高考数学一轮复习专题十一概率与统计3条件概率二项分布及正态分布专题检测含解析新人教A版

PAGEPAGE1条件概率、二项分布及正态分布专题检测1.(2019湖南长沙一模,7)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为 ()A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48答案A设一个这种元件使用1年为事件A,使用2年为事件B,则这个元件在使用到1年时还未失效的前提下,这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0失分警示本题考查了条件概率,属简单且易错题型.2.(2020重庆模拟)某公司生产了一批新产品,这种产品的综合质量指标值X服从正态分布N(100,σ2)且P(X<80)=0.2.现从中随机抽取该产品1000件,估计其综合质量指标值在[100,120]内的产品件数为 ()A.200B.300C.400D.600答案B本题考查正态分布密度函数的性质及应用,要注意利用正态曲线的对称性求解概率,同时考查学生利用转化思想解决问题的能力,体现了数学运算的核心素养.∵综合质量指标值X服从正态分布N(100,σ2)且P(X<80)=0.2,∴P(X<80)=P(X>120)=0.2,P(X≤100)=P(X≥100)=0.5.∴P(100≤X≤120)=P(X≥100)-P(X>120)=0.3.故综合质量指标值在[100,120]内的产品件数为1000×0.3=300.故选B.3.(2020北京清华附中朝阳学校开学摸底,4)已知随机变量X满足条件X~B(n,p),且E(X)=12,D(X)=125,那么n与p的值分别为 (A.16,45B.20,25C.15,45答案C本题考查随机变量的均值与方差,考查学生运算求解的能力,体现数学运算的核心素养.∵X~B(n,p),且E(X)=12,D(X)=125,∴解得n=15,p=45,故选C思路分析根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n与p的值.4.(2019广东汕头模拟,8)如图所示,半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆,将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内,用A表示事件“豆子落在圆O内”,B表示事件“豆子落在扇形OEF(阴影部分)内”,则P(B|A)= ()A.π4B.C.π12D.答案B由已知得P(A)=π×1222=π4,P(AB)=14×π×1222=π16,∴P(B失分警示条件概率的计算方法:P(B|A)=P(AB)5.(2019河南郑州二模,7)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为 ()(附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545.)A.906B.2718C.340D.3413答案C∵X~N(-2,4),∴阴影部分的面积S=P(0≤X≤2)=12[P(-6≤X≤2)-P(-4≤X≤0)]=12×(0.9545-0.6827)=0.1359,则在正方形中随机投一点,该点落在阴影部分内的概率P=0.13594,∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0解题关键本题考查正态密度曲线的特点,数形结合是解决问题的关键.6.(2020山东烟台第一中学第一次联考,4)首届中国国际进口博览会期间,甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备,他们购买该机床设备的概率分别为12,13,14,且三家企业的购买结果相互之间没有影响,则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是A.2324B.524C.1124答案C本题以实际问题为背景考查互斥事件的和事件的概率计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.设“甲企业购买该机床设备”为事件A,“乙企业购买该机床设备”为事件B,“丙企业购买该机床设备”为事件C,则P(A)=12,P(B)=13,P(C)=则P(A)=1-P(A)=1-12=12,P(B)=1-P(B)=1-13=23,P(C)=1-P(C)=1-14=34则P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=12×23×34+12×13×34+12×2思路分析由已知得三家企业中恰有1家购买该机床设备分三种情况:只有甲企业购买,只有乙企业购买或只有丙企业购买.设出每一个企业购买设备所表示的事件,并求其对立事件的概率,根据互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和求解得出答案.7.(2020重庆一中摸底考试,8)规定投掷飞镖3次为一轮,3次中至少两次投中8环以上的为优秀.现采用随机模拟试验的方法估计某人投掷飞镖的情况:先由计算器产生随机数0或1,用0表示该次投镖未在8环以上,用1表示该次投镖在8环以上,再以每三个随机数作为一组,代表一轮的结果.例如:“101”代表第一次投镖在8环以上,第二次投镖未在8环以上,第三次投镖在8环以上,该结果代表这一轮投镖为优秀,“100”代表第一次投镖在8环以上,第二次和第三次投镖均未在8环以上,该结果代表这一轮投镖为不优秀.经随机模拟试验产生了如下10组随机数,据此估计,该选手投掷飞镖两轮,至少有一轮可以拿到优秀的概率是 ()101111011101010100100011111001A.625B.2125C.1225答案B模拟试验中,总共进行了10轮,每轮中至少两次投中8环以上的有6轮,用频率估计概率可得该选手每轮拿到优秀的概率为610=35,那么该选手投掷飞镖两轮,至少有一轮可以拿到优秀的概率P=1-C203508.(2018广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X的方差为答案30800解析启动一次出现数字为A=10101的概率P=132×232=481.由题意知100次独立重复试验中,成功的次数η服从二项分布B100,481,∴η的方差Dη=100×481×7781=30800所以DX=D(3η-100)=9Dη=308007299.(2017河北“五个一名校联盟”二模,18)空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数;(2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的天数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.解析(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质量为良的天数为4,∴该样本中空气质量为优良的频率为610=35,从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×3(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,且ξ~B3∴P(ξ=0)=253=P(ξ=1)=C31×35×2P(ξ=2)=C32352P(ξ=3)=353=ξ的分布列为ξ0123P8365427Eξ=3×35=1.8解题关键判断出ξ服从二项分布是解第(2)问的关键.10.(2020天一联考“顶尖计划”高中毕业班第二次考试,19)某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有A,B两种,且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位:mm)分别为随机变量X,Y,其中X服从正态分布N(45,25),Y服从正态分布N(55,25).(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间[45,55]的概率;(2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z,若用正态分布N(μ0,σ02)来近似描述Z的分布,请你根据(1)中的结果,求参数μ0和σ0的值(精确到0(3)在(2)的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只,记这3只中翼长在区间[42.2,57.8]的个数为W,求W的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可).注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-0.64σ≤X≤μ+0.64σ)≈0.4773,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.解析本题考查正态分布、二项分布.(1)记这只蜻蜓的翼长(单位:mm)为t.因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等,所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的. (2分)所以P(45≤t≤55)=12×P(45≤X≤55)+12×P(45≤Y≤55)=12×P(45≤X≤45+2×5)+12×P(55-2×5≈12×0.95452+12×0.9545(2)两种蜻蜓的个体数量大致相等,X,Y的方差也相等,根据正态曲线的对称性,可知μ0=45+552=50.0. (7分∵0.47725≈0.4773,∴由题意可知45=μ0-0.64σ0,55=μ0+0.64σ0,得σ0=50.64≈7.8.(3)由(2)知P(42.2≤Z≤57.8)=P(μ0-σ0≤Z≤μ0+σ0)=0.6827. (10分)由题意有W~B(3,0.6827),所以P(W=k)=C3k×0.6827k×0.31733-k. (11因此W的分布列为W0123PC300.C310.68271×0.C320.68272×0.C330.E(W)=3×0.6827=2.0481. (12分)11.(2020百校联盟TOP209月联考,22)某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测,为了了解玩家对游戏的体验感,研究人员随机调查了300名玩家,对他们的游戏体验感进行测评,并将所得数据统计如图所示,其中a-b=0.016.(1)求这300名玩家测评分数的平均数;(2)由于该公司近年来生产的游戏体验感较差,公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测,如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进,则公司将回收该款游戏进行改进;若3人中仅1人认为游戏需要改进,则公司将另外聘请2位专家二测,二测时,2人中至少有1人认为游戏需要改进的话,公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为p(0<p<1),且每款游戏之间改进与否相互独立.(i)对该公司的任意一款游戏进行检测,求该款游戏需要改进的概率;(ii)每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人,今年所有游戏的研发总费用为50万元,现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测,假设公司的预算为110万元,判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算,并通过计算说明.解析(1)由题意可得(0.005+a+b+0.035+0.028)×10=1,所以a+b=0.032.又a-b=0.016,联立a+b=0.032,a-b=0.016,所以300名玩家测评分数的平均数为55×0.05+65×0.24+75×0.35+85×0.28+95×0.08=76. (4分)(2)(i)因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为C32p2(1-p)+C33p3一款游戏二测被认定需要改进的概率为C31p(1-p)2[1-(1-p)2], (6所以某款游戏被认定需要改进的概率为C32p2(1-p)+C33p3+C31p(1-p)=3p2(1-p)+p3+3p(1-p)2[1-(1-p)2]=-3p5+12p4-17p3+9p2. (7分)(ii)设每款游戏的评测费用为X元,则X的可能取值为900,1500.P(X=1500)=C31p(1-p