数形结合思想方法在中学数学学习中的应用举例

数形结合思想方法在中学数学学习中的应用举例数形结合思想办法在中学数学学习中的应用举例

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1671-0568〔2022〕19-0033-03

一、数学思想办法的含义

数学家和数学教育工作者从不同的角度论述了数学思想办法，其中最有影响力的是基于哲学的角度。所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、丰盛，而前者比后者更本质、深刻。数学办法那么是指在从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、伎俩、途径等。

数学思想、观点、办法三者相互关联、密不可分：如果人们站在某个位置，从某个角度运用数学去察看和思考问题，则数学思想也就成了一种观点；而对于数学办法来说，思想是其相应办法的精神实质和理论根底，办法那么是践行某种思想的技术伎俩。运用数学办法来解决问题都包含了数学思想，数学思想那么通过办法来体现。

二、中学数学中常用的数学思想办法

在中学数学教学体系中，一些重要、典型的数学思想办法较为常见，常用的有如下几种：转换化归的思想办法、函数与方程的思想办法、数形结合思想办法、极限思想办法。其中，数形结合思想办法最为常用，下面将对数形结合思想办法进行简要表明。

三、数形结合思想办法

1.数形结合思想办法的涵义

数形结合思想办法中的“数〞可以广义地理解为数学文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题；相应地，“形〞可以理解为图形表征，即实物、图象、图形、符号等。

数学问题中常常出现“数〞和“形〞的形态，两者为研究对象的不同侧面，通过数形结合可以将数学问题简单化、具体化，可以通过数量关系和图形性质之间的彼此转化或者综合起来分析、解决问题。数形结合思想办法不仅对其所含的数学意义进行了分析，还揭示了其所蕴含的几何直观，实现了空间形式直观形象与数量关系精确刻画的有机结合。

2.采用数形结合思想办法的意义

“数学思想蕴含在数学知识形成、开展和应用的过程中，是数学知识和办法在更高层次上的抽象和概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。〞由此可见，新课标把数形结合思想办法放在很重要的位置上。数与形贯通中学数学的整个知识体系，这两者的结合是教学的重点、难点。示例，有理数可以用数轴上的点来表示，有理数的相反数、绝对值等都具有一定的几何意义。再如，针对列方程解应用题，解题的有效办法就是找到等量关系列方程，但通过文字表述来寻找等量关系具有一定的难度，此时，较为有效的办法就是结合题意画出示意图，并充沛利用图形的形象化、直观性、简单化等优势，将问题化繁为简，化难为易。

而在高中数学课程中，数形结合的问题那么更为普遍，所以数形结合的思想也就显得尤为重要。示例，在解汇合题时，就可以通过图示法直观、形象地展现汇合与元素以及汇合之间的关系。实践证明，数形结合在解决二次、对数、指数、三角函数局部问题时发挥着重要作用：可以通过图象直观地表示函数关系，从而更高效、准确地展示函数的单调性、奇偶性等，最终到达分析、解决问题的目的。

3.数形结合思想办法在中学数学学习中的具体应用举例

在数形结合思想办法中，“数〞研究的主要是代数元素，“形〞研究的那么是几何元素，它们之所以有对应关系，源于研究的是同一个问题，只是研究角度不同而已。对于一个问题，我们从几何角度认识，能获得几何解法；而从代数角度认识，那么能够获得代数的解决计划。

笔者认为，数形结合具体可以体现为“以数助形〞“以形助数〞。其中，“以数助形〞是以“数〞为伎俩，以“形〞为目的，充沛利用数的精确性、严密性等优势，来表述形的特性内容，如应用曲线方程来精确地阐明曲线的几何性质等；而“以形助数〞那么以“形〞为伎俩，以“数〞为目的，它利用形的生动性、直观性来说明数之间的联系。

〔1〕以数助形。学生在研究几何问题时，需要通过分析图形中的数量关系来探讨图形的结构和性质。经常用到的办法是通过建立坐标系，化几何问题为代数问题，即坐标法。另外，比拟常用的办法还有三角法和向量法。

第一，利用坐标法解决几何问题。在研究几何问题时利用坐标系，可以对几何图形建立适当的坐标系，把几何图形转化成代数方程，从而用代数的办法解决几何问题。用坐标法求解几何问题的步骤是：①建立图形〔立体图形〕与空间向量的联系，用坐标表示问题中所波及的点、线、面，把几何问题转化为代数问题；②通过坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

实践证明，利用坐标系解决几何问题，可以使复杂的问题简单化。因此，在解决几何问题时，如果找不到直接的解决思路，那就可以把它放在直角坐标系中，从而实现顺利解题。笔者认为，在利用坐标系解决几何问题的过程中，建立坐标系是最关键的一步。对于平面几何问题，只需使用平面直角坐标系就可以解决，而对于空间立体几何问题，那么需要建立空间直角坐标系。值得注意的是，在确定坐标轴时，要尽量使图形中的各边、各顶点都落在坐标轴上，这样既能很方便地表示出各顶点坐标，而且求解的过程也很简便，数据相对较小，更容易计算。

第二，利用三角法解决几何问题。学生在解决实际问题时，时常会遇到一些“不能达到的距离问题〞“不能触及的高度问题〞“测量工具不够的情况下测量角度的问题〞，或者是“航海问题〞“计算面积问题〞等，此时是不能直接从原模型中计算出来的，对此，教师就可以引导学生建立数学模型，将它们转化为三角形，用正弦定理、余弦定理等三角形的工具来解决。解决这一类题的步骤是：①分析题意，分清已知与未知，画出示意图；②把题目中的已知量和未知量都放在三角形中，建立解三角形的模型；③利用正弦和余弦定理，把所要求解的目标解出来。第三，利用向量法解决几何问题。向量是既有大小又有方向的量，大小是代数方面的表现，方向是几何方面的表现，所以向量本身是一个数形结合的产物。用向量解决平面几何问题的步骤如下：①建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中波及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。示例两条直线相互垂直，就可以用两条直线的方向向量a《b=0来表示；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译〞成几何关系。示例a=？姿b，表示以a和b为方向的两条直线相互平行。用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点，主要考查应用向量的数量积和线性运算去解决平面几何中的长度、夹角、平行、垂直等问题。

〔2〕以形助数。在思考和解决代数问题时，对于某些从外表上看来与几何毫不相关的概念和问题，有时可以从某些特定的角度出发，画出一个图形或者是示意图，把所要讨论的问题进行几何直观的描述，这样就会对问题的求解提供很多有益的启示。由此可见，借助图形可以把代数问题中的数量关系揭示得更加直观、形象。

我们常用的运用几何思想解决代数问题的办法有：利用函数的图象解决函数问题；把函数图象与轴的交点看成是方程的根，从而解决方程和不等式问题；通过画出约束条件表示的区域，然后求出目标函数的最优解，从而解决线性规划问题等。

第一，利用函数图象来解决函数问题。函数的图象和性质是利用数形结合思想办法解决问题的良好载体。在平时的函数学习中，我们常见的函数图象与函数性质的对应主要有下列几个方面：函数的定义域、值域与坐标轴全部或者是局部对应；函数的最大值和最小值与函数图象的最高点和最低点对应；函数的单调性表现为函数图象的走向；函数的奇偶性表现在函数图象是关于原点对称还是关于y轴对称；函数的周期性表现在函数图象是否有规律地重复出现或是重叠。学生知道函数图象与性质的以上对应，那就可以充沛利用数形结合的数学思想办法来解决函数问题。

第二，利用函数图象解决方程和不等式问题。方程的根和函数的零点〔函数图象与x轴交点的横坐标〕是一一对应的，解方程时如果遇到一些不能用求根公式的方程，这时我们就可以利用函数图象来找出函数的零点，即方程的根。此外，还有一类题目可以把方程的左右两边看成是两个函数，在同一个坐标系中做出两个函数的图象，这两个图象的交点个数就是函数的共同解的个数，交点的横坐标就是方程的根。

不等式问题同理，因为不等式就是把方程中的等号换成不等号。在方程中，方程的根可以看成是函数的零点，即函数图象与x轴交点的横坐标。在不等式中，不等式的解集和方程也是相似的：当不等式大于零时，就代表着函数图象在x轴上方时对应的x的值；当不等式小于零时，代表着函数图象在x轴下方时所对应的x的值。所以在解不等式时，把函数图象画出来，可以通过察看函数图象从而得到不等式的解集。特别地，在解决高次不等式问题时，首先把不等式分解成一次式乘积的形式，使用穿针引线法把标在数轴上的各个根连接起来，注意奇过偶不过的原那么，然后把数轴上方或下方对应的x的值表示出来就是不等式的解集。

第三，利用函数图象解决线性规划问题。线性规划问题是高考中的常考题目，这类问题一般是先给出一个不等式组，称之为约束条件，然后给出一个函数〔目标函数〕，来求目标函数的最大值或最小值问题。解决这类问题的一般步骤是：①在平面直角坐标系中做出可行域〔约束条件所表示的区域〕；②在了解目标函数几何意义的根底上，通过一系列办法将目标函数进行变形；③确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而得到最优解；④求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

有时候题目不会直接给出目标函数和约束条件，而是给出一个应用题的形式，这时，我们就需要分析里边的数据关系，列出目标函数和约束条件，然后再根据求解典型线性规划问题的步骤去解答。

第四，利用函数图象解决数列的问题。我们可以把数列看成是一类特殊的函数，它的图象就是一些孤立的点。特别是对于等差数列，它的图象就是一条直线上孤立的点，它的通项公式是一次函数，它的前N项和公式是常数项为零的二次函数。既然数列是一类特殊的函数，当然可以利用函数图象来解决数列的问题。但是，要注意的是数列的定义域和函数的定义域是不一样的，数列的定义域是不连续的，它只有一些离散的点。比方说等差数列{an}的前N项和为Sn，通项公式为an，则假设要求满足an≥Sn时n的取值，就可以通过画出对应的一次函数和二次函数的图象来求解。

但不是所有数列的题目都可以用数形结合的办法，只有当函数图象很容易画出时求解类似的问题才比拟简单。所以运用数形结合的思想办法来解决数列问题最常见的问题是等差数列的问题。

除了以上4种以形助数的情况外，还有很多可以运用数形结合思想办法来解决的数学问题。示例，利用韦恩图或数轴的办法表示汇合，这样利用数形结合的办法，可以使得某些