2023版高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的概率与统计问题文北师大版

PAGEPAGE112022版高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的概率与统计问题文北师大版1．(2022·安阳质检)一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响．至少命中一次的概率为eq\f(80,81)，那么此射手的命中率为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(8,9)答案C解析设此射手未命中目标的概率为p，那么1－p4＝eq\f(80,81)，所以p＝eq\f(1,3)，故1－p＝eq\f(2,3).2．在可行域内任取一点，其规那么如算法框图所示，那么能输出数对(x，y)的概率是()A.eq\f(π,8)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,2)答案B解析依题意可行域为正方形，输出数对(x，y)形成的图形为图中阴影局部，故所求概率为P＝eq\f(\f(1,4)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2,\f(\r(2),2)·\f(\r(2),2))＝eq\f(π,4).3．(2022·西安模拟)红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，记事件“每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后〞为事件A，那么事件A发生的概率为()A.eq\f(1,20)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)答案C解析红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，根本领件总数n＝2×2×2＝8.每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后为事件A，那么事件A包含的根本领件个数m＝1，∴事件A发生的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(1,8).4．(2022·哈尔滨模拟)甲、乙、丙三人站成一排照相，那么甲、乙两人相邻而站的概率为________．答案eq\f(2,3)解析甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲丙)，(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)共6种排法，由概率计算公式得，甲、乙两人相邻而站的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).5.为了从甲、乙两名运发动中选拔一人参加某次运动会跳水工程，对甲、乙两名运发动进行培训，现分别从他们在培训期间参加的假设干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如下图．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派________(填甲或乙)运发动适宜．答案甲解析根据茎叶图，可得eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝eq\f(133,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝eq\f(139,3).因为eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲运发动的成绩比拟稳定，选派甲运发动参赛比拟适宜.题型一古典概型与几何概型例1(1)(2022·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k，那么事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交〞发生的概率为________．(2)假设任意x∈A，那么eq\f(1,x)∈A，就称A是“和谐〞集合，那么在集合M＝{－1,0，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，1,2,3,4}的所有非空子集中，“和谐〞集合的概率是________．答案(1)eq\f(3,4)(2)eq\f(1,17)解析(1)由得，圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于半径，∴eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4)，由几何概型得P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－－1)＝eq\f(3,4).(2)由题意，“和谐〞集合中不含0和4，而2和eq\f(1,2)，3和eq\f(1,3)成对出现，1和－1可单独出现，故“和谐〞集合分别为{1}，{－1}，{－1,1}，{2，eq\f(1,2)}，{3，eq\f(1,3)}，{1,3，eq\f(1,3)}，{1,2，eq\f(1,2)}，{－1,2，eq\f(1,2)}，{－1,3，eq\f(1,3)}，{3，eq\f(1,3)，2，eq\f(1,2)}，{2，eq\f(1,2)，1，－1}，{3，eq\f(1,3)，1，－1}，{1,3，eq\f(1,3)，2，eq\f(1,2)}，{－1,3，eq\f(1,3)，2，eq\f(1,2)}，{3，eq\f(1,3)，2，eq\f(1,2)，1，－1}，共15个，而集合M的非空子集有28－1＝255个，故“和谐〞集合的概率是P＝eq\f(15,255)＝eq\f(1,17).思维升华几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的根本领件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．(1)(2022·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和小于10的概率是________．(2)(2022·济南月考)函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≤12，,f－1≤3))为事件A，那么事件A发生的概率为()A.eq\f(5,8)B.eq\f(5,16)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)答案(1)eq\f(5,6)(2)A解析(1)根本领件共有36个．列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个．故所求概率为P＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≤12，,f－1≤3))即为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c≤8，,－b＋c≤2.))作出0≤b≤4,0≤c≤4及eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c≤8，,－b＋c≤2))表示的区域(图略)，由几何概型概率公式得所求概率为P＝eq\f(16－6,16)＝eq\f(5,8).题型二概率与统计的综合应用例2经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；解(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X<130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.跟踪训练2(2022·衡阳模拟)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(总分值100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下图的频率分布直方图．(1)求图中实数a的值；(2)假设该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)假设从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解(1)由，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.03.(2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，这2人分别记为A，B；成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，这4人分别记为C，D，E，F.假设从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，那么所有的根本领件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10〞为事件M，那么事件M包含的根本领件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个，故所求概率P(M)＝eq\f(7,15).题型三概率与统计案例的综合应用例3(2022·湖北武汉华中师大一附中期末)某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科、理科的情况如下表所示.性别科目男女文科25理科103(1)假设在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；(2)用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高二学生选报文理科与性别有关？参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)P(χ2≥k0)0.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解(1)报考文科的2名男生记为A1，A2，报考文科的3名女生记为B1，B2，B3，从5人中选3人有(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A2，B3)，(A1，B1，B2)，(A1，B1，B3)，(A1，B2，B3)，(A2，B1，B2)，(A2，B1，B3)，(A2，B2，B3)，(B1，B2，B3)，共10种．3人中既有男生也有女生的有9种，∴所求概率为eq\f(9,10).(2)χ2＝eq\f(20×2×3－10×52,12×8×13×7)≈4.432>3.841，可知有95%以上的把握认为该中学的高二学生选报文理科与性别有关．思维升华统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．为了解大学生观看某卫视某综艺节目是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：喜欢看“某综艺节目〞不喜欢看“某综艺节目〞合计女生5男生10合计50假设该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析，知道其中喜欢看“某综艺节目〞的有6人．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜欢看“某综艺节目〞与性别有关？说明你的理由；(3)喜欢看“某综艺节目〞的10位男生中，A1，A2，A3，A4，A5还喜欢看新闻，B1，B2，B3还喜欢看动画片，C1，C2还喜欢看韩剧，现在从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调查，求B1和C1不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：P(χ2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)解(1)由分层抽样知识知，喜欢看“某综艺节目〞的同学有50×eq\f(6,10)＝30(人)，故不喜欢看“某综艺节目〞的同学有50－30＝20(人)，于是可将列联表补充如下：喜欢看“某综艺节目〞不喜欢看“某综艺节目〞合计女生20525男生101525合计302050(2)∵χ2＝eq\f(50×20×15－10×52,30×20×25×25)≈8.333>7.879.∴有99.5%的把握认为喜欢看“某综艺节目〞与性别有关．(3)从喜欢看“某综艺节目〞的10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各1名，其一切可能的结果组成的根本领件共有N＝5×3×2＝30(个)，用M表示“B1，C1不全被选中〞这一事件，那么其对立事件eq\x\to(M)表示“B1，C1全被选中〞这一事件，由于eq\x\to(M)由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，(A4，B1，C1)，(A5，B1，C1)5个根本领件组成，所以P(eq\x\to(M))＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6).由对立事件的概率公式得P(M)＝1－P(eq\x\to(M))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).1．甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规那么如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否那么算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球、2个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．(1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率；(2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率，并比拟这两种游戏哪种游戏更公平，试说明理由．解(1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的根本领件有5×5＝25(个)，其中甲赢有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(2,2)，(2,4)，(4,4)，(4,2)，共13个根本领件，∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为P＝eq\f(13,25).(2)设4个白球为a，b，c，d,2个红球为A，B，那么游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球，根本领件有6×6＝36(个)，其中乙赢有(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共16个根本领件，∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P′＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).∵|eq\f(13,25)－eq\f(1,2)|<|eq\f(4,9)－eq\f(1,2)|，∴游戏Ⅰ更公平．2．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的根本领件，并求这两项的值相等的概率．解(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.依题意得S10＝10＋eq\f(10×9,2)d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的根本领件有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，共9个．符合题意的根本领件有(1,1)，(2,2)，共2个．故所求的概率P＝eq\f(2,9).3．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5(1)请画出茎叶图．如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接答复结论)；(2)经过对甲、乙两位同学的假设干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．解(1)甲、乙两人10次训练的成绩的茎叶图如图：从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，乙成绩的稳定性更好，所以选派乙同学代表班级参加比赛更好．(2)设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，那么|x－y|<0.8，得x－0.8<y<0.8＋x，如图，阴影局部面积即为3×3－2.2×2.2＝4.16，那么P(|x－y|<0.8)＝P(x－0.8<y<0.8＋x)＝eq\f(4.16,3×3)＝eq\f(104,225).4.(2022·贵阳模拟)一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生A1A2A3A4A5数学成绩x(分)8991939597物理成绩y(分)8789899293(1)要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；(2)根据上表数据，用变量y与x的相关系数和散点图(在所给坐标系中画出)说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01)，如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s