-新教材高中数学第14章统计4.4百分位数学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE9百分位数1．k百分位数的定义一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk.2．计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤第1步，将所有数值按从小到大顺序排列；第2步，计算k·eq\f(n,100)；第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·eq\f(n,100)位和下一位之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；第4步，如果k·eq\f(n,100)不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数．3．四分位数中位数即为50百分位数，我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数．1．下列一组数据的25百分位数是()2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6A．3.2B．3.0C．4.4D．2.5【解析】选A.把这组数据按照由小到大的顺序排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8,4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是25百分位数．2．(教材练习改编)高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，则这7人身高数据的40百分位数为()A．168B．170C．172D．171【解析】选C.把7人的身高从小到大排列，可得168，170，172，172，175，176，180，7×40%＝2.8，即第3个数据172为所求的40百分位数．3．已知甲、乙两组数据(从小到大的顺序排列)：甲组：27，28，39，40，m，50乙组：24，n，34，43，48，52若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则eq\f(m,n)等于()A．eq\f(12,7) B．eq\f(10,7)C．eq\f(4,3) D．eq\f(7,4)【解析】选A.因为30%×6＝1.8，80%×6＝4.8，所以30百分位数为n＝28，80百分位数为m＝48，所以eq\f(m,n)＝eq\f(48,28)＝eq\f(12,7).4．(1)班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？(2)“这次数学测试成绩的70百分位数是85分”这句话是什么意思？【解析】(1)不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．(2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．5．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率直方图．试利用频率直方图求这50名学生成绩的75百分位数．【解析】由题意可知，前四个小矩形的面积之和为0.6，前五个小矩形的面积之和为0.84>0.75，所以75百分位数位于第五个小矩形内．由80＋eq\f(0.75－0.6,0.84－0.6)×10＝86.25，故75百分位数为86.25.一、单选题1．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的80百分位数是()A．90B．90.5C．91D．91.5【解析】选B.把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的80百分位数是eq\f(90＋91,2)＝90.5.2．已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法正确的是()A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数【解析】选C.因为100×75%＝75，为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75百分位数，是9.3.3．某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为9．6，9.7，9.0，9.1，9.4，9.4,9.8，9.9，9.4，9.6，9.6，9.7，则该射手这次射击的成绩的75百分位数是()A．9.5B．9.6C．9.7D．9.8【解析】选C.将这12个数从小到大排列：9．0，9.1，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，这组数据有12个数，因为12×75%＝9，所以这组数据的75百分位数是第9个数据与第10个数据的平均数，即eq\f(9.7＋9.7,2)＝9.7.4．某校调查某班30名同学所穿的鞋的尺码如表所示：码号3334353637人数761412则这组数据的25百分位数是()A．33B．34C．35D．36【解析】选B.因为30×25%＝7.5，所以这组数据的25百分位数为34.5．一次数学测试中，高一(1)班某小组12名学生的成绩分别是：58分、67分、73分、74分、76分、82分、82分、87分、90分、92分、93分、98分，则这次测试该小组12名学生成绩的75百分位数是()A．88分B．89分C．90分D．91分【解析】选D.因为12×75%＝9，所以这组数据的75百分位数为eq\f(90＋92,2)＝91(分).6．某市2019年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25，28，30，29，31，32，28，则这周的日最高气温的75百分位数为()A．28℃B．29℃C．31℃D．32℃【解析】选C.将数据由小到大排列为25，28，28，29，30，31，32，因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的75百分位数为31℃.二、多选题7．下列关于一组数据的50百分位数的说法不正确的是()A．50百分位数就是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C．总体数据中的任意一个数大于它的可能性一定是50%D．它一定是这组数据中的一个数据【解析】选BCD.由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．8．某班8名学生的体重(单位：kg)分别是：42，48，40，47，43，58，47，45，则下列结论正确的是()A．极差是18 B．25百分位数是42.5C．中位数是46D．平均数是47【解析】选ABC.因为所给数据的最大值是58，最小值是40，所以极差是58－40＝18.将所给数据按从小到大的顺序排列是40，42，43，45，47，47，48，58.因为这组数据共8个，处于中间位置的是第4个数和第5个数，故这组数据的中位数是eq\f(45＋47,2)＝46.因为8×25%＝2，所以这组数据的25百分位数是eq\f(42＋43,2)＝42.5.平均数是46.25.三、填空题9．某学习小组10名同学在一次数学测试中的得分分别为85，78，66，91，67，78，67，87，96，88，则这10名同学成绩的60百分位数为________．【解析】这组数据按照从小到大排列后为66，67，67，78，78，85，87，88，91，96，10×60%＝6，所以这10名同学成绩的60百分位数为eq\f(85＋87,2)＝86.答案：8610．一组样本数据的频率直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为________．【解析】样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的50百分位数在[10，14]内，估计此样本数据的50百分位数为10＋eq\f(0.1,0.36)×4＝eq\f(100,9).答案：eq\f(100,9)四、解答题11．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如表：每户丢弃旧塑料袋个数2345户数6171512(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数；(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分位数．【解析】(1)平均数eq\x\to(x)＝eq\f(1,50)×(2×6＋3×17＋4×15＋5×12)＝eq\f(183,50)＝3.66.中位数是4.(2)因为50×75%＝37.5，所以这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分位数是4.12．根据新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．某市环保局在2019年对该市进行为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，由此得到样本的空气质量指数频率直方图，如图．(1)求a的值；(2)根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的80百分位数．【解析】(1)由题意，得10×(0.032＋0.03＋a＋0.01＋0.008)＝1.解得a＝0.02.(2)因为(0.01＋0.02＋0.032)×10＝0.62<0.8，0．62＋0.03×10＝0.92>0.8，所以80百分位数应位于[30，40)内．由30＋10×eq\f(0.8－0.62,0.92－0.62)＝36，可以估计这一年度的空气质量指数的80百分位数为36.一、选择题1．某公园对“十一”黄金周7天假期的游客人数进行了统计，如表所示：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日旅游人数(万)1.52.22.23.81.52.20.6则该公园“十一”黄金周七天假期游客人数的平均数和25百分位数分别是()A．2万、1.5万B．2万、2.2万C．2.2万、2.2万D．2万、1.85万【解析】选A.游客人数的平均数＝eq\f(1,7)×(1.5＋2.2＋2.2＋3.8＋1.5＋2.2＋0.6)＝2(万).将数据由小到大排列得：0.6，1.5，1.5，2.2，2.2，2.2，3.8，因为7×25%＝1.75，所以这组数据的25百分位数为1.5万．2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.则这一组数据的众数、中位数和75百分位数分别为()A．84，68，83B．84，78，83C．84，81，84D．78，81，84【解析】选C.将所给数据按从小到大的顺序排列是68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两个数是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81.因为10×75%＝7.5，所以这一组数据的75百分位数为84.3．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m1，60百分位数为m2，众数为m3，则()A．m1<m3<m2B．m3<m1<m2C．m3<m2<m1D．m2<m3<m1【解析】选B.由题图知m3＝5；由中位数的定义，知第15个数与第16个数的平均数为m1＝eq\f(5＋6,2)＝5.5；由百分位数的定义，且30×60%＝18，则第18个数与第19个数的平均数为m2＝eq\f(6＋6,2)＝6.故m3<m1<m2.4．(多选)甲乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的80百分位数等于乙的成绩的80百分位数D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差【解析】选AC.由题图可知，甲成绩的平均为6，乙成绩的平均数为6，所以A选项正确；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，所以B选项错误；甲的成绩的80百分位数为(7＋8)÷2＝7.5，乙的成绩的80百分位数(6＋9)÷2＝7.5，所以二者相等，所以C选项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，所以D选项错误．二、填空题5．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的25百分位数为________，75百分位数为________．【解析】因为14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以这组数据的25百分位数为第4个数据154，75百分位数为第11个数据161.答案：1541616．近年来，某市私家车数量持续增长，2015年至2019年该市私家车数量依次为15，19，22，26，30(单位：万辆)，则该组数据的中位数是________，10百分位数是________，20百分位数是________．【解析】这组数据从小到大排列后，22处于最中间的位置，故这组数据的中位数是22.因为5×10%＝0.5，所以该组数据的10百分位数是15，因为5×20%＝1，所以该组数据的20百分位数是eq\f(15＋19,2)＝17.答案：2215177．某校从高一年级中随机抽取部分学生，将他们的期末数学测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率直方图．据此统计，期末数学测试成绩不少于60百分位数的分数至少为________．【解析】因为(0.005＋0.015＋0.03)×10＝0.5，0．5＋0.025×10＝0.75>0.6，故60百分位数应位于第四小组内．由70＋10×eq\f(0.6－0.5,0.75－0.5)＝74，得期末数学测试成绩不少于60百分位数的分数至少为74分．答案