高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形解三角形

第5节解三角形综合应用【基础知识】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c22bccos__A；b2＝c2＋a22cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.【规律技巧】注意角化边和边化角的应用【典例讲解】例1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2eq\f(A－B,2)cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－eq\f(3,5).(1)求cosA的值；(2)若a＝4eq\r(2)，b＝5，求向量eq\o(BA,\s\up10(→))在eq\o(BC,\s\up10(→))方向上的投影．【提分秘籍】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现．【针对训练】1.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)\f(10\r(6),3)D．5eq\r(6)【答案】C2.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为.【答案】3.在中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则B=()A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】A【解析】∵，∴a=c，∵，∴cosB=，∴B=30°，故选A.4.设的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若，则的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定【答案】A5.在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为 【答案】B【练习巩固】1．在△ABC中，A，B，C为内角，且sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解析】由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC为等腰或直角三角形，选D.【答案】D2．在斜三角形ABC中，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－eq\r(2)，则角A的值为()\f(π,4) \f(π,3)\f(π,2) \f(3π,4)【答案】A3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于()\f(π,12) \f(π,6)\f(π,4) \f(π,3)【解析】由已知及正弦定理得2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，因为sinB>0，所以sinA＝eq\f(\r(3),2).又A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以A＝eq\f(π,3).【答案】D4．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则B的值为()\f(π,6) B.eq\f(π,3)\f(2π,3) \f(5π,6)【解析】由题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，又a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，得sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，在△ABC中，0<B<π，∴sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，∴B＝eq\f(π,3).【答案】B5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsinA，则△ABC的面积等于()\f(1,2) \f(3,2)C．1 \f(3,4)【答案】A6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB\f(1,4) \f(3,4)\f(\r(2),4) \f(\r(2),3)【解析】因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得，b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(4a2＋a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4)，故选B.【答案】B7．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sinB＝6cosA·sinC，则b的值为________．【解析】由正弦定理与余弦定理可知，sinB＝6cosAsinC可化为b＝6·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)·c，化简可得b2＝3(b2＋c2－a2)，又a2－c2＝2b且b≠0，得b＝3.【答案】38．在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且eq\r(3)a＝2csinA.(1)求角C的度数；(2)若c＝eq\r(7)，且△ABC的面积为eq\f(3\r(3),2)，求a＋b的值．9．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2eq\r(3)cos2x－eq\r(3)，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在锐角△ABC中，若f(A)＝1，eq\