-新教材高中数学课时检测54用样本估计总体的离散程度含解析湘教版必修第一册

PAGEPAGE5课时跟踪检测(五十四)用样本估计总体的离散程度[A级基础巩固]1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数解析：选B平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差能反映一组数据的稳定程度，最大值是极端数据．2．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是()A．0.2，0.127 B．0.3，0.016C．9.4，0.080 D．0.3，0.216解析：选B由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为9.7－9.4＝0.3，平均值为eq\f(1,5)×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，所以该射手成绩的方差s2＝eq\f(1,5)×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016，故选B.3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为()A.eq\r(\f(6,5)) B．eq\f(6,5)C.eq\r(2) D．2解析：选D由题可知样本的平均数为1，所以eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为eq\f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.4．(多选)某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次．统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是()A．平均数为3，极差是3B．中位数是3，极差是3C．平均数为3，方差是0.8D．中位数是3，方差是0.56解析：选BCD2＋3＋4＋4＝13，①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，所以极差为4－2＝2，方差为eq\f(1,5)[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0.8，即A错误，C正确；②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，当投中的个数为0时，极差为4，方差为eq\f(1,5)[(0－2.6)2＋(2－2.6)2＋(3－2.6)2＋(4－2.6)2×2]＝2.24；当投中的个数为1时，极差为3，方差为eq\f(1,5)[(1－2.8)2＋(2－2.8)2＋(3－2.8)2＋(4－2.8)2×2]＝1.36；当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；当投中的个数为3时，极差为2，方差为eq\f(1,5)[(2－3.2)2＋(3－3.2)2×2＋(4－3.2)2×2]＝0.56，即B和D均正确．故选B、C、D.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．解析：这组数据的平均数为eq\f(6＋7＋8＋8＋9＋10,6)＝8，故方差为s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)6．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________.分数54321人数2010303010解析：∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10,100)＝3，∴s2＝eq\f(1,100)(20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22)＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5)，∴s＝eq\f(2\r(10),5).答案：eq\f(2\r(10),5)7．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2020年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________．解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，解得s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.答案：118.528．两台机床同时生产直径(单位：cm)为10的圆形截面零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？解：(1)先计算平均直径：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,4)×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,4)×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10.由于eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣．(2)再计算方差：seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,4)×[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4)×[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．9．工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．解：由题意知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝5，seq\o\al(2,甲)＝1，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝6，seq\o\al(2,乙)＝2，则合在一起后的样本容量为22，样本平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,22)×(10×5＋12×6)≈5.55，样本方差为s2＝eq\f(10,22)×[1＋(5－5.55)2]＋eq\f(12,22)×[2＋(6－5.55)2]≈1.79.[B级综合运用]10．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2解析：选B对于A选项，该组数据的平均数为xA＝(1＋4)×0.1＋(2＋3)×0.4＝2.5，方差为seq\o\al(2,A)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；对于B选项，该组数据的平均数为xB＝(1＋4)×0.4＋(2＋3)×0.1＝2.5，方差为seq\o\al(2,B)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85；对于C选项，该组数据的平均数为xC＝(1＋4)×0.2＋(2＋3)×0.3＝2.5，方差为seq\o\al(2,C)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05；对于D选项，该组数据的平均数为xD＝(1＋4)×0.3＋(2＋3)×0.2＝2.5，方差为seq\o\al(2,D)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45.因此，B选项这一组的标准差最大．故选B.11．某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本均值与样本方差分别是________、________．解析：由题意知，甲同学抽取的样本容量m＝10，样本平均值为eq\o(x,\s\up6(－))＝5，样本方差为s2＝9；乙同学抽取的样本容量n＝8，样本平均值为eq\o(y,\s\up6(－))＝6，样本方差t2＝16.故合在一起后的样本平均值为eq\f(10×5＋8×6,10＋8)＝eq\f(98,18)≈5.44.样本方差为eq\f(1,10＋8)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（10×9＋8×16）＋\f(10×8,10＋8)×（5－6）2))＝eq\f(1,18)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(218＋\f(40,9)))≈12.36.答案：5.4412.3612．对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量条形图如图所示．据此估计甲厂、乙厂、丙厂质量的标准差，分别用s1，s2，s3表示，试比较s1，s2，s3的大小．解：根据题意，甲厂袋装食品质量的平均数eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,20)×(5×7＋5×8＋5×9＋5×10)＝8.5，方差seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,20)×[5×(7－8.5)2＋5×(8－8.5)2＋5×(9－8.5)2＋5×(10－8.5)2]＝1.25，标准差s1＝eq\r(1.25)；乙厂袋装食品质量的平均数eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,20)×(4×7＋6×8＋6×9＋4×10)＝8.5，方差seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,20)×[4×(7－8.5)2＋6×(8－8.5)2＋6×(9－8.5)2＋4×(10－8.5)2]＝1.05，标准差s2＝eq\r(1.05)；丙厂袋装食品质量的平均数eq\o(x,\s\up6(－))3＝eq\f(1,20)×(6×7＋4×8＋4×9＋6×10)＝8.5，方差seq\o\al(2,3)＝eq\f(1,20)×[6×(7－8.5)2＋4×(8－8.5)2＋4×(9－8.5)2＋6×(10－8.5)2]＝1.45，标准差s3＝eq\r(1.45).所以s3>s1>s2.[C级拓展探究]13．在分层抽样时，如果总体分为k层，而且第j层抽取的样本量为nj，第j