-新教材高中数学课时检测8不等关系与大小比较含解析湘教版必修第一册

PAGEPAGE4课时跟踪检测(八)不等关系与大小比较[A级基础巩固]1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示()A．v≤120(km/h)或d≥10(m)B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v≤120（km/h），,d≥10（m）))C．v≤120(km/h)D．d≥10(m)解析：选B最大限速与车距是同时的，故选B.2．不等式a2＋b2≥2|ab|成立时，a，b一定是()A．正数 B．非负数C．实数 D．不存在解析：选C原不等式可变形为a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，对任意实数都成立．3．若x∈R，y∈R则()A．x2＋y2＞2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2＜2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1解析：选A因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1＞0，所以x2＋y2＞2xy－1，故选A.4．实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，xyz＞0，若T＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)，则()A．T＞0 B．T＜0C．T＝0 D．T≥0解析：选B因为x＋y＋z＝0且xyz＞0，不妨设x＞0，则y＜0，z＜0，则T＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(xy＋yz＋xz,xyz)＝eq\f(y（x＋z）＋xz,xyz)＝eq\f(－y2＋xz,xyz).因为x＞0，z＜0，所以xz＜0.又－y2＜0，所以－y2＋xz＜0.又xyz＞0，所以T＜0.故选B.5．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为()A．x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0”B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮，可表示为“x＞y”C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b＞c且b＋c＞a”D．若某天的温度为t，最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13℃”解析：选CD对于A中，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误；对于B中，小明比小华矮，应表示为“x＜y”，故B错误；对于C中，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以C正确；对于D中，最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13℃”，所以D正确．故选C、D.6．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，所以x＜y.答案：x＜y7．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．解析：由题意知，汽车原来每天行驶xkm，如果它每天行驶的路程比原来多19km，那么8天内它的行程超过2200km,则8(x＋19)＞2200.若每天行驶的路程比原来少12km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即eq\f(8x,x－12)＞9.答案：8(x＋19)＞2200eq\f(8x,x－12)＞98．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则eq\f(b,a)________eq\f(b＋x,a＋x).(填“＞”“＜”或“＝”)解析：eq\f(b,a)－eq\f(b＋x,a＋x)＝eq\f(ab＋bx－ab－ax,a（a＋x）)＝eq\f(（b－a）x,a（x＋a）).因为a＞0，a＞b，x＞0，所以x＋a＞0，b－a＜0，所以eq\f(（b－a）x,a（x＋a）)＜0，所以eq\f(b,a)＜eq\f(b＋x,a＋x).答案：＜9．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋19＜6x，,4x＋19＞6（x－1）.))解得eq\f(19,2)＜x＜eq\f(25,2).∵x∈N＋，∴x＝10，11或12.学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．10．(1)已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小；(2)已知a≥1，试比较M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)和N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)的大小．解：(1)因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.(2)因为a≥1，所以M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)>0，N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)>0.所以eq\f(M,N)＝eq\f(\r(a＋1)－\r(a),\r(a)－\r(a－1))＝eq\f(\r(a)＋\r(a－1),\r(a＋1)＋\r(a)).因为eq\r(a＋1)＋eq\r(a)>eq\r(a)＋eq\r(a－1)>0，所以eq\f(M,N)<1，所以M<N.[B级综合运用]11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是()A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1解析：选A根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4或h2＞h3＞h4.12．若p＝eq\r(a＋6)－eq\r(a＋4)，q＝eq\r(a＋5)－eq\r(a＋3)，其中a≥0，则p，q的大小关系是()A．p＜q B．p＝qC．p＞q D．不确定解析：选A由题意知p－q＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3)－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))．∵(eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3))2－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))2＝2eq\r(（a＋3）（a＋6）)－2eq\r(（a＋4）（a＋5）)，且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0，∴2eq\r(（a＋3）（a＋6）)－2eq\r(（a＋4）（a＋5）)＜0，即(eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3))2－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))2＜0，∴p－q＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3)－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))＜0，故p＜q.13．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.答案：＞14．已知0<a<b且a＋b＝1，试比较：(1)a2＋b2与b的大小；(2)2ab与eq\f(1,2)的大小．解：(1)因为0<a<b且a＋b＝1，所以0<a<eq\f(1,2)<b，则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，所以a2＋b2<b.(2)因为2ab－eq\f(1,2)＝2a(1－a)－eq\f(1,2)＝－2a2＋2a－eq\f(1,2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－a＋\f(1,4)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)<0，所以2ab<eq\f(1,2).[C级拓展探究]15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？解：不妨设第一次购物时的价格为p1元/个，第二次购物时的价格为p2元/个．设按第一种策略购物，每次购n个，则两次购物的平均价格为eq\f(p1n＋p2n,2n)＝eq\f(p1＋p2,2)(元/个)．设按第二种策略购物，第一次花m元钱，则能购买eq\f(m,p1)个物品，由题意知第二次仍花m元钱，能购买eq\f(m,p2)个物品，故两次购物的平均价格为eq\f(2m,\f(m,p1)＋\f(m,p2))＝eq\f(2,\f(1,p1)＋\f(1,p2))(元/个)．比较两次购物的平均价格：eq\