（浙江专版）2023高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示教师用书

PAGEPAGE12第二节平面向量的根本定理及坐标表示1．平面向量根本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，那么向量a与b的夹角为∠ABC.()(3)假设a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，那么λ1＝λ2，μ1＝μ(4)假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要条件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于()A．5 B.eq\r(13)C.eq\r(17) D．13B[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).]3．点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－4，－3)，那么向量eq\o(BC,\s\up8(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)A[eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．应选A.]4．向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，那么m＝________.－6[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]5．(教材改编)▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，那么顶点D的坐标为________.【导学号：51062140】(1,5)[设D(x，y)，那么由eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))]

平面向量根本定理及其应用(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么以下四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1(2)(2022·浙江五校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，假设eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AE,\s\up8(→))＋μeq\o(AF,\s\up8(→))，其中λ，μ∈R，那么λ＋μ＝________.(1)D(2)eq\f(4,3)[(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0))无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ))无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ))无解；选项D中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．(2)选择eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))作为平面向量的一组基底，那么eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，又eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AE,\s\up8(→))＋μeq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))eq\o(AD,\s\up8(→))，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))所以λ＋μ＝eq\f(4,3).][规律方法]1.利用平面向量根本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．2．利用向量表示未知向量，实质就是利用三角形法那么进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答此题(2)的关键是根据平面向量根本定理列出关于λ，μ的方程组．[变式训练1]如图4­2­1，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，那么eq\o(EF,\s\up8(→))＝________，eq\o(DF,\s\up8(→))＝________，eq\o(CD,\s\up8(→))＝________(用向量a，b表示)．图4­2­1eq\f(1,3)b－aeq\f(1,6)b－aa－eq\f(2,3)b[eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,6)b－a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(1,3)b－a，eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(DE,\s\up8(→))＋eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,6)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－a))＝eq\f(1,6)b－a，eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CF,\s\up8(→))＋eq\o(FD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b－a))＝a－eq\f(2,3)b.]平面向量的坐标运算A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝b，eq\o(CA,\s\up8(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up8(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up8(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up8(→))的坐标．[解]由得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).2分(1)3a＋b－3＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).5分(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))9分(3)设O为坐标原点．∵eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up8(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20).11分又∵eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up8(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝(9，－18).14分[规律方法]1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法那么来进行求解的，假设有向线段两端点的坐标，那么应先求向量的坐标．常利用向量相等那么其坐标相同列方程(组)求解．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言〞，实质是“形〞化为“数〞．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．[变式训练2](2022·湖州三次质检)a＝(1，t)，b＝(t，－6)，那么|2a＋b2eq\r(5)[由条件得2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|2a＋b|＝eq\r(2＋t2＋2t－62)＝eq\r(5t－22＋20)，当t＝2时，|2a＋b|的最小值为2eq\r(5).]平面向量共线的坐标表示(1)向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，假设a∥(a＋b)，那么m＝()A．－2 B．2C．－3 D．3(2)梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，那么点D的坐标为________．(1)C(2)(2,4)[(1)由题意可知a＋b＝(2,1＋m)，∵a∥(a＋b)，∴2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3.(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴eq\o(DC,\s\up8(→))＝2eq\o(AB,\s\up8(→)).设点D的坐标为(x，y)，那么eq\o(DC,\s\up8(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)．eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2,4)．][规律方法]1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)假设a∥b(a≠0)，那么b＝λa.2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．[变式训练3](1)(2022·杭州学军中学模拟)向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，假设a∥b，那么锐角θ＝________.(2)向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up8(→))＝(k＋1，k－2)，假设A，B，C三点能构成三角形，那么实数k应满足的条件是________．(1)eq\f(π,4)(2)k≠1[(1)由a∥b，得(1－sinθ)(1＋sinθ)＝eq\f(1,2)，所以cos2θ＝eq\f(1,2)，所以cosθ＝eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)，又θ为锐角，所以θ＝eq\f(π,4).(2)假设点A，B，C能构成三角形，那么向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))不共线．因为eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.][思想与方法]1．平面向量根本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论根底，用平面向量根本定理可将平面内任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．2．利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值．3．假设a与b不共线，λa＋μb＝0，那么λ＝μ＝0.[易错与防范]1．在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up8(→))＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．2．假设a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易无视其中一种情形致误．3．假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.课时分层训练(二十三)平面向量的根本定理及坐标表示A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图4­2­2，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出以下向量组：图4­2­2①eq\o(AD,\s\up8(→))与eq\o(AB,\s\up8(→))；②eq\o(DA,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))；③eq\o(CA,\s\up8(→))与eq\o(DC,\s\up8(→))；④eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OB,\s\up8(→)).其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④B[①中eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))不共线；③中eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))不共线．]2．a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，那么c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)bB[设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.]3．向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向D[由题意可得c与d共线，那么存在实数λ，使得c＝λd，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝－λ，))解得k＝－1.c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．]4．如图4­2­3，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，且eq\o(BP,\s\up8(→))＝2eq\o(PA,\s\up8(→))，那么()图4­2­3A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)A[由题意知eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→))，又eq\o(BP,\s\up8(→))＝2eq\o(PA,\s\up8(→))，所以eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).]5．(2022·广东茂名二模)向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，假设x，y均为正数，那么eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是()A．24 B．8C.eq\f(8,3) D.eq\f(5,3)B[∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，化简得2x＋3y＝3.又∵x，y均为正数，∴eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\f(2,y)))×eq\f(1,3)(2x＋3y)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(9y,x)＋\f(4x,y)＋6))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))＝8，当且仅当eq\f(9y,x)＝eq\f(4x,y)时，等号成立，∴eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是8，应选B.]二、填空题6．(2022·陕西质检(二))假设向量a＝(3,1)，b＝(7，－2)，那么a－b的单位向量的坐标是________.【导学号：51062142】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))[由题意得a－b＝(－4,3)，那么|a－b|＝eq\r(－42＋32)＝5，那么a－b的单位向量的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))).]7．(2022·宁波综合测评(二))平面向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，a＝(1，eq\r(3))，|a－2b|＝2eq\r(3)，那么|b|＝________.2[由题意得|a|＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，那么|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2coseq\f(π,3)|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]8．向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(0，－3)，eq\o(OC,\s\up8(→))＝(5－m，－3－m)，假设点A，B，C能构成三角形，那么实数m满足的条件是________.【导学号：51062143】m≠eq\f(5,4)[由题意得eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3,1)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2－m,1－m)，假设A，B，C能构成三角形，那么eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))不共线，那么－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠eq\f(5,4).]三、解答题9．A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b).(1)假设A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)假设eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AB,\s\up8(→))，求点C的坐标．[解](1)由得eq\o(AB,\s\up8(→))＝(2，－2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(a－1，b－1).2分∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(AC,\s\up8(→)).∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.6分(2)∵eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AB,\s\up8(→))，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).10分∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝4，,b－1＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－3，))∴点C的坐标为(5，－3).14分10．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)假设(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[解](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，4分所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))8分(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，10分由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).14分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．正三角形ABC的边长为2eq\r(3)，平面ABC内的动点P，M满足|eq\o(AP,\s\up8(→))|＝1，eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\o(MC,\s\up8(→))，那么|eq\o(BM,\s\up8(→))|2的最大值是()A.eq\f(43,4) B.eq\f(49,4)C.eq\f(37＋6\r(3),4) D.eq\f(37＋2\r(33),4)B[设BC的中点为O，以点O为原点建立如下图的平面直角坐标系，那么B(－eq\r(3)，0)，C(eq\r(3)，0)，A(0,3)．又|eq\o(AP,\s\up8(→))|＝1，∴点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.由eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\o(MC,\s\up8(→))知点M为PC的中点，设M点的坐标为(x，y)，相应点P的坐标为(x0，y0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋\r(3),2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－\r(3)，,y0＝2y，))∴(2x－eq\r(3))2＋(2y－3)2＝1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(1,4)，∴点M的轨迹是以Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))为圆心，r＝eq\f(1,2)为半径的圆，∴|BH|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\