=p.

②当。在C8的延长线时，a=p.

当。在BC的延长线上或线段BC上时，a+B=180°.

19.如图(1)四边形A8CZ)中，已知NABC+N4OC=180°,AB=AD,OA_LA8,点E在

CO的延长线上，ZBAC=ZDAE.

(1)试说明：△ABC丝△4DE；

(2)试说明C4平分/BCD；

(3)如图(2),过点A作AM_LCE,垂足为M,试说明：ZACE=ZCAM=ZMAE=

NE=45°.

【分析】(1)根据三角形的判定定理ASA即可证得；

(2)通过三角形全等得AC=AE,NBCA=NE,进而根据等边对等角求得NACD=/E,

从而求得/8C4=/E=ZACD即可证得：

(3)通过三角形全等得AC=AE,ZCA£=90°,即AACE是等腰直角三角形，根据