九年级中考数学重难点训练-三角形的综合

中考数学重难点训练——三角形的综合一、综合题1．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积。2．如图，已知菱形中，且延长至点，使，连接和．（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形．3．已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠DAE＝∠AEF．（1）求证：EF＝BE+DF；（2）线段AF的垂直平分线交AD于点G，连接FG，求证：∠EFG＝90°；（3）在（2）的条件下，若tan∠DFG＝，EF＝，求S△AEF．4．如图所示，已知△ABC中，BC=30cm，AD=10cm．AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC边上．设EF=x，FG=y．（1）求y与x的函数关系式．并求自变量x的取值范围．（2）若x：y=1：2，求矩形EFGH的面积．（3）当EF为何值时，矩形EFGH的面积最大？最大面积是多少?5．如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．（1）若AB＝8，AC＝4，求DE的长；（2）求证：AB﹣AC＝2DM．6．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3cm，过点A作∠EAF＝60°，分别交DC，BC的延长线于点E，F，连接EF.（1）如图1，当CE＝CF时，判断△AEF的形状，并说明理由；（2）若△AEF是直角三角形，求CE，CF的长度；（3）当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积是否会发生变化，请说明理由.7．已知等边△ABC和射线AP，作AC边关于射线AP的对称线段AD，连接BD，CD．（1）如图1，当射线AP在∠BAC内部时，①请依题意补全图形；②若∠PAC＝15°，则∠BDC＝▲度；③若∠PAC＝x°，试求∠BDC的度数；（2）如图2，当射线AP在∠BAC外部的AC右侧时，设BD交AP于点E，①∠BDC＝▲度；②线段AE，BE，DE之间有何数量关系？试说明理由．8．如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣2，2）.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴正方向运动，过点Q作直线l垂直x轴.当点P到达点O时，点Q也停止运动.连接BP，作PD⊥BP交直线l于点D.连结BD交y轴于点E，连接PE.设点P的运动时间为t（s）.（1）①点D的坐标为（用含t的代数式表示）.②当0＜t≤2时，∠PED的大小范围是.（2）当0＜t＜2时，△POE的周长C是否随t的变化而变化？若变化，求出C关于t的关系式；若不变，求出C的值.（3）当t＝秒时，△PBE为等腰三角形（直接给出答案）.9．如图，已知正方形OEFG的顶点O与正方形ABCD的中心O重合，若正方形OEFG绕O点旋转．（1）探究：在旋转的过程中线段BE与线段CG有什么数量关系及位置关系？证明你的结论；（2）若正方形ABCD的边长为a，探究：在旋转过程中四边形OMCN的面积是否发生变化？若不变化求其面积，若变化指出变化过程．10．（1）问题发现：如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD交于点M．①的值为；②∠AMB的度数为；（2）类比探究：如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．11．如图，以为边分别作菱形和菱形（点，，共线），动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点.设.（1）求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值.（2）当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由.12．如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积；（2）在y轴上是否存在一点Q，连接QA，QB，使△AQB的面积等于四边形ABDC的面积的一半？若存在这样的点，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点P是线段BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系，并证明你的结论．13．如图1，菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝3cm，AE＝4cm，把四边形BCDE沿DE所在直线折叠，使点B落在AE上的点M处，点C落在点N处，MN交AD于点F．（1）证明：FA＝FM；（2）求四边形DEMF面积；（3）如图2，点P从点D出发，沿D→N→F路径以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△DPF的面积与四边形DEMF的面积相等．14．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，A（4m，3m），且四边形ABOC的面积为48．（1）如图①，求A点的坐标；（2）如图②，点D从O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，同时点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线BA运动，DE交线段AC于F，设运动的时间为t，当S△AEF＜S△CDF时，求t的取值范围．15．如图，在等腰直角三角形中，．点是的中点，以为边作正方形，连接．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．（1）如图，在旋转过程中，①判断与是否全等，并说明理由；②当时，与交于点，求的长．（2）如图，延长交直线于点．①求证：；②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值．（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG＋BH的最小值．17．如图1，已知点A，B，C，D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG．求证：四边形BGCE是平行四边形．18．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE求证：四边形AFCE为菱形；（2）如图1，求AF的长；（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．2．【答案】（1）解：∵菱形∴，∴∵∴（2）解：∵菱形，∴，，∴四边形是平行四边形，∵∴△ABD是等边三角形∴．∴四边形是菱形．3．【答案】（1）证明：过点A作AH⊥EF于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠DAE＝∠AEF，∴∠BEA＝∠AEF，在△ABE和△AHE中，∵，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴AB＝AH，BE＝HE，∴AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），∴DF＝HF，∵EF＝HE+HF，∴EF＝BE+DF（2）解：如图2，由题意知GA＝GF，∴∠GAF＝∠GFA，由（1）知∠AFE＝∠AFD，∵∠FAD+∠AFD＝90°，∴∠GFA+∠AFE＝90°，∴∠EFG＝90°（3）解：由tan∠DFG＝＝可设DG＝3x，DF＝4x，则AG＝GF＝＝＝5x，EH＝DF＝4x，∴BC＝CD＝AD＝8x，∴CF＝CD﹣DF＝4x，∵EF＝，∴BE＝EH＝EF﹣FH＝﹣4x，则EC＝BC﹣BE＝8x﹣（﹣4x）＝12x﹣，在Rt△ECF中，由EF2＝EC2+CF2得（）2＝（12x﹣）2+（4x）2，解得：x1＝0（舍），x2＝1，即AH＝AD＝8x＝8，∴S△AEF＝EF•AH＝××8＝4．【答案】（1）解：如图，∵EF=x，FG=y，∴DM=EF=x，AM=AD-DM=10-x，∵EH//BC，∴，即，∴y=30-3x；∵y＞0，∴30-3x＞0，即x＜10，∵x＞0，∴x取值范围为0＜x＜10；（2）解：∵x：y=1：2，∴y=2x，∵y=30-3x，∴2x=30-3x，∴x=6，∴y=12，∴矩形EFGH的面积=6×12=72；（3）解：设四边形EFGH的面积为S，则S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75，∴当x=5时，即EF=5时，S有最大值为75．5．【答案】（1）解：直角△ABE中，AE＝AB＝4，在直角△ACD中，AD＝AC＝2，则DE＝AE﹣AD＝4﹣2＝2；（2）解：延长CD交AB于点F．在△ADF和△ADC中，∠FAD=∠CADAD=AD∴△ADF≌△ADC（ASA），∴AC＝AF，CD＝DF，又∵M是BC的中点，∴DM是△CBF的中位线，∴DM＝BF＝（AB﹣AF）＝（AB﹣AC），∴AB﹣AC＝2DM．6．【答案】（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：连接BE、DF，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC＝AD，∠ABC＝∠ADC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BE＝DF，CBE＝∠CDF，∴∠ABC+∠CBE＝∠ADC+∠CDF，即∠ABE＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；（2）解：分两种情况：①∠AFE＝90°时，连接AC、MN，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC＝AD＝3，∠D＝∠B＝60°，AD∥BC，AB∥CD，∴△ABC和△ADC是等边三角形，∴AC＝AD，∠ACM＝∠D＝∠CAD＝60°＝∠EAF，∴∠MAC＝∠NAD，在△MAC和△NAD中，，∴△MAC≌△NAD（ASA），∴AM＝AN，CM＝DN，∵∠EAF＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM＝MN＝AN，设AM＝AN＝MN＝m，DN＝CM＝b，BM＝CN＝a，∵CF∥AD，∴△CFN∽△DAN，∴，∴FN＝，∴AF＝m+，同理：AE＝m+，在Rt△AEF中，∵∠EAF＝60°，∴∠AEF＝30°，∴AE＝2AF，∴m+＝2（m+），整理得：b2﹣ab﹣2a2＝0，（b﹣2a）（b+a）＝0，∵b+a≠0，∴b﹣2a＝0，∴b＝2a，∴＝，∴CF＝AD＝，同理：CE＝2AB＝6；②∠AEF＝90°时，连接AC、MN，如图3所示：同①得：CE＝AD＝，CF＝2AB＝6；（3）解：当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积不发生变化；理由如下：作FH⊥CD于H，如图4所示：由（2）得：BM＝CN＝a，CM＝DN＝b，∵AD∥CF，∴△ADN∽△FCN，∴，∵CE∥AB，∴∠FCH＝∠B＝60°，△CEM∽△BAM，∴，∴，∴CF×CE＝AD×AB＝3×3＝9，∵CH＝CF×sin∠FCH＝CF×sin60°＝CF，△CEF的面积＝CE×FH＝CE×CF＝×9×＝，∴△CEF的面积是定值，不发生变化.7．【答案】（1）解：①解：如图，补全图形：；②150°；③由对称可知，∠PAC=∠PAD=x°，∵AD=AB=AC，∠BAD=60°-2x°，∴∠ADC=，∠ADB=，∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=+=150°；∠BDC的度数为150°；（2）解：①30°；②BD=2DE+AE，理由如下：如图，在BD上截取EG=EC，由（2）①知：∠BDC=30°，∠ADB=∠ABD=60°-α，由对称可知，∠EDC=∠ECD=30°，∠AED=90°+30°=120°，∴∠BEC=∠EDC+∠ECD=60°，∴△CGE是等边三角形，∴∠BGC=∠AED=120°，∵∠CBG=60°-∠ABD=60°-(60°-α)=α，∵∠CBG=∠DAE=α，∴△CBG≌△DAE（AAS），∴AE=BG，∵EG=CE=DE，∴BD=2DE+BG，即BD=2DE+AE．8．【答案】（1）（t，t）；90°≤∠PED＜135°（2）解：结论：△POE的周长C＝4，是定值.理由：延长OA到K，使得AK＝CE，连接BK，∵BC＝BA，∠BCE＝∠BAK＝90°，CE＝AK，∴△KAB≌△ECB（SAS），∴KB＝EB，∠KBA＝∠EBC，∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠EBC＝45°，∴∠KBP＝∠KBA+∠ABP＝∠EBC+∠ABP＝45°，∴∠KBP＝∠EBP，∴△KBP≌△EBP（SAS），∴KP＝EP，∴EP＝KP＝KA+AP＝CE+AP，∴△POE的周长C＝PE+OP+OE＝PA+OP+OE+EC＝2OA＝4，是定值.（3）2或（﹣2）9．【答案】（1）解：BE＝CG，BE⊥CG，理由如下：连接OB、OC，延长GC交BE于T点，交OE于H点，∵O是正方形的中心，∴OB＝OC．∵∠BOE+∠MOC＝90°，∠COG+∠MOC＝90°，∴∠BOE＝∠COG．又OE＝OG，∴△OBE≌△OCG（SAS）．∴BE＝CG，∠BEO＝∠CGO．∵∠OHG+∠CGO＝90°，∠OHG＝∠EHT，∴∠EHT+∠BEO＝90°，即∠HTE＝90°，所以GC⊥BE（2）解：在旋转过程中四边形OMCN的面积不发生变化，理由如下：在△OBM和△OCN中∴△OBM≌△OCN（ASA）∴四边形OMCN的面积＝△OMC面积+△OCN面积＝△OMC面积+△OBM面积＝△OBC面积．∵△OBC面积＝a2．所以在旋转过程中四边形OMCN的面积不发生变化．10．【答案】（1）1；36°（2）解：在△OAB和△OCD中，∵∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，∴tan30°=，∵∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，即∠DOB=∠COA，∴△DOB∽△COA，∴，∠DBO=∠CAO，∵∠DBO+∠OEB=90°，∠OEB=∠MEA，∴∠CAO+∠MEA=90°，∴∠AMB=90°，∴=，∠AMB=90°；（3）3或411．【答案】（1）证明：如图所示：连接BF、CE，∵菱形和菱形（点，，共线），∴点G、B、E共线，，，∴四边形BFCE是平行四边形，∴与相互平分，即：无论为何值，与相互平分；又∵，∴四边形BFCE是菱形，∴BE=BF，又∵菱形和菱形，，为等边三角形，；（2）解：如图所示：连接AF，AO，设EF与AC交于点H，∵垂直平分，由（1）知，O为BC的中点，∴动点在以O为圆心，为直径且处于菱形内的圆弧上，，，，，在和中，，，，∵，菱形，∴四边形BCFG为正方形，，，设，则，，在中，，，.12．【答案】（1）解：由题意，点C的坐标为（0，2），D点坐标为（4，2），∵AC∥BD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABDC的面积＝2×4＝8．（2）解：存在．设Q点坐标为（0，t），∵S△QAB＝S四边形ABCD，∴•4•|t|＝4，解得t＝±2，∴Q点坐标为（0，2）或（0，﹣2）．（3）解：结论：∠OPC＝∠PCD＋∠POB．理由：过点P作PE∥CD．∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠EPC＝∠PCD，∠EPO＝∠POB，∴∠OPC＝∠EPC＋∠EPO＝∠PCD＋∠POB．13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，由折叠可知∠NMB＝∠B，且∠NMA+∠NMB＝180°，∴∠A＝∠NMA，∴FA＝FM；（2）解：过点F作FG⊥AM于G，由（1）可知AG＝GM＝，Rt△ADE中，AE＝4cm，DE＝3cm，∴AD＝5cm，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝5cm，∴EB＝AB﹣AE＝1cm，∴EM＝EB＝1cm，∴AM＝AE﹣EM＝3cm，∴cm，又∵cm，∴cm，∴cm2，∴S四边形DEMF＝S△ADE﹣S△AFM＝6﹣cm2；（3）解：分两种情况：①0＜t≤5时，如图2，此时P在边DN上，过点F作FH⊥ND于H，∵DN∥AM，∴，∵MN＝BC＝5，∴FN＝，sin∠N＝，∴FH＝，S△DPF＝，令解得：；②∵DN+FN＝5+，当时，P在FN上，如图3，过P作PK⊥DN于K，∵PN＝t﹣5，∴PK＝，S△DPF＝S△NFD﹣S△NPD＝，令﹣，解得：t＝，所以，综上，当t＝或t＝时，△DPF面积与四边形DEMF面积相等．14．【答案】（1）解：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，∴四边形ABOC是矩形，∵AC=4m，AB=3m，四边形ABOC的面积为48，∴4m×3m=48，∴m=2或-2，∵点A在第一象限，∴m=2，∴A（8，6）；（2）解：由题意知，OD=t，AE=2t，∵S△AEF＜S△CDF，∴S△CDF+S五边形ABODF＞S△AEF+S五边形ABODF，即S四边形ABOC＞S梯形DOBE，∴，∴，∴t的取值范围是．15．【答案】（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形中，AD=CD，，在正方形中，GD=ED，，又∵，，∴在和中，，∴（SAS）；②如解图2，过A点作AM⊥GD，垂足为M，交FE与N，∵点是的中点，∴在正方形中，DE=GD=GF=EF=2，由①得，∴，又∵，∴，∵AM⊥GD，∴，又∵，∴四边形GMNF是矩形，∴，在中，，∴∵，∴∴，∴．（2）①由①得，∴，又∵，∴，∴，即：；②∵，∴，∴当最大时，PC最大，∵∠DAC=45°，是定值，∴最大时，最大，PC最大，∵AD=4，GD=2，∴当GD⊥AG，最大，如解图3，此时，又∵，，∴F点与P点重合，∴CEFP四点共线，∴CP=CE+EF=AG+EF=，∴线段得最大值为：．16．【答案】（1）结论：四边形BOCE是矩形．理由：∵BE∥OC，EC∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形BOCE是矩形．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm，∵S△ABG＝2S△OBG，∴AG＝2OG，∴2t＝2（3